Guía IPN Geometría Analítica del 21 al 30 resueltos

¡Hola, joven aspirante! Queremos felicitarte por llegar hasta esta tercera parte de nuestra guía de matemáticas del IPN enfocada en Geometría Analítica. No tenemos dudas de que tu determinación y esfuerzo rendirá frutos, así que te invitamos a continuar repasando y practicando junto a nosotros.

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Nuestros post enfocados en resolver ejercicios del área de matemáticas se compone de 50 reactivos. En esta oportunidad, nos concentramos en el campo de Geometría Analítica.

Antes de empezar, te recordamos que hemos dividido esta guía resuelta en cinco post, por lo que el material que estás a punto de ver contiene los ejercicios resueltos del 21 al 30 de Geometría Analítica. Dicho esto, te recordamos que debes prepararte para todas las áreas que se evalúan en este examen, ya que contarás con 160 minutos para terminar tu examen.

¿Qué viene en el examen del IPN?

El examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional se basa en un total de 130 preguntas, las cuales están distribuidas en cinco áreas diferentes. En este sentido, la prueba se separa en dos partes, donde la primera se concentra en las matemáticas y comunicación, y la segunda, en Química, Biología y Física.

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Ahora te mostramos cuántas preguntas de cada área te encontrarás en el examen de admisión del IPN:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Sin más que añadir, te invitamos a repasar la tercera parte de nuestra guía de ejercicios de Geometría Analítica del IPN:

Reactivo 21: La circunferencia

Identificar las coordenadas del centro de la circunferencia cuya ecuación general es: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+4=0

  1. C(2,1)
  2. C(-2,1)
  3. C(2,-1)
  4. C(-2,-1)

Solución:

Para encontrar las coordenadas del centro, debemos aplicar completación de cuadrados respecto a x \text { y } y . Primero, agrupamos los términos de cada variable juntos y pasamos al segundo miembro al término independiente.

x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+4=0

x^{2}-4 x+y^{2}-2 y=-4

Para los términos de grado 1, descomponemos sus coeficientes en múltiplos de 2.

x^{2}-2 * 2 x+y^{2}-2 * 1 y=-4

Ahora, sabemos que para completar x hay que sumar de ambos lados 2^{2}=4 y para y 1.

x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1=-4+4+1

Reducimos a los términos aplicando la fórmula de binomio al cuadrado en sentido inverso.

(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1

El centro de la circunferencia es C(2,1) .

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 22: Lugares Geométricos

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos en el plano de tal manera que su distancia a una recta fija es igual a su distancia con respecto a un punto fijo?

  1. Circunferencia
  2. Parábola
  3. Elipse
  4. Hipérbola

Solución:

Para responder a la pregunta, recordaremos de forma breve, como se describe el lugar geométrico de cada una de las secciones cónicas.

La circunferencia, es el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) cuya distancia respecto de otro punto C(h, k) es igual a una constante k .

La parábola, es el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) que dista igual respecto a un punto fijo llamado foco y una recta, también fija llamada lado recto.

La elipse, es el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) donde la suma de las distancias respecto a otros dos puntos fijos llamados focos, es constante.

La hipérbola, es el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) que se mueve en un plano de tal forma que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias respecto a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Habiendo examinado todas las definiciones, la correcta es la de la parábola. Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la b).

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Reactivo 23: Vértice de la Parábola

Se disparó un proyectil que sigue una trayectoria parabólica que se modela con la ecuación 2 x^{2}-4 x-3=-y . Determinar las coordenadas del punto más alto que alcanzó el proyectil.

  1. (5,-1)
  2. (1,5)
  3. (-1,5)
  4. (-5,-1)

Solución:

De los temas referentes a la mecánica clásica, sabemos que los proyectiles describen trayectorias parabólicas durante un lanzamiento. Dichas parábolas son paralelas al eje y y abren hacia abajo. Por esta razón, si tenemos la ecuación de la trayectoria, hallando el vértice de la parábola encontraremos el punto más alto.

El vértice se determina transformando a la ecuación a su forma ordinaria, aplicando completación de cuadrados respecto a la variable x .

2 x^{2}-4 x-3=-y

Dividimos la expresión entre 2.

x^{2}-2 x-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2} y

Sumamos 1 en ambos miembros.

x^{2}-2 x+1-\frac{3}{2}=1-\frac{1}{2} y

Simplificamos.

x^{2}-2 x+1=\frac{5}{2}-\frac{1}{2} y

(x-1)^{2}=-\frac{1}{2}(y-5)

Concluimos entonces que el punto más alto alcanzado por el proyectil fue:

V=(1,5)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 24: Ecuación de la parábola

Identificar la ecuación de la gráfica siguiente:

  1. -x^{2}+4 x+9=y
  2. -x^{2}+2 x+8=y
  3. x^{2}-2 x-8=y
  4. x^{2}+4 x-9=y

Solución:

Consideremos la ecuación ordinaria de una parábola paralela al eje y .

(x-h)^{2}=4 p(y-k)

Las coordenadas del vértice ya las tenemos y son V(1,-9) , solo nos queda como incógnita a p . Ya que se ven diferentes puntos por los que pasa la parábola, podemos sustituir cualquiera en x \text { y } y para calcularlo.

(x-1)^{2}=4 p(y+9)

Sustituimos P(0,-8) .

(0-1)^{2}=4 p(-8+9)

1=4 p(1)

4 p=1

Sustituyendo nos queda que:

(x-1)^{2}=(y+9)

Desarrollamos el producto notable.

x^{2}-2 x+1=y+9

x^{2}-2 x-8=y

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 25: Foco de la parábola

Determinar el foco de la parábola: 8 x+y^{2}-8 y-8=0

  1. F(2,4)
  2. F(4,2)
  3. F(2,2)
  4. F(1,4)

Solución:

Primero expresaremos a la parábola en su forma ordinaria, determinamos el vértice y le sumamos o restamos p a la coordenada x según se abra hacia la derecha o hacia la izquierda respectivamente.

8 x+y^{2}-8 y-8=0

Completamos cuadrados respecto a y .

y^{2}-8 y=-8 x+8

y^{2}-8 y+16=-8 x+8+16

(y-4)^{2}=-8 x+24

(y-4)^{2}=-8(x-3)

Calculamos a p .

4 p=-8 \rightarrow p=-2

El foco de la parábola es:

F(3-2,4)=F(1,4)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 26: Intersección de lugares geométricos

Identificar el sistema de ecuaciones por las características de la línea recta y de la parábola que están representadas en la siguiente figura.

  1. x^{2}-y=0 x+y-2=0
  2. x^{2}+y=0 x+y-2=0
  3. x^{2}-y=0 x+y+2=0
  4. x^{2}+y=0 x-y-2=0

Solución:

Primero, determinaremos las ecuaciones de ambos lugares geométricos (la recta y la parábola) para después armar el sistema de ecuaciones.

La recta:

El corte en x=2 y el corte con el eje y=2 . Expresamos a la recta en su forma simétrica.

\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1

Ahora la escribimos en su forma general.

x+y-2=0

La parábola:

El vértice de la parábola es el origen, además es paralela al eje y y abre hacia arriba.

x^{2}=4 p y

Ya que pasa por el punto (1,1) , lo sustituimos para calcular el valor de 4 p .

(1)^{2}=4 p(1)

4 p=1

Por tanto:

x^{2}-y=0

El sistema de ecuaciones quedaría:

x^{2}-y=0 x+y-2=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 27: Lado recto de la parábola

Calcular la longitud del lado recto de la parábola: 4 x^{2}+4 x+2 y+5=0

  1. L R=\frac{1}{8}
  2. L R=\frac{1}{4}
  3. L R=\frac{1}{2}
  4. L R=1

Solución:

El lado recto de una parábola es igual a cuatro veces la distancia focal, es decir:

L R=|4 p|

Ya que 4 p se encuentra implícito en la ecuación ordinaria de la parábola, solo debemos llevar a la ecuación general a su forma ordinaria mediante completación de cuadrados.

4 x^{2}+4 x+2 y+5=0

Dividimos entre 4.

x^{2}+x+\frac{1}{2} y+\frac{5}{2}=0

Agrupamos el resto de términos a la derecha.

x^{2}+x=-\frac{1}{2} y-\frac{5}{2}

Sumamos a ambos lados \frac{1}{4} .

x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2} y-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}

Completamos y simplificamos.

\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2} y-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}

\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2} y-\frac{9}{4}

\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}\left(y+\frac{9}{2}\right)

Por tanto, el lado recto es:

L R=|4 p|=\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}

Comparando con las opciones del problema la respuesta correcta es la c).

Reactivo 28: Apertura de la parábola

Relacionar la gráfica con la ecuación correspondiente, donde p>0

  1. 1B, 2A, 3D, 4C
  2. 1B, 2A, 3C, 4D
  3. 1A, 2B, 3C, 4D
  4. 1A, 2B, 3D, 4C

Solución:

Recordemos que una parábola es paralela al eje de la variable que no está elevada al cuadrado y el sentido de apertura depende del signo de 4 p .

En una parábola paralela al eje x , es la variable y la que está elevada al cuadrado. Abre hacia la derecha 4 p si es positivo o a la izquierda si es negativo. En el caso de ser paralela al eje y , es x la que se eleva al cuadrado y abre hacia arriba si 4 p es positivo y hacia abajo si es negativo.

Con esto en mente, analizaremos cada gráfica y la asociaremos con la ecuación correspondiente.

Gráfica 1.

Es una parábola paralela al eje y y que abre hacia arriba, x debe estar al cuadrado y 4 p debe ser positivo. Esto corresponde con la ecuación del inciso A, por tanto:

1A.

Gráfica 2.

Es una parábola paralela al eje x y que abre hacia la derecha, y debe estar al cuadrado y 4 p debe ser positivo. Esto corresponde con la ecuación del inciso B, por tanto:

2B.

Gráfica 3.

Es una parábola paralela al eje x y que abre hacia la izquierda, y debe estar al cuadrado y 4 p debe ser negativo. Esto corresponde con la ecuación del inciso C, por tanto:

3C.

Gráfica 4.

Es una parábola paralela al eje y y que abre hacia abajo, x debe estar al cuadrado y 4 p debe ser negativo. Esto corresponde con la ecuación del inciso D, por tanto:

4D.

Uniendo las respuestas obtenemos que:

1A, 2B, 3C, 4D.

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 29: Lugares geométricos

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos es siempre igual a una constante.

  1. Elipse
  2. Parábola
  3. Hipérbola
  4. Circunferencia

Solución:

Si recordamos la definición de elipse:

La elipse, es el lugar geométrico descrito por un punto P(x, y) donde la suma de las distancias respecto a otros dos puntos fijos llamados focos, es constante.

Si comparamos con lo enunciado en el problema, se hace referencia al mismo lugar geométrico, por tanto, la respuesta correcta es la a) Elipse.

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Reactivo 30: Elementos de la Elipse

Asociar cada elemento de la elipse con su nombre según la siguiente gráfica:

  1. 1B, 2D, 3C, 4A
  2. 1B, 2A, 3C, 4D
  3. 1A, 2C, 3B, 4D
  4. 1A, 2C, 3D, 4B

Solución:

Para encontrar la respuesta a este problema, analizaremos la posición que tiene cada uno de los elementos de la columna izquierda en la elipse, para luego relacionarlos con uno de los términos en la columna derecha.

Punto alfa

Se encuentra en el centro de la elipse. Inequívocamente se trata del centro de la elipse. Concluimos en este caso: 1A.

Recta beta

Es una cuerda de la elipse, perpendicular al eje focal y que pasa por uno de los focos de la misma. Recibe el nombre de lado recto de la elipse. Concluimos que: 2C.

Puntos delta

Pertenecen al lugar geométrico de la elipse. Por ellos pasa el eje focal, el segmento que los une se llama eje mayor y reciben el nombre de vértices de la elipse. Concluimos que: 3D.

Puntos theta

Por ellos pasa el eje focal y se encuentran en la zona interior de la elipse. Tienen ambos la misma distancia de los vértices más cercanos y pasa también el lado recto, que es perpendicular al eje focal. Estos puntos son indiscutiblemente los focos de la elipse. Concluimos que: 4B.

Uniendo las 4 soluciones anteriores: 1A, 2C, 3D, 4B. Comparando con las opciones que ofrece el ejercicio, la respuesta correcta es la d).

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