Guía IPN 2023 Geometría Analítica Parte 3 del 21 al 30

Vamos a resolver la tercera parte de la guía de geometría analítica IPN 2023 que va desde el reactivo 21 hasta el 30.

Guía IPN 2023 Geometría analítica 3

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Reactivo 21

Dada la ecuación de la parábola (y-h)=r(x-k{)}^{2} , ¿qué valor determina si esta abre hacia arriba o hacia abajo?

  1. h
  2. k
  3. r
  4. x

Solución:

En la ecuación ordinaria de una parábola vertical, el parámetro que define la dirección de apertura (arriba o hacia abajo), es 4p .

Ecuación ordinaria de la parábola vertical.

4p\left(y-h\right)=(x-k{)}^{2}

La parábola abre hacia arriba si 4p>0 o abre hacia abajo si 4p<0 .

Comparando esto con la ecuación dada por el enunciado, tenemos que el parámetro 4p es equivalente a \frac{1}{r} .

\left(y-h\right)=r(x-k{)}^{2}\to \frac{1}{r}(y-h)=(x-k{)}^{2}

Por lo tanto, es el signo de r el que establece la dirección de la parábola.

Concluimos el problema indicando como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 22

Calcular el vértice y el foco de la parábola (x-9{)}^{2}=-6(y+5) .

  1. V\left(\mathrm{9,5}\right),F(\mathrm{9,13}/2)
  2. V\left(\mathrm{9,4}\right),F(9, 15/2)
  3. V(9,-5),F(9,-13/2)
  4. V(9,-4),F(9,-15/2)

Solución:

Para determinar el vértice y el foco de una parábola, iniciamos determinando la dirección en la que abre. Debido a que el parámetro 4p=-6 , es decir: negativo, la parábola se abre verticalmente hacia abajo.

Recordando que:

{\left(x-h\right)}^{2}=4p\left(y-k\right)

Sabemos por inspección que las coordenadas del vértice son: V\left(9, -5\right) . Por otra parte, el foco debe encontrarse por debajo del vértice debido a que abre hacia abajo. Las coordenadas del foco se calculan como:

F\left(h, k+p\right)

El valor de p lo extraemos de la ecuación.

4p=-6\to p=-\frac{3}{2}

Sustituyendo:

F\left(9, -5-\frac{3}{2}\right)\to F\left(9, -\frac{13}{2}\right)

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 23

Determinar la longitud del lado recto (LR) de la parábola con vértice V\left(\mathrm{5,4}\right) y foco F\left(\mathrm{5,2}\right) .

  1. 16
  2. 12
  3. 8
  4. 4

Solución:

Esta pregunta la podemos responder fácilmente con la fórmula para calcular las coordenadas del foco. Debido a que la coordenada x permanece constante entre el foco y el vértice, concluimos que se trata de una parábola que se abre verticalmente.

F\left(h, k+p\right)

Nos quedamos con la coordenada y del punto.

k+p=2

Sustituimos el valor de k .

4+p=2\to p=-2

Finalmente, calculamos el lado recto como:

LR=\left|4p\right|=\left|4(-2)\right|=8

El lado recto de la parábola, que tiene como vértice V\left(\mathrm{5,4}\right) y foco F\left(\mathrm{5,2}\right) , es de 8 unidades.

Concluimos que la respuesta correcta es el inciso c).

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Reactivo 24

Determinar la excentricidad de la elipse

\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=25
  1. \frac{\sqrt{7}}{4}
  2. \sqrt{\frac{7}{4}}
  3. \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}
  4. \sqrt{\frac{7}{2}}

Solución:

Nota: en este reactivo hay un error en los incisos.

La excentricidad de una elipse se calcula como el cociente entre su semidistancia focal y el semieje mayor.

e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}

Simplificamos la ecuación de la elipse para obtener el valor de a y b .

\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=25

La ecuación debe estar igualada a 1, por tanto, dividimos todo entre 25.

\frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1

{a}^{2}=100, {b}^{2}=75

Sustituimos en la ecuación de la excentricidad.

e=\sqrt{\frac{100-75}{100}}=\sqrt{\frac{1}{4}}

Hay un error en los incisos. La guía indica que la respuesta correcta es la b), pero esta excentricidad es mayor a 1, la excentricidad de una elipse se encuentra acotada e=\left[0, 1\right] .

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Reactivo 25

Dada la ecuación de la hipérbola, determinar su excentricidad.

4{x}^{2}-8x-9{y}^{2}+18y=41

  1. \frac{\sqrt{13}}{9}
  2. \frac{\sqrt{13}}{3}
  3. \frac{\sqrt{13}}{4}
  4. \frac{\sqrt{13}}{5}

Solución:

La excentricidad de una hipérbola, es igual al cociente entre la semi distancia focal y el semieje mayor.

e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}

Ahora, la tarea es encontrar el valor de a y b a partir de la forma general de la hipérbola. Acá podemos hacer dos cosas: completar cuadrados o aplicar alguna fórmula que relaciones a los coeficientes de la forma general con a y b .

Emplearemos el segundo camino, pero te queda como tarea aplicar el otro. Teniendo en cuenta los coeficientes de {x}^{2} y {y}^{2} :

{b}^{2}=4

-{a}^{2}=-9\to {a}^{2}=9

Sustituimos en la ecuación de la excentricidad.

e=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9+4}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}

La excentricidad de la hipérbola es igual a \frac{\sqrt{13}}{3} .

Comparando con los incisos, indicamos a la opción b) como la respuesta correcta.

Reactivo 26

Encontrar la forma ordinaria de la ecuación de la elipse 9{x}^{2}+16{y}^{2}-144=0 .

  1. \frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=-1
  2. \frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1
  3. \frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=-1
  4. \frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1

Solución:

Debemos aplicar operaciones algebraicas hasta llegar a la forma ordinaria. Iniciamos enviando al término independiente al segundo miembro y dividiendo por 9 y 16.

9{x}^{2}+16{y}^{2}=144\to \frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=\frac{144}{16\cdot 9}

Finalmente:

\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=\frac{144}{144}\to \frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso d).

Reactivo 27

Identificar la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica:

  1. 4(x-2{)}^{2}+9(y+2{)}^{2}=144
  2. 9(x-2{)}^{2}+4(y+2{)}^{2}=144
  3. 9(x+2{)}^{2}+4(y-2{)}^{2}=144
  4. 4(x+2{)}^{2}+9(y-2{)}^{2}=144

Solución:

La ecuación ordinaria de una elipse con semieje mayor horizontal es:

\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{b}^{2}}=1

Examinando la gráfica, extraemos las coordenadas del centro.

C\left(-2, 2\right)

Por otra parte, el semieje mayor y menor son:

Sustituimos.

\frac{{\left(x+2\right)}^{2}}{{6}^{2}}+\frac{{\left(y-2\right)}^{2}}{{4}^{2}}=1\to \frac{{\left(x+2\right)}^{2}}{36}+\frac{{\left(y-2\right)}^{2}}{16}=1

Multiplicamos toda la expresión por 9 y 4.

\frac{{\left(x+2\right)}^{2}}{36}+\frac{{\left(y-2\right)}^{2}}{16}=1\to 16{\left(x+2\right)}^{2}+36{\left(y-2\right)}^{2}=576

Finalmente:

{4\left(x+2\right)}^{2}+{9\left(y-2\right)}^{2}=144

La respuesta correcta es el inciso d).

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Reactivo 28

Elegir la ecuación de la elipse cuya suma de las distancias de un punto a los focos es 6\sqrt{3} , considerando que dichas distancias son iguales:

  1. \frac{(y-2{)}^{2}}{18}-\frac{{x}^{2}}{27}=1
  2. \frac{{y}^{2}}{27}-\frac{(x-2{)}^{2}}{18}=1
  3. \frac{(y-2{)}^{2}}{27}+\frac{{x}^{2}}{18}=1
  4. \frac{{y}^{2}}{18}+\frac{(x-2{)}^{2}}{27}=1

Solución:

Para resolver este problema, debemos utilizar la ecuación del lugar geométrico de la elipse.

d\left(P,{F}_{1}\right)+d\left(P,{F}_{2}\right)=2a

Donde 2a es una constante positiva y mayor que la distancia entre los focos. Si la suma de las distancias es 6\sqrt{3} entonces:

2a=6\sqrt{3}\to a=3\sqrt{3}

Este es el valor del semieje mayor.

Ahora, podemos calcular la semi distancia focal a partir de la imagen como la mitad de la distancia entre los focos.

c=\frac{d\left({F}_{1},{F}_{2}\right)}{2}=\frac{6}{2}=3

Con este resultado y apoyados en el triángulo rectángulo que se forma entre a , b y c , podemos calcular al semieje menor aplicando el teorema de Pitágoras.

b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{27-9}=\sqrt{18}

Finalmente, el centro de la elipse es \left(h, k\right)=\left(\mathrm{0,2}\right) , Sustituimos todo en la ecuación ordinaria de la elipse vertical y nos queda:

\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{b}^{2}}+\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{a}^{2}}=1\to \frac{{\left(x-0\right)}^{2}}{18}+\frac{{\left(y-2\right)}^{2}}{27}=1

Finalmente:

\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{\left(y-2\right)}^{2}}{27}=1

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 29

La _______ es el lugar geométrico de los puntos en el plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es igual a una constante.

  1. elipse
  2. parábola
  3. hipérbola
  4. circunferencia

Solución:

Para responder esta pregunta, es necesario que conozcas previamente la descripción del lugar geométrico de las 4 cónicas. El enunciado anterior describe el lugar geométrico de la hipérbola.

\left|\left|FP\right|-\left|{F}^{\text{'}}P\right|\right|=2a

La respuesta correcta es el inciso c).

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos en el plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es igual a una constante.

Reactivo 30

Calcular el semieje mayor (a), semieje menor (b) y focos {F}_{1}\text{ y }{F}_{2} de la elipse

\frac{{x}^{2}}{625}+\frac{{y}^{2}}{400}=1

  1. a=25,b=20,{F}_{1}=\left(\mathrm{15,0}\right),{F}_{2}=\left(-\mathrm{15,0}\right)
  2. a=75,b=20,{F}_{1}=\left(0,-15\right),{F}_{2}=\left(\mathrm{0,15}\right)
  3. a=35,b=20,{F}_{1}=\left(\mathrm{15,0}\right),{F}_{2}=\left(-\mathrm{15,0}\right)
  4. a=55,b=20,{F}_{1}=\left(0,-15\right),{F}_{2}=\left(\mathrm{0,15}\right)

Solución:

Iniciamos identificando que se trata de una elipse con eje focal horizontal, debido a que el semieje de mayor tamaño se encuentra dividiendo a la variable x . Esto quiere decir que las coordenadas de los focos son:

{F}_{\mathrm{1,2}}=\left(h\pm c, k\right)

Donde c es la semidistancia focal y se calcula como:

c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}

Examinando la ecuación, sabemos que: {a}^{2}=625 , {b}^{2}=400 y \left(h, k\right)=\left(0, 0\right) . Sustituimos los valores de {a}^{2} y {b}^{2} en la ecuación de c .

c=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15

Por tanto, las coordenadas de los focos son:

{F}_{1}=\left(15, 0\right), {F}_{2}=\left(-15, 0\right)

Finalmente:

a=\sqrt{625}=25

b=\sqrt{400}=20

a=25,b=20,{F}_{1}=\left(\mathrm{15,0}\right),{F}_{2}=\left(-\mathrm{15,0}\right)

La respuesta correcta al problema se encuentra en el inciso a).