Guía IPN Cálculo Diferencial reactivos 31 al 40 resueltos

Queremos que seas capaz de lograr tu meta de ser admitido como estudiante del Instituto Politécnico Nacional, pero sabemos que para ello, debes prepararte muy bien para el examen de admisión y tener una buena base para afrontar cada área del mismo.

CALCULO-DIFERENCIAL (4) guia ipn resuelta

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Recuerda que el área de cálculo es una de las más exigentes que te encontrarás en este examen, por lo que es fundamental que te prepares y domines diversas áreas de matemáticas. 

Por esta razón hemos preparado esta guía compuesta de 5 partes, ya que aquí serás capaz de ver los reactivos resueltos de la guía del IPN, lo que te ayudará a tener una mejor preparación y saber si lo estás haciendo bien. En vista de esto, recuerda que siempre cuentas con nosotros, ¡Continúa leyendo!

¿Qué viene en el examen del IPN?

Con respecto a este examen, es muy importante que seas capaz de tener un buen rendimiento en todas las áreas de conocimiento que evalúa esta prueba. Ten en cuenta que el Instituto Politécnico Nacional desglosa su examen en dos etapas. Una que comprende preguntas de matemáticas y comunicación, y otra que aborda áreas más específicas como Física, Química y Biología.

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Asimismo, puedes tener una idea más clara de cómo se compone esta prueba, de la cual casi la mitad de sus preguntas van orientadas al área de matemáticas. Para ello, acá te dejamos una lista detallada:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Viendo esto, seguramente te habrás dado cuenta que la clave del éxito reside en buena medida en lograr buenos resultados en las preguntas de matemáticas, por lo que tendrás necesariamente que prepararte en cálculo. Dicho esto, aquí tienes la cuarta parte de esta guía resuelta:

Reactivo 31: Derivada por definición

Calcular el siguiente límite \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} , para f(x)=x^{2}-x

  1. -2 x+1
  2. -2 x-1
  3. 2 x-1
  4. 2 x+1

Solución:

Sustituimos para f(x+h) a la variable x por x+h .

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-(x+h)-x^{2}+x}{h}

Desarrollamos las potencias y simplificamos.

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-(x+h)-x^{2}+x}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 h x+h^{2}-x-h-x^{2}+x}{h}

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h x+h^{2}-h}{h}

Se extrae factor común h del numerador.

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h x+h^{2}-h}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} 2 x+h-1

Evaluamos el límite.

\lim _{h \rightarrow 0} 2 x+h-1=2 x-1

Concluimos entonces que la derivada de la función f(x)=x^{2}-x \text { es } f^{\prime}(x)=2 x-1 . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 32: Derivada por Definición

¿Qué se puede afirmar de la función f(x)=\sin (x) a partir del hecho de que el siguiente límite existe \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x} ?

  1. Que es derivable en cero
  2. Que no es continua en cero
  3. Que su derivada no existe
  4. No se puede afirmar nada con esta información

Solución:

Inspeccionemos un momento la derivada por definición de la función.

f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x) \cos (h)+\cos (x) \sin (h)-\sin (x)}{h}

Desarrollando nos queda.

=-\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x)(1-\cos (h))}{h}+\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (h) \cos (x)}{h}

En esta expresión están presentes dos límites notables:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x}=1 y \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x}=0

Ya que ambos existen, existe también la derivada de la función.

f^{\prime}(x)=\cos (x)

Que en x=0 vale 1.

Por tanto, podemos concluir que, gracias a que existe \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x)}{x} existe también la derivada de f(x) . Examinando las opciones que ofrece el problema, seleccionamos como respuesta correcta a la opción a).

Reactivo 33: Pendiente de la recta tangente

Completar el enunciado para que sea verdadero. “La recta tangente es _________ de la curva y=x^{4}-5 x^{3} en el punto x=-1 ”.

  1. Vertical
  2. Horizontal
  3. Oblicua creciente
  4. Oblicua decreciente

Solución:

La interpretación geométrica de la derivada, nos indica que si se evalúa en un punto, obtenemos el valor de la pendiente que es tangente a la curva en dicho punto. Para responder a la pregunta, calculamos la derivada y en función de su valor concluimos una respuesta.

y^{\prime}=\left(x^{4}-5 x^{3}\right)^{\prime}=4 x^{3}-15 x^{2}

Evaluamos a la derivada en x=-1

y^{\prime}(-1)=4(-1)^{3}-15(-1)^{2}=-19

Ya que el signo es negativo, significa que la recta tangente en ese punto es oblicua decreciente. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

La recta tangente es oblicua decreciente de la curva y=x^{4}-5 x^{3} en el punto x=-1

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Reactivo 34: Pendiente de la recta tangente

Si \frac{d f}{d x}=0 para todo x \in(a, b) , entonces f es una función _________ sobre [a, b] .

  1. Creciente
  2. Constante
  3. Decreciente
  4. Discontinua

Solución:

Como sabemos, la derivada de una constante es siempre cero. Entonces si la derivada de una función cualquiera en un intervalo (a, b) es cero, significa que dicha función es una constante. Concluimos entonces que la respuesta correcta es la opción b).

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Reactivo 35: Derivada de un radical

Obtener la derivada de la siguiente función: y=\sqrt[5]{t^{4}}

  1. \frac{5 \sqrt[4]{t}}{4}
  2. \frac{5}{4 \sqrt[4]{t}}
  3. \frac{4}{5 \sqrt[5]{t}}
  4. \frac{4}{5 \sqrt[4]{t}}

Solución:

Para calcular la derivada de cualquier función de la forma \sqrt[n]{x^{m}} , se aplica la propiedad del exponente fraccionario. Luego, se aplica la fórmula de la derivada de un exponente.

f(x)=\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}} \rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{m}{n} x^{\frac{m}{n}-1}

y=\sqrt[5]{t^{4}}=t^{\frac{4}{5}}

Aplicamos la fórmula de la derivada de un exponente.

y^{\prime}=\left(t^{\frac{4}{5}}\right)^{\prime}=\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5}-1}=\frac{4}{5} t^{-\frac{1}{5}}

Expresándolo nuevamente en forma de radical.

y^{\prime}=\frac{4}{5 \sqrt[5]{t}}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 36: Derivada de la suma y resta

Si y=\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{4}}+3 \sqrt{x}-\frac{2}{x} , entonces su derivada es:

  1. \frac{4}{3} x^{-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}+2 x^{-2}
  2. \frac{4}{2} x+\frac{4}{3} x^{\frac{1}{2}}+2 x^{-2}
  3. \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}+\frac{2}{x^{-2}}
  4. \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}+\frac{2}{x^{2}}

Solución:

Para derivar a la función en cuestión, aplicaremos la propiedad de la derivada de una suma.

\begin{array}{l} y=f(x)+g(x) \\ \mathrm{y}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) \end{array}

Que aplica igualmente para la resta de términos en una función.

y^{\prime}=\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{4}}+3 \sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^{\prime}=(\sqrt{x})^{\prime}-\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}+(3 \sqrt{x})^{\prime}-\left(\frac{2}{x}\right)^{\prime}

Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia y a las expresiones radicales se expresan en forma de potencia.
y^{\prime}=(\sqrt{x})^{\prime}-\left(\sqrt[3]{x^{4}}\right)^{\prime}+(3 \sqrt{x})^{\prime}-\left(\frac{2}{x}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}-\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3}-1}+\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}-1}+2 x^{-1-1}

=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}+\frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}}+2 x^{-2}=2 x^{-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}+2 x^{-2}

Escribimos todo de nuevo en forma de radical.

y^{\prime}=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3}+\frac{2}{x^{2}}

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 37: Derivada de sumas y restas

Calcular la derivada de la función: f(t)=\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}

  1. \frac{2}{t^{3}}+\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{t^{3}}}
  2. \frac{2}{t^{3}}+\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{2 \sqrt{t^{3}}}
  3. -\frac{2}{t^{3}}+\frac{1}{t^{2}}-\frac{1}{2 \sqrt{t^{3}}}
  4. -\frac{2}{t^{3}}-\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{t^{3}}}

Solución:

Según la propiedad de la derivada de una función con suma y resta de términos:

f^{\prime}(t)=\left(\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{t^{2}}\right)^{\prime}+\left(\frac{1}{t}\right)^{\prime}-\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^{\prime}

Derivamos cada uno de los términos aplicando la fórmula de la derivada de una potencia.

f^{\prime}(t)=\left(t^{-2}\right)^{\prime}+\left(t^{-1}\right)^{\prime}-\left(t^{-\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=-2 t^{-3}-t^{-2}+\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}}

Escribiendo todo en forma de radical.

f^{\prime}(t)=-\frac{2}{t^{3}}-\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{2 \sqrt{t^{3}}}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 38: Regla de la cadena

Calcular la derivada de: y=-4(\sqrt{x}-x)^{-2}

  1. \frac{4(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)^{3}}
  2. \frac{4(1-2 \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)^{3}}
  3. \frac{8(2 \sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(x-\sqrt{x})^{3}}
  4. \frac{8(1-2 \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)^{3}}

Solución:

La regla de la cadena nos dice que:

La derivada de una función compuesta de otra, es igual al producto de la derivada de ambas funciones.

\frac{d f[u(x)]}{d x}=\frac{d u(x)}{d x} \cdot \frac{d f[u(x)]}{d u}

Para f[u(x)]^{\prime} tomamos como variable de derivación a u(x) .

Aplicando la regla de la cadena a la función dada, su derivada seria:

y^{\prime}=\left[-4(\sqrt{x}-x)^{-2}\right]^{\prime}=\frac{d(\sqrt{x}-x)}{d x} \cdot \frac{d\left[-4(\sqrt{x}-x)^{-2}\right]}{d u}

=\left(\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}-1\right)(-4)(-2)(\sqrt{x}-x)^{-3}

=8\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}-1\right) \frac{1}{(\sqrt{x}-x)^{3}}

Simplificamos la expresión:

y^{\prime}=8\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}-1\right) \frac{1}{(\sqrt{x}-x)^{3}}=\frac{4(1-2 \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)^{3}}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 39: Derivada del Producto

Determinar la derivada de la función cuando x>0: y(x)=x^{3} \ln (x)

  1. \frac{d y}{d x}=x^{2}
  2. \frac{d y}{d x}=3 x^{2} \ln (x)
  3. \frac{d y}{d x}=x^{2}[\ln (x)+1]
  4. \frac{d y}{d x}=x^{3}\left[\ln \left(x^{2}\right)+\frac{1}{x}\right]

Solución:

Aplicamos la propiedad de la derivada del producto de una función:

y^{\prime}(x)=\left(x^{3}\right)^{\prime} \ln (x)+x^{3}[\ln (x)]^{\prime}

Recurrimos a las fórmulas de derivada para una potencia y el logaritmo de una función.

y^{\prime}(x)=3 x^{2} \ln (x)+x^{3} \frac{1}{x}=3 x^{2} \ln (x)+x^{2}

Extraemos factor común x^{2} .

y^{\prime}(x)=x^{2}[3 \ln (x)+1]

Comparando con las opciones que ofrece del problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 40: Regla de la Cadena

La expresión _________ es la derivada de: y(x)=e^{\sin x+\cos x}

  1. \frac{d y}{d x}=(\operatorname{sen} x+\cos x) e^{\operatorname{sen} x+\cos x}
  2. \frac{d y}{d x}=(\operatorname{sen} x-\cos x) e^{\operatorname{sen} x+\cos x}
  3. \frac{d y}{d x}=(-\operatorname{sen} x+\cos x) e^{\operatorname{sen} x+\cos x}
  4. \frac{d y}{d x}=(-\operatorname{sen} x-\cos x) e^{\operatorname{sen} x+\cos x}

Solución:

Ya que la exponencial está elevada a otra función, es necesario aplicar la regla de la cadena para la derivación.

y(x)=e^{\sin x+\cos x} \rightarrow y^{\prime}(x)=\left(e^{\sin x+\cos x}\right)^{\prime}

y^{\prime}(x)=(\sin x+\cos x)^{\prime} e^{\sin x+\cos x}

Aplicamos la derivada de la suma y las respectivas del seno y el coseno.

y^{\prime}(x)=(\cos x-\sin x) e^{\sin x+\cos x}=(-\sin x+\cos x) e^{\sin x+\cos x}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

¿No tienes a tu disposición la guía oficial del Instituto Politécnico Nacional? Entonces no esperes más y descárgala desde el sitio web del IPN.

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