Guía IPN 2023 Cálculo Diferencial Parte 2 del 11 al 20

Continuamos con la solución de la guía de estudios de cálculo diferencial para el examen de ingreso al IPN. En esta segunda parte vamos a resolver los ejercicios del 11 al 20.

Desarrolla los reactivos por tu cuenta antes de revisar la solución. Cálculo es una asignatura desafiante, analiza los problemas y toma tiempo necesario para encontrar la respuesta correcta.

Reactivo 11

Calcular el límite $\underset{x\to c}{lim} \left[f\right(x)\cdot g(x\left)\right]$, si $\underset{x\to c}{lim} f\left(x\right)={2}^{n}\text{ y }\underset{x\to c}{lim} g\left(x\right)={3}^{n+1}$.

1. $3\left({6}^{n}\right)$
2. $3\left({6}^{n+1}\right)$
3. $(36{)}^{n}$
4. $(36{)}^{n+1}$

Solución:

Para el cálculo de este límite, debemos utilizar la propiedad del límite de un producto.

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)$

Ya que el enunciado nos indica el valor de los límites para $f\left(x\right)$ y $g\left(x\right)$, solo nos queda sustituir en el límite general para obtener el resultado final.

$\mathrm{ }\underset{x\to c}{lim} \left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=\underset{x\to c}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to c}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=\left({2}^{n}\right)\left({3}^{n+1}\right)$

Simplificamos el producto de potencias.

$\underset{x\to c}{lim} \left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=3\left({2}^{n}\right)\left({3}^{n}\right)=3\left({6}^{n}\right)$

Finalizamos la solución indicando como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 12

Calcular el límite de la función

$\underset{x\to 9}{lim} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$

1. 3
2. 4
3. 6
4. 8

Solución:

Iniciamos evaluando el límite para identificar el tipo de indeterminación que se presenta.

$\underset{x\to 9}{lim} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=\frac{9-9}{\sqrt{9}-3}=\frac{0}{0}$

Es una indeterminación $0/0$. Debemos aplicar transformaciones algebraicas para eliminar la indeterminación. Podemos aplicar diferencia de cuadrados en el numerador.

$x-9={\left(\sqrt{x}\right)}^{2}-{3}^{2}=\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)$

Sustituimos en el límite.

$\underset{x\to 9}{lim} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=\underset{x\to 9}{lim} \frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}=\underset{x\to 9}{lim} \left(\sqrt{x}+3\right)$

Evaluamos nuevamente.

$\underset{x\to 9}{lim} \left(\sqrt{x}+3\right)=\sqrt{9}+3=3+3=6$

Finalmente:

$\underset{x\to 9}{lim} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=6$

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 13

Identificar el paso incorrecto en la prueba de continuidad de la función $f\left(x\right)=(x-4{)}^{3}\text{, en }x=4$

Pasos:

1. $f\left(4\right)=(4-4{)}^{3}=0$
2. $\underset{x\to 4}{lim} (x-4{)}^{3}=0$
3. $\underset{x\to 4}{lim} (x-4{)}^{3}=f(0)$
4. $\underset{x\to {4}^{-}}{lim} (x-4{)}^{3}=\underset{x\to {4}^{+}}{lim} (x-4{)}^{3}$

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Solución:

Para que una función sea continua en un punto $x=a$, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. La función $f\left(x\right)$ debe estar definida en el punto: $a\in \mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(f\right)$.
2. El límite de $f\left(x\right)$ cuando $x\to a$
3. El límite de la función en el punto y la función evaluada en $x=a$, deben ser iguales.

En el primer inciso se evalúa a la función en el punto, procedimiento que se realiza correctamente. En el segundo inciso se calcula el límite de $f\left(x\right)$ cuando $x\to 4$.

En el tercer paso se intenta plasmar la igualdad entre el límite y la función evaluada en el punto, pero el punto indicado en la función es $x=0$ y no $x=4$. Por lo tanto, este es el paso incorrecto. La respuesta correcta es el inciso c).

Reactivo 14

Calcular el límite de la función $\underset{x\to -2}{lim} \frac{{x}^{3}+8}{x+2}$.

1. 12
2. 8
3. 4
4. 2

Solución:

Iniciamos evaluando el límite en el punto.

$\underset{x\to -2}{lim} \frac{{x}^{3}+8}{x+2}=\frac{{\left(-2\right)}^{3}+8}{-2+2}=\frac{0}{0}$

Hay una indeterminación $0/0$. Para romper la indeterminación, debemos factorizar la suma de cubos en el numerador.

${x}^{3}+8={x}^{3}+{2}^{3}$

La fórmula de factorización es:

${a}^{3}+{b}^{3}=\left(a+b\right)\left({a}^{2}-ab+{b}^{2}\right)$

Aplicando la fórmula al problema nos queda:

${x}^{3}+{2}^{3}=\left(x+2\right)\left({x}^{2}-2x+4\right)$

Sustituimos en el límite.

$\underset{x\to -2}{lim} \frac{{x}^{3}+8}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim} \frac{\left(x+2\right)\left({x}^{2}-2x+4\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{lim} \left({x}^{2}-2x+4\right)$

Evaluamos al límite para comprobar que se ha roto la indeterminación.

$\underset{x\to -2}{lim} \left({x}^{2}-2x+4\right)={\left(-2\right)}^{2}-2\left(-2\right)+4=4+4+4=12$

Finalmente:

$\underset{x\to -2}{lim} \frac{{x}^{3}+8}{x+2}=12$

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 15

Determinar el valor del límite ${\left[\underset{x\to a}{lim} f\left(x\right)\right]}^{6}$ dado que $\underset{x\to a}{lim} f\left(x\right)=\sqrt{3}$

1. 3
2. 9
3. 27
4. 81

Solución:

En este caso, nos apoyamos en la propiedad del límite de una potencia.

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f{\left(x\right)}^{n}={\left[\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)\right]}^{n}$

El enunciado ya nos indica el límite con la propiedad aplicada. Esta comprobación es un recordatorio de la propiedad y de que ha sido aplicada en el problema.

Tenemos el valor del límite, procedemos a sustituirlo.

${\left[\underset{x\to a}{lim} f\left(x\right)\right]}^{6}={\left[\sqrt{3}\right]}^{6}={3}^{3}=27$

Finalmente:

${\left[\underset{x\to a}{lim} f\left(x\right)\right]}^{6}=27$

Indicamos como respuesta correcta a la opción c).

Reactivo 16

Calcular el límite $\underset{x\to \pi /4}{lim} \frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\left(x\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(x\right)}{x}$

1. $\frac{\pi }{2}$
2. $\frac{\pi }{4}$
3. $\frac{4}{\pi }$
4. $\frac{2}{\pi }$

Solución:

Iniciamos evaluando el límite en el punto.

$\underset{x\to \pi /4}{lim} \frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\left(x\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(x\right)}{x}=\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot \mathrm{cos}\left(\frac{\pi }{4}\right)}{\frac{\pi }{4}}$

$\frac{\mathrm{sen}\left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot \mathrm{cos}\left(\frac{\pi }{4}\right)}{\frac{\pi }{4}}=\frac{4}{\pi }\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{4}{\pi }\cdot \frac{2}{4}=\frac{2}{\pi }$

Finalmente:

$\underset{x\to \pi /4}{lim} \frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\left(x\right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(x\right)}{x}=\frac{2}{\pi }$

Indicamos al inciso d) como la respuesta correcta.

Reactivo 17

Si $k\text{ y r }$son diferentes de cero, determinar el siguiente límite:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{{k}^{2}{x}^{2}-{r}^{2}x+7a}{k{x}^{2}-rx+4b}$

1. $k$
2. ${k}^{2}$
3. $r$
4. ${r}^{2}$

Solución:

Debido a que es un límite al infinito, debemos dividir tanto al numerador como al denominador por la mayor potencia de $x$. En este caso, la mayor potencia es ${x}^{2}$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{{k}^{2}{x}^{2}-{r}^{2}x+7a}{k{x}^{2}-rx+4b}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{\frac{{k}^{2}{x}^{2}}{{x}^{2}}-\frac{{r}^{2}x}{{x}^{2}}+\frac{7a}{{x}^{2}}}{\frac{k{x}^{2}}{{x}^{2}}-\frac{rx}{{x}^{2}}+\frac{4b}{{x}^{2}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{{k}^{2}-\frac{{r}^{2}}{x}+\frac{7a}{{x}^{2}}}{k-\frac{r}{x}+\frac{4b}{{x}^{2}}}$

Evaluamos el límite.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{{k}^{2}-\frac{{r}^{2}}{x}+\frac{7a}{{x}^{2}}}{k-\frac{r}{x}+\frac{4b}{{x}^{2}}}=\frac{{k}^{2}-0+0}{k-0+0}=\frac{{k}^{2}}{k}=k$

Finalmente:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{{k}^{2}{x}^{2}-{r}^{2}x+7a}{k{x}^{2}-rx+4b}=k$

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 18

Calcular el límite de la siguiente función:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6{x}^{5}-3{x}^{3}+{x}^{2}}{\left({x}^{2}-3\right)\left(2{x}^{3}+x-8\right)}$

1. $-\frac{3}{11}$
2. $\frac{18}{2}$
3. $-2$
4. $3$

Solución:

Este límite al infinito presenta una indeterminación $\infty /\infty$. Debemos dividir por la mayor potencia de $x$. Revisando a la función, la mayor potencia es ${x}^{5}$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{\frac{6{x}^{5}}{{x}^{5}}-\frac{3{x}^{3}}{{x}^{5}}+\frac{{x}^{2}}{{x}^{5}}}{\frac{\left({x}^{2}-3\right)\left(2{x}^{3}+x-8\right)}{{x}^{5}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}}}{\frac{\left({x}^{2}-3\right)}{{x}^{2}}\frac{\left(2{x}^{3}+x-8\right)}{{x}^{3}}}$

Simplificamos.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}}}{\frac{\left({x}^{2}-3\right)}{{x}^{2}}\frac{\left(2{x}^{3}+x-8\right)}{{x}^{3}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}}}{\left(\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{2}}\right)\left(\frac{2{x}^{3}}{{x}^{3}}+\frac{x}{{x}^{3}}-\frac{8}{{x}^{3}}\right)}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}}}{\left(\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{2}}\right)\left(\frac{2{x}^{3}}{{x}^{3}}+\frac{x}{{x}^{3}}-\frac{8}{{x}^{3}}\right)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}}}{\left(1-\frac{3}{{x}^{2}}\right)\left(2+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{8}{{x}^{3}}\right)}$

Ahora, evaluamos el límite. Recordando que $\frac{k}{\infty }=0$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6-\frac{3}{{x}^{2}}+\frac{1}{{x}^{3}}}{\left(1-\frac{3}{{x}^{2}}\right)\left(2+\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{8}{{x}^{3}}\right)}=\frac{6-0+0}{\left(1-0\right)\left(2+0-0\right)}=\frac{6}{2}=3$

Finalmente:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{6{x}^{5}-3{x}^{3}+{x}^{2}}{\left({x}^{2}-3\right)\left(2{x}^{3}+x-8\right)}=3$

Finalmente, seleccionamos al inciso d) como la respuesta correcta.

Reactivo 19

Calcular el límite $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{x-2}{\sqrt{4{x}^{2}-9}}$

1. 0
2. $\frac{1}{2}$
3. 1
4. $\frac{3}{2}$

Solución:

Este límite al infinito presenta una indeterminación $\infty /\infty$. Dividimos el numerador y denominador por la mayor potencia fuera del radical, es decir: $x$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{x-2}{\sqrt{4{x}^{2}-9}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{4{x}^{2}-9}}{x}}$

Introducimos a la $x$ dentro de la raíz aplicando el siguiente artificio: $x=\sqrt{{x}^{2}}$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{4{x}^{2}-9}}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}{\frac{\sqrt{4{x}^{2}-9}}{\sqrt{{x}^{2}}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{4{x}^{2}}{{x}^{2}}-\frac{9}{{x}^{2}}}}$

Simplificando nos queda:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{4{x}^{2}}{{x}^{2}}-\frac{9}{{x}^{2}}}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{4-\frac{9}{{x}^{2}}}}$

Evaluamos.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{4-\frac{9}{{x}^{2}}}}=\frac{1-0}{\sqrt{4-0}}=\frac{1}{2}$

Finalmente:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim} \frac{x-2}{\sqrt{4{x}^{2}-9}}=\frac{1}{2}$

La respuesta correcta es el inciso b).

Reactivo 20

Relacionar los límites de la función $h\left(x\right)=\frac{{x}^{3}}{(x+1{)}^{3}}$ con su valor, de acuerdo con la gráfica siguiente:

1. 1C, 2D, 3B, 4A
2. 1D, 2C, 3A, 4B
3. 1C, 2D, 3A, 4B
4. 1D, 2C, 3B, 4A

Solución:

A partir de los incisos de la columna izquierda, vemos que la función de la figura es $f\left(x\right)=\frac{{x}^{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}$. Los límites pueden ser resueltos a partir de la gráfica. Vamos a ir analizando cada uno de los límites hasta que tengamos la suficiente información para concluir con la respuesta correcta.

Primer límite.

$\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}$

Examinando la figura, cuando $x$ crece hacia $+\infty$ la imagen de la función se acerca cada vez más hacia 1.

En este caso: 1C. Podemos descartar a los incisos b y d. Por otra parte, los incisos a y c tienen como segundo pareo 2D, esto quiere decir que el pareo decisivo para escoger entre una u otra es el límite 3. Vamos directamente con el tercer límite.

Tercer límite.

$\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{3}}{{\left(x+1\right)}^{3}}$

A partir de la figura, vemos que la gráfica de la función pasa por el origen. Esto quiere decir que cuando $x=0$ la imagen de la función es igual a cero. Entonces: 3B. La combinación parcial es: 1C, 2D, 3B, … comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es a).