Guía IPN Geometría y trigonometría del 1 al 10 resueltos

Queremos ayudarte a que te prepares al 100% para tu examen de admisión en el IPN, por eso, en esta serie de post te ayudaremos a resolver los 50 reactivos de matemáticas que corresponden al área de geometría y trigonometría. Ten en cuenta que el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional está compuesto de un total de 130 preguntas a través de dos partes diferentes.

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No lo olvides, para poder ser admitido como estudiante del IPN, debes prepararte muy bien para tu examen y lograr el puntaje mínimo requerido para la carrera que te interesa estudiar.

¿Qué viene en el examen del IPN?

El examen de admisión que deberás presentar en el IPN se compone de dos partes. La primera parte está compuesta por una serie de preguntas de conocimiento general, donde verás contenido referente a matemáticas y lengua. Luego, la segunda parte contempla estudios en áreas más específicas como física, química y biología.

En cuanto a su estructura, la cantidad de preguntas o reactivos está distribuida de la siguiente manera:

• 50 preguntas de matemáticas.
• 40 preguntas de comunicación.
• 10 preguntas de biología.
• 15 preguntas de química.
• 15 preguntas de física.

Dicho esto, te dejamos con las respuestas a los reactivos de la guía:

Reactivo 1: Completa los logaritmos

Completar los logaritmos siguientes: \log 1= \_\_\_\_ \text{ y } \log 10=\_\_\_\_

1. 1, 0
2. 0, 0
3. 1, 1
4. 0, 1

Solución:

En este primer problema, solo tendremos que aplicar un par de propiedades de los logaritmos, específicamente las dos primeras señaladas en el desarrollo teórico del post. Antes de seguir, es necesario recordar que  escrito sin una base señalada es de base 10.

El \log 1 es igual a cero para cualquier base, recordemos que: cualquier número elevado a cero es uno, por tanto:

\log 1=0

El \log 10 es igual a uno. En este segundo caso, tenemos al logaritmo base 10 de 10 y como lo indica la propiedad logaritmo de la base, el resultado será siempre uno por lo tanto:

\log 10=\log _{10} 10=1

Concluimos entonces que la respuesta correcta es la d).

Reactivo 2: Ecuaciones logarítmicas

Resolver la ecuación logarítmica: \log _{3} 81^{x}-\log _{3} 3^{2 x}=3

1. 3
2. 6
3. 2/3
4. 3/2

Solución:

Para resolver la ecuación, debemos aplicar con astucia las propiedades de los logaritmos y los exponentes. El 81 lo podemos expresar como 3^{4} , quedando la ecuación como:

\log _{3} 81^{x}-\log _{3} 3^{2 x}=3 \rightarrow \log _{3} 3^{4 x}-\log _{3} 3^{2 x}=3

Ahora, se aplica la propiedad logaritmo de una potencia:

\log _{3} 3^{4 x}-\log _{3} 3^{2 x}=3 \rightarrow 4 x \log _{3} 3-2 x \log _{3} 3=3

El logaritmo de un número que es igual a la base del logaritmo tiene como resultado uno:

4 x \log _{3} 3-2 x \log _{3} 3=3 \rightarrow 4 x(1)-2 x(1)=3

4 x-2 x=3

Hemos transformado a la ecuación logarítmica en una ecuación lineal fácil de resolver. Procedemos a encontrar el valor de x .

4 x-2 x=3 \rightarrow x= 3/2

Ya que la x se encuentra en los exponentes de los argumentos, nunca dará como resultado un valor negativo dentro de ellos. Concluimos entonces que: la respuesta correcta es la d).

Reactivo 3: Obtener el valor

¿Cuál es el valor de e^{\frac{1}{2} \ln 9} ?

1. 12
2. 9
3. 3
4. 2

Solución:

Para encontrar el valor solicitado, nos valdremos de la siguiente deducción:

Se sabe que:

\log _{b} x=n \rightarrow b^{n}=x

Si sustituimos n=\log _{b} x \text { en } b^{n}=x obtenemos que:

b^{\log _{b} x}=x

Es decir: cualquier número b elevado al logaritmo base b de una cantidad x tiene como resultado a x . Con esto demostrado, solo tenemos que trabajar un poco la expresión enunciada en el problema para aplicar esta deducción.

e^{\frac{1}{2} \ln 9}=e^{\frac{1}{2} \ln 3^{2}}

Propiedad del logaritmo de una potencia:

e^{\frac{1}{2} \ln 3^{2}}=e^{\frac{2}{2} \ln 3}=e^{\ln 3}

Ha quedado el número e elevado al logaritmo base e de 3, por lo tanto:

b^{\log _{b} x}=x \rightarrow e^{\ln 3}=3

Concluimos que la respuesta correcta es la c).

Reactivo 4: Relaciona cada logaritmo con la respuesta correcta

Relacionar cada logaritmo con su valor correspondiente:

1. 1B, 2D, 3A, 4C
2. 1B, 2C, 3D, 4A
3. 1C, 2A, 3D, 4B
4. 1C, 2A, 3B, 4D

Solución:

Iremos resolviendo cada logaritmo de la columna izquierda, para luego asociarlo con el valor correcto en la columna derecha.

1. \log _{2} 8

Se transforma al 8 como 2^{3} y se aplican propiedades:

\log _{2} 8=\log _{2}\left(2^{3}\right)=3 \log _{2}(2)=3(1)=3

Concluimos: 1B.

2. \log _{3} 9

El truco será similar, el 9 se escribe como 3^{2} :

\log _{3} 9=\log _{3}\left(3^{2}\right)=2 \log _{3}(3)=2(1)=2

Concluimos: 2C.

3. \log _{4} 2

Aquí debemos aplicar un truco con las potencias para emplear la propiedad de logaritmo de una potencia:

2=\left(2^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{2}}

Sustituimos y resolvemos:

\log _{4} 2=\log _{4}\left(4^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2} \log _{4} 4=\frac{1}{2}(1)=\frac{1}{2}

Concluimos: 3D.

4. \log _{4} 1

Este último tiene solución directa, pues responde a la propiedad logaritmo de la unidad:

\log _{4} 1=0

Concluimos: 4A.

Finalmente, la respuesta correcta es la b) 1B, 2C, 3D, 4A.

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Reactivo 5: Representa la operación

Representar \log _{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}=1 en forma exponencial.

1. \left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}
2. (3)^{-1}=\frac{1}{3}
3. \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3
4. (3)^{1}=3

Solución:

Llevar a la forma exponencial el logaritmo indicado es sencillo, recordemos que:

\log _{b} x=n \rightarrow b^{n}=x

Donde:

• b=\frac{1}{3}
• x=\frac{1}{3}
• n=1

Por lo tanto:

b^{n}=x \rightarrow\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{1}{3}

Se concluye que la respuesta correcta es la a). Cabe acotar que la respuesta b) también es correcta ya que \frac{1}{3}=(3)^{-1} , tanto la respuesta a) como la b) son equivalentes.

Reactivo 6: Obtén los valores correspondientes

Calcular los valores de x \text { У } y \text { si } \overline{A B}|| \overline{C D} .

1. x=180^{\circ} \quad y=140^{\circ}
2. x=50^{\circ} \quad y=10^{\circ}
3. x=46^{\circ} \quad y=6^{\circ}
4. x=30^{\circ} \quad y=45^{\circ}

Solución:

Nuevamente debemos hacer uso de las relaciones entre ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas.

Las relaciones indican que:

\hat{1}=\widehat{1}^{\prime}

\hat{2}=\widehat{2}^{\prime}

\hat{3}=\widehat{3}^{\prime}

\hat{4}=\widehat{4}^{\prime}

Llevadas a nuestro problema \hat{2}=140^{\circ} y \widehat{2^{\prime}}=3 x+2 . Entonces:

3 x+2=140^{\circ}(I)

Para el ángulo restante debemos ser más audaces. Aplicaremos la relación de ángulos suplementarios.

\alpha+\beta=180^{\circ}

Escogeremos a \alpha=x-y \text { у } \beta=140^{\circ} , es indistinto el orden de asignación en este caso. Recuerda que la suma es conmutativa. Sustituyendo todo quedaría:

x-y+140^{\circ}=180^{\circ}

x-y=40^{\circ}(I I)

Despejamos de (I) el valor de x :

3 x+2=140^{\circ} \rightarrow x=46^{\circ}

Sustituimos el resultado en (I I) para calcular y :

x-y=40^{\circ} \rightarrow y=6^{\circ}

Concluimos entonces que x=46^{\circ} y=6^{\circ} . La respuesta correcta es la c).

Reactivo 7: Resolver ecuación logaritmica

Resolver la ecuación logarítmica: \log _{\frac{1}{5}} x=\log _{\frac{1}{5}} 6+\log _{\frac{1}{5}} 5

1. 25
2. 30
3. 36
4. 40

Solución:

Este último problema es bastante sencillo de solucionar. Primero, apliquemos la propiedad del logaritmo del producto de dos números en sentido inverso al segundo miembro de la ecuación:

\log _{\frac{1}{5}} x=\log _{\frac{1}{5}} 6 * 5 \rightarrow \log _{\frac{1}{5}} x=\log _{\frac{1}{5}} 30

Ahora, ambos logaritmos poseen la misma base, lo que quiere decir que la única condición que falta para que sean iguales, es que sus argumentos sean iguales, por lo tanto:

x=30

Concluimos entonces que la respuesta correcta es la b).

Reactivo 8: Encuentra el valor de X

Encontrar el valor de x de acuerdo con la siguiente expresión 4^{x+2}=4

1. -2
2. -1
3. 1
4. 2

Solución:

El problema puede resolverse por el primer método o por el segundo. Ya que las bases a ambos lados de la ecuación son de forma directa equivalentes, aplicaremos el primer método:

4^{x+2}=4 \rightarrow x+2=1

Despejamos a x de la ecuación y obtenemos que:

x+2=1 \rightarrow x=-1

Concluimos entonces que la respuesta correcta es la b).

Reactivo 9: Calcula la longitud de un segmento

Calcular la longitud del segmento \overline{D A} que se muestra en la siguiente figura y en el cual se cumple que \overline{A C}=2 \overline{D B} .

1. \sqrt{29}
2. \frac{\sqrt{41}}{2}
3. 4
4. 2

Solución:

El segmento \overline{D A} es la hipotenusa del triángulo A B D , del que solo conocemos uno de sus catetos \overline{A B}=5 . Este último es también cateto del triángulo A B C para el que también conocemos a su hipotenusa, el segmento \overline{C B}=\sqrt{41} .

Con la relación dada por el problema \overline{A C}=2 \overline{D B} , podemos primero calcular el cateto \overline{A C} del triángulo A B C , sustituirlo en la relación y con el teorema de Pitágoras aplicado en el triángulo A B D determinar al segmento \overline{D A} solicitado por el problema.

Para el triángulo A B C :

• Cateto 1: \overline{A B}=5
• Hipotenusa: \overline{C B}=\sqrt{41}
• Cateto 2: \overline{A C}=?

Según el Teorema de Pitágoras:

c_{1}=\sqrt{h^{2}-c^{2}{ }_{2}} \rightarrow \overline{A C}=\sqrt{\overline{C B}^{2}-\overline{A B}^{2}}

Sustituimos valores y calculamos:

\overline{A C}=\sqrt{(\sqrt{41})^{2}-(5)^{2}}=4

Con la relación \overline{A C}=2 \overline{D B} procedemos a determinar el otro cateto del triángulo A B D :

\overline{A C}=2 \overline{D B} \rightarrow \overline{D B}=\frac{\overline{A C}}{2}

\therefore \overline{D B}=\frac{4}{2}=2

Aplicamos finalmente el teorema de Pitágoras al triangulo A B D para calcular a \overline{D A} :

• Cateto 1: \overline{D B}=2
• Cateto 2: \overline{A B}=5
• Hipotenusa: \overline{D A}=?

\overline{D A}=\sqrt{\overline{D B}^{2}+\overline{A B}^{2}}

\overline{D A}=\sqrt{(2)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{29}

Concluimos entonces en que la respuesta correcta es la a).

Reactivo 10:  Asocia valores radiantes

Asociar los valores de radianes con sus respectivos equivalentes en grados.

1. 1C, 2A, 3B, 4D
2. 1C, 2A, 3D, 4B
3. 1D, 2C, 3B, 4A
4. 1D, 2B, 3C, 4A

Solución:

Para resolver este problema, haremos uso de la fórmula que transforma de radianes a grados sexagesimales.

\text { grados }=\frac{180^{\circ}}{\pi} \mathrm{rad}

Así, iremos transformando a la columna izquierda a grados para comparar el resultado con la columna derecha.

Para 1.

Transformamos \frac{\pi}{2} a grados:

\text { grados }=\frac{180^{\circ}}{\pi} \frac{\pi}{2}=90^{\circ}

Comparando con la columna derecha, la opción correcta seria 1C.

Para 2.

Transformamos \frac{\pi}{6} a grados:

\text { grados }=\frac{180^{\circ}}{\pi} \frac{\pi}{6}=30^{\circ}

Comparando con la columna derecha, la opción correcta seria 2A.

Para 3.

Transformamos \frac{3 \pi}{4} a grados:

\text { grados }=\frac{180^{\circ}}{\pi} \frac{3 \pi}{4}=135^{\circ}

Comparando con la columna derecha, la opción correcta seria 3B.

Para 4.

Transformamos \frac{4 \pi}{3} a grados:

\text { grados }=\frac{180^{\circ}}{\pi} \frac{4 \pi}{3}=240^{\circ}

Comparando con la columna derecha, la opción correcta seria 4D.

Uniendo los resultados obtenidos: 1C, 2A, 3B, 4D. La respuesta correcta es la a).