Guía IPN 2023 Cálculo Integral Parte 4 del 31 al 40

¡Llegamos a la última parte! En este tutorial vamos a resolver la cuarta parte de la guía de cálculo integral IPN 2023, correspondiente a los reactivos desde el 31 al 40.

Guía IPN 2023 CALCULO INTEGRAL 4

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Reactivo 31

Resolver la integral \int \frac{dx}{x\left(x-\frac{5}{3}\right)} .

  1. \frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|\frac{x}{3x-5}\right|+C
  2. \frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|\frac{x}{5x-3}\right|+C
  3. \frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|\frac{3x-5}{x}\right|+C
  4. \frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|\frac{5x-3}{x}\right|+C

Solución:

Para resolver la integral, debemos descomponer en fracciones parciales al integrando.

\frac{1}{x\left(x-\frac{5}{3}\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-\frac{5}{3}}

Pasamos a multiplicar el denominador de la fracción de la izquierda.

1=A\left(x-\frac{5}{3}\right)+Bx

Desarrollamos.

1=Ax-\frac{5}{3}A+Bx\to \left(A+B\right)x-\frac{5}{3}A=1

Igualamos los coeficientes para calcular el valor de los coeficientes.

\left\{\begin{array}{c}A+B=0\\ -\frac{5}{3}A=1\end{array}\right.

Despejamos el valor de A , con la segunda ecuación.

-\frac{5}{3}A=1\to A=-\frac{3}{5}

Ahora, despejamos a B .

A+B=0\to B=-A\to B=\frac{3}{5}

La descomposición en fracciones parciales es:

\frac{1}{x\left(x-\frac{5}{3}\right)}=-\frac{3}{5x}+\frac{3}{5\left(x-\frac{5}{3}\right)}

Sustituyendo en la integral:

\int \frac{dx}{x\left(x-\frac{5}{3}\right)}=-\frac{3}{5}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{5}\int \frac{1}{x-\frac{5}{3}}dx=-\frac{3}{5}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{5}\int \frac{3}{3x-5}dx

La integral nos queda:

-\frac{3}{5}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{5}\int \frac{3}{3x-5}dx

Para ambas integrales, aplicamos la fórmula de la integral del inverso de x . En la integral del segundo término, ya tenemos el diferencial de 3x-5 es como 3dx .

-\frac{3}{5}\int \frac{1}{x}dx+\frac{3}{5}\int \frac{3dx}{3x-5}=-\frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|3x-5\right|+C

Aplicamos la propiedad del logaritmo del cociente.

-\frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|3x-5\right|+C=\frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|\frac{3x-5}{x}\right|+C

Finalmente:

\int \frac{dx}{x\left(x-\frac{5}{3}\right)}=\frac{3}{5}\mathrm{ln}\left|\frac{3x-5}{x}\right|+C

La respuesta correcta es el inciso c).

Sigue practicando la parte de cálculo integral:

Reactivo 32

Calcular la integral por fracciones parciales.

\int \frac{{x}^{2}-6x-11}{{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3}dx

  1. \mathrm{ln}\left|\frac{(x+1)(x+3{)}^{2}}{(x-1{)}^{2}}\right|+c
  2. \mathrm{ln}\left|\frac{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}{x-1}\right|+c
  3. \mathrm{ln}\left|\frac{(x+1{)}^{2}(x+3)}{x-1}\right|+c
  4. \mathrm{ln}\left|\frac{(x+1)(x+3{)}^{2}}{\left(x-1\right)}\right|+c

Solución:

Para aplicar fracciones parciales, debemos factorizar el denominador del integrando. Debido a que es un polinomio de tercer grado, es necesario utilizar Ruffini o la división sintética. En este caso, utilizaremos la regla de Ruffini.

Copiamos los coeficientes del polinomio.

No vamos a describir el procedimiento, pero sí dejaremos el paso a paso.

La primera raíz es x=1 .

La segunda raíz es x=-3 .

La tercera y última raíz es x=-3 . Finalmente:

{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3=\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)

Sustituimos en la integral.

\int \frac{{x}^{2}-6x-11}{{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3}dx=\int \frac{{x}^{2}-6x-11}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}dx

Descomponemos en fracciones parciales.

\frac{{x}^{2}-6x-11}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}

{x}^{2}-6x-11=A\left(x-1\right)\left(x+1\right)+B\left(x+3\right)\left(x-1\right)+C\left(x+3\right)\left(x+1\right)

Desarrollamos y agrupamos.

{x}^{2}-6x-11=A\left({x}^{2}-1\right)+B\left({x}^{2}+2x-3\right)+C\left({x}^{2}+4x+3\right)

{x}^{2}-6x-11={x}^{2}\left(A+B+C\right)+x\left(2B+4C\right)-A-3B+3C

Igualamos los coeficientes.

\left\{\begin{array}{c}A+B+C=1\\ 2B+4C=-6\\ -A-3B+3C=-11\end{array}\right.

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Vamos a saltar este paso, pero puedes utilizar el método de solución que prefieras.

A=2, B=1, C=-2

Sustituimos en la descomposición.

\frac{{x}^{2}-6x-11}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{2}{x+3}+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x-1}

Sustituimos en la integral y resolvemos.

\int \frac{{x}^{2}-6x-11}{{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3}dx=\int \frac{2}{x+3}dx+\int \frac{1}{x+1}dx-\int \frac{2}{x-1}dx

En las tres integrales aplicamos la fórmula para la integral del inverso de x .

\int \frac{2}{x+3}dx+\int \frac{1}{x+1}dx-\int \frac{2}{x-1}dx=2\mathrm{ln}\left|x+3\right|+\mathrm{ln}\left|x+1\right|-2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C

Ahora, aplicamos las propiedades del logaritmo de una potencia, de un producto y de un cociente para reacomodar el resultado.

2\mathrm{ln}\left|x+3\right|+\mathrm{ln}\left|x+1\right|-2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C=\mathrm{ln}{\left|x+3\right|}^{2}+\mathrm{ln}\left|x+1\right|-\mathrm{ln}{\left|x-1\right|}^{2}+C

\mathrm{ln}{\left|x+3\right|}^{2}+\mathrm{ln}\left|x+1\right|-\mathrm{ln}{\left|x-1\right|}^{2}+C=\mathrm{ln}\left|{\left(x+3\right)}^{2}\left(x+1\right)\right|-\mathrm{ln}{\left|x-1\right|}^{2}+C

\mathrm{ln}\left|{\left(x+3\right)}^{2}\left(x+1\right)\right|-\mathrm{ln}{\left|x-1\right|}^{2}+C=\mathrm{ln}\left|\frac{{\left(x+3\right)}^{2}\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^{2}}\right|+C

Finalmente:

\int \frac{{x}^{2}-6x-11}{{x}^{3}+3{x}^{2}-x-3}dx=\mathrm{ln}\left|\frac{{\left(x+3\right)}^{2}\left(x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^{2}}\right|+C

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso a).

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Reactivo 33

Elegir la integral que es equivalente a \int \frac{3xdx}{(x-7{)}^{3}} usando fracciones parciales.

  1. \frac{A}{x-7}+\frac{B}{(x-7{)}^{2}}+\frac{Cx}{(x-7{)}^{3}}
  2. \frac{A}{x-7}+\frac{Bx}{(x-7{)}^{2}}+\frac{C}{(x-7{)}^{3}}
  3. \frac{Ax}{x-7}+\frac{B}{(x-7{)}^{2}}+\frac{Cx}{(x-7{)}^{3}}
  4. \frac{A}{x-7}+\frac{C}{(x-7{)}^{2}}+\frac{B}{(x-7{)}^{3}}

Solución:

El integrando tiene una raíz lineal repetida tres veces. La descomposición en fracciones sería:

\frac{3x}{{\left(x-7\right)}^{3}}=\frac{A}{x-7}+\frac{B}{{\left(x-7\right)}^{2}}+\frac{C}{{\left(x-7\right)}^{3}}

La respuesta correcta es el inciso d).

Reactivo 34

Indicar el sistema de ecuaciones que se plantea al resolver la integral.

\int \frac{\left(5x+30\right)dx}{{x}^{2}-3x+2}

  1. A+B=5,-B-2A=30
  2. A+B=5,B+2A=30
  3. A-B=5,-B-2A=20
  4. A-B=5,B+2A=20

Solución:

Primero factorizamos el trinomio del denominador. Buscamos dos números que sumados sean -3 y multiplicados +2, estos son: -1 y -2.

{x}^{2}-3x+2=\left(x-1\right)\left(x-2\right)

Sustituimos en el integrando.

\int \frac{\left(5x+30\right)dx}{{x}^{2}-3x+2}=\int \frac{\left(5x+30\right)dx}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}

Aplicando descomposición en fracciones parciales:

\frac{5x+30}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}

Pasamos a multiplicar los factores del denominador de la fracción del primer miembro.

5x+30=A\left(x-2\right)+B\left(x-1\right)

Desarrollamos y agrupamos.

5x+30=Ax-2A+Bx-B\to 5x+30=\left(A-B\right)x-2A-B

Igualamos los coeficientes.

\left\{\begin{array}{c}A+B=5\\ -2A-B=30\end{array}\right.

Este es el sistema de ecuaciones que permite calcular el valor de los coeficientes.

Comparando con los incisos, concluimos que la respuesta correcta es el inciso a).

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Reactivo 35

El teorema fundamental del cálculo afirma que la integral definida {\int }_{a}^{b} f\left(x\right)dx es:

  1. F\left(a\right)-F\left(b\right)
  2. f\left(b\right)-f\left(a\right)
  3. F\left(b\right)-F\left(a\right)
  4. f\left(a\right)-f\left(b\right)

Solución:

En cálculo hay dos teoremas fundamentales y el segundo es el que nos habla de las integrales definidas como herramientas para determinar el área bajo una curva. El segundo teorema fundamental del cálculo establece que:

Dada una función f continua en un intérvalo \left[a, b\right] y F es una antiderivada de f , entonces:

{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 36

Resolver la integral {\int }_{-1}^{1}\left|x\right|dx  .

  1. 0
  2. ½
  3. 1
  4. 2

Solución:

Para calcular el área bajo la función valor absoluto, debemos reescribirla como una función a trozos.

\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}x si x\ge 0\\ -x si x<0\end{array}\right.

Teniendo en cuenta esto, utilizamos a -x para integrar desde -1 hasta 0 y x para el intervalo de 0 a 1. La integral definida quedaría reescrita como:

{\int }_{-1}^{1}\left|x\right|dx ={\int }_{-1}^{0}-xdx+{\int }_{0}^{1}xdx

Ambas integrales son inmediatas.

{\int }_{-1}^{0}-xdx+{\int }_{0}^{1}xdx=\begin{array}{c} \\ -\frac{{x}^{2}}{2}\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}0\\  \\ -1\end{array}+\begin{array}{c} \\ \frac{{x}^{2}}{2}\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}1\\  \\ 0\end{array}=-\left(\frac{0}{2}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-0\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1 {u}^{2}

Finalmente:

{\int }_{-1}^{1}\left|x\right|dx =1 {u}^{2}

La respuesta correcta es el inciso c).

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Reactivo 37

Resolver la siguiente integral:

{\int }_{1}^{2} \sqrt[4]{{x}^{3}}dx

  1. \frac{4}{7}\left(2\sqrt[4]{8}+1\right)
  2. \frac{4}{7}\left(2\sqrt[4]{8}-1\right)
  3. \frac{4}{7}\left(\sqrt[4]{8}+1\right)
  4. \frac{4}{7}\left(\sqrt[4]{8}-1\right)

Solución:

Expresamos al integrando en forma de potencia y resolvemos.

{\int }_{1}^{2} \sqrt[4]{{x}^{3}}dx={\int }_{1}^{2} {x}^{\frac{3}{4}}dx=\begin{array}{c} \\ \frac{{x}^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{3}{4}+1}\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}2\\  \\ 1\end{array}=\frac{4}{7}\begin{array}{c} \\ {x}^{\frac{7}{4}}\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}2\\  \\ 1\end{array}=\frac{4}{7}{\left(2\right)}^{\frac{7}{4}}-\frac{4}{7}{\left(1\right)}^{\frac{7}{4}}

\frac{4}{7}{\left(2\right)}^{\frac{7}{4}}-\frac{4}{7}{\left(1\right)}^{\frac{7}{4}}=\frac{4}{7}{\left(2\right)}^{\frac{7}{4}}-\frac{4}{7}=\frac{4}{7}\left[\sqrt[4]{{2}^{7}}-1\right]=\frac{4}{7}\left[\sqrt[4]{{2}^{4}\cdot {2}^{3}}-1\right]

\frac{4}{7}\left[\sqrt[4]{{2}^{4}\cdot {2}^{3}}-1\right]=\frac{4}{7}\left[2\sqrt[4]{8}-1\right]\approx 1.3506 {u}^{2}

La respuesta correcta es el inciso b).

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Reactivo 38

Determinar el área bajo la curva en el intervalo \left[0, 1\right] de la siguiente función:

f\left(x\right)=\sqrt{x}+1

  1. \frac{5}{3}
  2. \frac{5}{4}
  3. 1
  4. \frac{5}{6}

Solución:

La integral definida de la función quedaría:

{\int }_{0}^{1}\left(\sqrt{x}+1\right)dx

Resolvemos.

{\int }_{0}^{1}\left(\sqrt{x}+1\right)dx={\int }_{0}^{1}\sqrt{x}dx+{\int }_{0}^{1}dx={\int }_{0}^{1}{x}^{1/2}dx+{\int }_{0}^{1}dx=\begin{array}{c} \\ \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}1\\  \\ 0\end{array}+\begin{array}{c} \\ x\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}1\\  \\ 0\end{array}

Aplicando el teorema fundamental del cálculo.

\begin{array}{c} \\ \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}1\\  \\ 0\end{array}+\begin{array}{c} \\ x\\  \end{array}⟧\begin{array}{c}1\\  \\ 0\end{array}=\frac{2}{3}\left({1}^{3/2}-{0}^{3/2}\right)+\left(1-0\right)=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}{u}^{2}

Finalmente:

{\int }_{0}^{1}\left(\sqrt{x}+1\right)dx=1.66\dots {u}^{2}

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 39

Determinar el área bajo la curva de la función {\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}\mathrm{sen}\left(x\right)dx sobre el intervalo [-\pi ,\pi ] .

  1. 0
  2. 1
  3. \pi
  4. 2\pi

Solución:

Examinando el integrando, queda claro que debemos aplicar el método de integración por partes para encontrar la primitiva. Primero integramos indefinidamente y luego aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo.

\int {x}^{2}\mathrm{sin}\left(x\right)dx

Seleccionamos a u como {x}^{2} y a dv como \mathrm{sin}\left(x\right)dx .

u={x}^{2}, dv=\mathrm{sin}\left(x\right)dx

Resolvemos.

du=2xdx, v=-\mathrm{cos}x

Aplicamos la fórmula de integración por partes.

\int {x}^{2}\mathrm{sin}\left(x\right)dx=-{x}^{2}\mathrm{cos}x+2\int x\mathrm{cos}xdx

Aplicamos de nuevo integración por partes.

{I}_{2}=\int x\mathrm{cos}xdx

u=x, dv=\mathrm{cos}xdx

du=dx, v=\mathrm{sin}x

{I}_{2}=x\mathrm{sin}x-\int \mathrm{sin}xdx=x\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x

Sustituimos en la integral original.

\int {x}^{2}\mathrm{sin}\left(x\right)dx=-{x}^{2}\mathrm{cos}x+2\left(x\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x\right)

\int {x}^{2}\mathrm{sin}\left(x\right)dx=-{x}^{2}\mathrm{cos}x+2x\mathrm{sin}x+2\mathrm{cos}x

Con la primitiva F\left(x\right)=-{x}^{2}\mathrm{cos}x+2x\mathrm{sin}x+2\mathrm{cos}x , aplicamos el teorema fundamental del cálculo.

I=F\left(\pi \right)-F\left(-\pi \right)

I=-{\left(\pi \right)}^{2}\mathrm{cos}\left(\pi \right)+2\left(\pi \right)\mathrm{sin}\left(\pi \right)+2\mathrm{cos}\left(\pi \right)+{\left(-\pi \right)}^{2}\mathrm{cos}\left(-\pi \right)-2\left(-\pi \right)\mathrm{sin}\left(-\pi \right)-2\mathrm{cos}\left(-\pi \right)

I={\pi }^{2}-2-{\pi }^{2}+2=0

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 40

Determinar la longitud de arco de la gráfica que corresponde a la función f\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+1 sobre el intérvalo \left[0, 1\right] .

  1. \frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}
  2. \frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{2}{3}
  3. \frac{3}{4}\sqrt{2}-\frac{2}{3}
  4. \frac{3}{4}\sqrt{2}+\frac{2}{3}

Solución:

La longitud de arco de una función f en el intervalo \left[a,b\right] , donde f es continua y derivable, se calcula como:

L={\int }_{0}^{1}\sqrt{1+{f}^{\text{'}}{\left(x\right)}^{2}}dx

Calculamos la derivada de f .

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+1\right)}^{\text{'}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}={x}^{\frac{1}{2}}

Sustituimos en la integral.

L={\int }_{0}^{1}\sqrt{1+{\left({x}^{\frac{1}{2}}\right)}^{2}}dx={\int }_{0}^{1}\sqrt{1+x}dx

Esta integral se resuelve con la fórmula para una potencia.

L={\int }_{0}^{1}{\left(1+x\right)}^{1/2}dx=\begin{array}{c}\\ \frac{2}{3}{\left(1+x\right)}^{3/2}\\ \end{array}⟧\begin{array}{c}1\\ \\ 0\end{array}

Evaluamos.

L=\frac{2}{3}\sqrt{{\left(1+1\right)}^{3}}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\sqrt{8}-\frac{2}{3}

Finalmente:

L=\frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}{u}^{2}

La respuesta correcta es el inciso a).