Guía IPN 2023 Cálculo Integral Parte 2 del 11 al 20

Continuamos el tutorial de la nueva guía de estudio IPN cálculo integral, en esta segunta parte vamos a resolver los ejercicios del 11 al 20.

Utiliza este material para consulta. Antes de mirar la solución de los reactivos intenta resolverlos por tu cuenta.

Reactivo 11

Resolver la integral por sustitución:

$\int \frac{\mathrm{cos}\left(\sqrt{2x}\right)}{\sqrt{2x}}dx$

1. $\mathrm{sen}\left(\sqrt{2x}\right)+C$
2. $-\mathrm{sen}\left(\sqrt{2x}\right)+C$
3. $\frac{\mathrm{sen}\left(\sqrt{2x}\right)}{2}+C$
4. $-\frac{\mathrm{sen}\left(\sqrt{2x}\right)}{2}+C$

Solución:

En las integrales por sustitución, la tarea más complicada es encontrar el elemento del integrando sobre el que conviene aplicar el cambio de variable. Examinando la integral del enunciado, no conviene aplicar sustitución sobre el coseno porque no tenemos nada parecido a su diferencial.

Por otra parte, podríamos intentarlo con el argumento del coseno. El diferencial de $\sqrt{2x}$ es:

$d\left(\sqrt{2x}\right)=\frac{1}{2}{\left(2x\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(2x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}dx$

Este diferencial se encuentra explícitamente en la integral.

$\int \frac{\mathrm{cos}\left(\sqrt{2x}\right)}{\sqrt{2x}}dx=\int \mathrm{cos}\left(\sqrt{2x}\right)\frac{1}{\sqrt{2x}}dx$

Aplicamos el cambio de variables sobre el argumento del coseno.

$u=\sqrt{2x}\to du=\frac{1}{\sqrt{2x}}dx$

Sustituimos.

$\int \mathrm{cos}\left(\sqrt{2x}\right)\frac{1}{\sqrt{2x}}dx\to \int \mathrm{cos}\left(u\right)du$

Esta integral se resuelve de forma directa.

$\int \mathrm{cos}\left(u\right)du=\mathrm{sin}u+C$

Devolvemos el cambio de variable.

$\mathrm{sin}u+C\to \mathrm{sin}\left(\sqrt{2x}\right)+C$

Finalmente:

$\int \frac{\mathrm{cos}\left(\sqrt{2x}\right)}{\sqrt{2x}}dx=\mathrm{sin}\left(\sqrt{2x}\right)+C$

La respuesta correcta se encuentra en el inciso a).

Reactivo 12

Identificar la antiderivada de:

$\frac{3}{2}\mathit{xcos}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)$

1. $\frac{3}{2}\mathrm{xsen}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)+c$
2. $\frac{3}{2}\mathrm{xcos}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)+c$
3. $\mathrm{sen}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)+c$
4. $\frac{3}{2}\mathrm{sen}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)+c$

Solución:

En otras palabras, debemos calcular la integral de la función dada.

$\int \frac{3}{2}x\mathrm{cos}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)dx$

Debemos aplicar cambio de variable sobre el argumento del coseno.

$z=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\to dz=\frac{3}{2}xdx$

Aplicamos el cambio de variable.

$\int \frac{3}{2}x\mathrm{cos}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)dx\to \int \mathrm{cos}\left(z\right)dz$

Integramos de forma directa aplicando la fórmula de la integral del coseno.

$\int \mathrm{cos}\left(z\right)dz=\mathrm{sin}z+C$

Devolvemos el cambio de variable.

$\mathrm{sin}z+C\to \mathrm{sin}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)+C$

Finalmente:

$\int \frac{3}{2}x\mathrm{cos}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)dx=\mathrm{sin}\left(\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{7}{5}\right)+C$

Comparando con los incisos, la respuesta correcta se encuentra en el c).

Reactivo 13

Resolver la siguiente integral por sustitución:

$\int \frac{dx}{(1-x{)}^{2}}$

1. $\mathrm{ln}\left(1-x\right)+c$
2. $-\mathrm{ln}\left(1-x\right)+C$
3. $-\frac{1}{1-x}+C$
4. $\frac{1}{1-x}+C$

Solución:

Aplicamos la sustitución sobre la base de la potencia del denominador, es decir: $1-x$.

$u=1-x\to du=-dx\to -du=dx$

Aplicamos el cambio:

$\int \frac{dx}{(1-x{)}^{2}}\to -\int \frac{du}{{u}^{2}}$

Expresamos a la fracción como una potencia de exponente negativo.

$-\int \frac{du}{{u}^{2}}=-\int {u}^{-2}du$

Finalmente, lo integramos con la fórmula para una potencia.

$-\int {u}^{-2}du=-\frac{{u}^{-2+1}}{-2+1}+C=-\frac{{u}^{-1}}{-1}+C=\frac{1}{u}+C$

Devolvemos el cambio de variable.

$\frac{1}{u}+C\to \frac{1}{1-x}+C$

Nos queda:

$\int \frac{dx}{(1-x{)}^{2}}=\frac{1}{1-x}+C$

La respuesta correcta al problema es la opción d).

Reactivo 14

Identificar el cambio de variable que permite resolver la integral.

$\int \frac{\mathrm{cos}\left(\sqrt{x+2}\right)}{7\sqrt{x+2}}dx$

1. $u=\sqrt{x+2}$
2. $u=x+2$
3. $u=\mathrm{cos}\left(\sqrt{x+2}\right)$
4. $u=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$

Solución:

Iniciamos extrayendo a la constante de la integral.

$\int \frac{\mathrm{cos}\left(\sqrt{x+2}\right)}{7\sqrt{x+2}}dx=\frac{1}{7}\int \frac{\mathrm{cos}\left(\sqrt{x+2}\right)}{\sqrt{x+2}}dx$

Analizando el integrando, es claro que no se encuentra el diferencial de $\mathrm{cos}\left(\sqrt{x+2}\right)$. Por otra parte, sí parece estar el diferencial del argumento del coseno.

$d\left(\sqrt{x+2}\right)=\frac{1}{2}{\left(x+2\right)}^{-\frac{1}{2}}{\left(x+2\right)}^{\text{'}}dx=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}dx$

Podemos despejar a la constante al momento de aplicar el cambio de variables. Concluimos entonces que la sustitución que resuelve a la integral es: $u=\sqrt{x+2}$. Seleccionamos al inciso a) como la respuesta correcta.

Reactivo 15

Resolver la integral $\int \frac{dx}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}$

1. $\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)+C$
2. $2\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)+C$
3. $\frac{\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)}{2}+C$
4. $-\frac{\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)}{2}+C$

Solución:

Si resolvemos la distributiva del denominador, no vamos a llegar a una expresión que podamos integrar fácilmente.

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}=\int \frac{dx}{x+\sqrt{x}}$

Entonces debemos aplicar la sustitución. Si derivamos al factor $1+\sqrt{x}$ obtenemos:

$d\left(1+\sqrt{x}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx$

Este resultado tiene la misma estructura que el otro factor de la fracción. Aplicamos el cambio de variables sobre $1+\sqrt{x}$ .

$u=1+\sqrt{x}\to du=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\to 2du=\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Implementando el cambio nos queda:

$\int \frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\to 2\int \frac{du}{u}$

Esta integral es inmediata.

$2\int \frac{du}{u}=2\mathrm{ln}u+C$

Devolviendo el cambio.

$2\mathrm{ln}u+C\to 2\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)+C$

Finalmente:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}\left(1+\sqrt{x}\right)}=2\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)+C$

La respuesta correcta es el inciso b).

Reactivo 16

Resolver la integral $\int \frac{xdx}{\sqrt{x+1}}$.

1. $\frac{2}{3}\sqrt{x+1}\left(x+1\right)+\sqrt{x+1}+c$
2. $\frac{2}{3}\sqrt{x+1}\left(x+1\right)+2\sqrt{x+1}+c$
3. $\frac{2}{3}\sqrt{x+1}\left(x+1\right)-2\sqrt{x+1}+c$
4. $\frac{2}{3}\sqrt{x+1}\left(x+1\right)-\sqrt{x+1}+c$

Solución:

En este caso no hay un cambio de variable aparente que simplifique a la integral. Además, tampoco existe una fórmula de integración directa para este caso. Vamos a separar la integral aplicando el artificio de sumar y restar 1.

$\int \frac{xdx}{\sqrt{x+1}}=\int \frac{x+1-1}{\sqrt{x+1}}dx=\int \frac{x+1}{\sqrt{x+1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx$

Simplificamos la primera integral y expresamos a la segunda como una potencia de exponente negativo.

$\int \frac{x+1}{\sqrt{x+1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x+1}}dx=\int \sqrt{x+1}dx-\int {\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx$

$\int \sqrt{x+1}dx-\int {\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx=\int {\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}dx-\int {\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx$

Estas dos integrales se resuelven aplicando la fórmula de la integral de una potencia de forma directa, ya que el diferencial de $x+1$ es el mismo que el diferencial de $x$.

$d\left(x+1\right)=dx$

$\int {\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}dx-\int {\left(x+1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{{\left(x+1\right)}^{1-\frac{1}{2}}}{1-\frac{1}{2}}+C$

Simplificamos.

$\frac{{\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}-2{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}+C$

Expresamos a las potencias fraccionarias como radicales.

$\frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}-2{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3}{\left(x+1\right)}^{1}{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{2}}-2\sqrt{x+1}+C$

$\frac{2}{3}\left(x+1\right)\sqrt{x+1}-2\sqrt{x+1}+C$

Comparando con los incisos, la respuesta correcta se encuentra en el c).

Reactivo 17

Resolver la siguiente integral:

$\int x{e}^{-2x}dx$

1. $-\frac{1}{2}x{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}+C$
2. $\frac{1}{2}x{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}+C$
3. $-\frac{1}{2}x{e}^{-2x}+\frac{1}{4}{e}^{-2x}+C$
4. $\frac{1}{2}x{e}^{-2x}+\frac{1}{4}{e}^{-2x}+C$

Solución:

Debido a que $x$ no es el diferencial de $-2x$, debemos aplicar integración por partes para resolver la integral.

$\int udv=uv-\int vdu$

Seleccionamos como $u$ a $x$, debido a que si derivamos este término logramos degradarlo a una constante. No puede hacerse con ${e}^{-2x}$, porque esta función no se degrada; ni por integrales y derivadas.

$u=x, dv={e}^{-2x}dx$

$du=dx, v=\int {e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$

Aplicando la integración por partes nos queda:

$\int x{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}x{e}^{-2x}+\frac{1}{2}\int {e}^{-2x}dx$

La integral indicada es inmediata.

$-\frac{1}{2}x{e}^{-2x}+\frac{1}{2}\int {e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}x{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}+C$

Finalmente:

$\int x{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2}x{e}^{-2x}-\frac{1}{4}{e}^{-2x}+C$

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 18

Resolver la siguiente integral por partes:

$\int {x}^{-10}\mathrm{ln}\left(x\right)dx$

1. $-\left(\frac{1}{81{x}^{9}}-\frac{\mathrm{ln}\left(x\right)}{9{x}^{9}}\right)+c$
2. $-\left(\frac{1}{81{x}^{9}}+\frac{\mathrm{ln}\left(x\right)}{9{x}^{9}}\right)+c$
3. $-\left(\frac{1}{81{x}^{11}}+\frac{\mathrm{ln}\left(x\right)}{9{x}^{11}}\right)+c$
4. $-\left(\frac{1}{81{x}^{11}}-\frac{\mathrm{ln}\left(x\right)}{9{x}^{11}}\right)+c$

Solución:

En este caso, es claro que debemos derivar a $\mathrm{ln}\left(x\right)$ e integrar a ${x}^{-10}$ al aplicar integración por partes.

$\int udv=uv-\int vdu$

$u=\mathrm{ln}\left(x\right), dv={x}^{-10}dx$

Resolvemos.

$du=\frac{1}{x}dx, v=-\frac{1}{9}{x}^{-9}$

Implementando la integración por partes nos queda:

$\int {x}^{-10}\mathrm{ln}\left(x\right)dx=-\frac{1}{9}{x}^{-9}\mathrm{ln}\left(x\right)+\frac{1}{9}\int {x}^{-9}\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{9}{x}^{-9}\mathrm{ln}\left(x\right)+\frac{1}{9}\int {x}^{-10}dx$

La integral se resuelve de forma inmediata.

$-\frac{1}{9}{x}^{-9}\mathrm{ln}\left(x\right)+\frac{1}{9}\int {x}^{-10}dx=-\frac{1}{9}{x}^{-9}\mathrm{ln}\left(x\right)+\frac{1}{9}\frac{{x}^{-9}}{-9}+C$

Finalmente:

$\int {x}^{-10}\mathrm{ln}\left(x\right)dx=-\frac{1}{9}{x}^{-9}\mathrm{ln}\left(x\right)-\frac{1}{81}{x}^{-9}+C$

Reacomodamos para que asemeje a los incisos.

$-\frac{1}{9}{x}^{-9}\mathrm{ln}\left(x\right)-\frac{1}{81}{x}^{-9}+C=-\left(\frac{1}{81{x}^{9}}+\frac{\mathrm{ln}\left(x\right)}{9{x}^{9}}\right)+C$

Concluimos indicando a la opción b) como la respuesta correcta.

Reactivo 19

Calcular la integral $\int 3x\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)dx$.

1. $\frac{x}{3}\mathrm{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+27\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)+C$
2. $9x\mathrm{sen}\left(\frac{x}{3}\right)-27\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)+C$
3. $9x\mathrm{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+9\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)+C$
4. $9x\mathrm{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+27\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

Solución:

Examinando la función, es fácil ver que $u$ debe ser $3x$ y $dv$ debe ser $\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)$. Esto, porque al derivar $3x$ lograremos degradar a la función a una constante. En caso contrario, si integramos a $3x$ vamos a incrementar el grado del monomio y no simplificamos la integral.

Implementando la integración por partes:

$\int udv=uv-\int vdu$

$u=3x, dv=\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)dx$

$du=3dx, v=3\mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)$

La integral nos queda:

$\int 3x\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)dx=9x\mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)-9\int \mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)dx$

Esta integral indicada es inmediata. Una observación que dejamos, pero no profundizamos porque esto se ve en los reactivos anteriores, es que el diferencial de $\frac{x}{3}$ es $\frac{1}{3}dx$. En la integral ya tenemos a $dx$, solo debemos multiplicar y dividir por 3.

Finalmente:

$9x\mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)-9\int \mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)dx=9x\mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)+27\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

$\int 3x\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)dx=9x\mathrm{sin}\left(\frac{x}{3}\right)+27\mathrm{cos}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso d).

Reactivo 20

Resolver la integral por partes.

$\int {e}^{2x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx$

1. $\mathrm{cos}\left(x\right)+\mathrm{xsen}\left(x\right)+C$
2. $\mathrm{cos}\left({e}^{2x}\right)+{e}^{2x}\mathrm{sen}\left({e}^{2x}\right)+C$
3. $\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)-{e}^{x}\mathrm{sen}\left({e}^{x}\right)+C$
4. $\mathrm{cos}\left(x\right)+{e}^{x}\mathrm{sen}\left(x\right)+C$

Solución:

Nota: este reactivo tiene un error en los incisos.

Analizando al integrando, seleccionar a $\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)$ como $u$ no permitirá simplificar la integral. Por el contrario, seguirá incrementando la potencia de ${e}^{2x}$. Mientras que integrar o derivar a ${e}^{2x}$ por sí solo tampoco simplificará la integral.

Si separamos a ${e}^{2x}$ como ${e}^{x}\cdot {e}^{x}$ obtenemos:

$\int {e}^{2x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx=\int {e}^{x}\cdot {e}^{x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx$

Ahora, el factor ${e}^{x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)$ puede integrarse aplicando sustitución. Aplicando la fórmula de integración por partes:

$\int udv=uv-\int vdu$

Seleccionamos a $u$ y $dv$.

$u={e}^{x}, dv={e}^{x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx$

$du={e}^{x}dx, v=\int {e}^{x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx$

Resolvemos la integral por separado.

$\int {e}^{x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx$

El cambio de variable es: $z={e}^{x}\to dz={e}^{x}dx$.

$\int {e}^{x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx\to \int \mathrm{cos}\left(z\right)dz$

Esta integral es inmediata.

$\int \mathrm{cos}\left(z\right)dz=\mathrm{sin}\left(z\right)$

Devolvemos el cambio de variable.

$\mathrm{sin}\left(z\right)\to \mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)$

Las variables de la integración por partes quedarían:

$du={e}^{x}dx, v=\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)$

$\int {e}^{2x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx={e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)-\int {e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)dx$

Esta integral es exactamente igual a la que resolvimos para encontrar a $v$.

$\int {e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)dx$

El cambio de variable es: $z={e}^{x}\to dz={e}^{x}dx$.

$\int {e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)dx\to \int \mathrm{sin}\left(z\right)dz$

Integramos.

$\int \mathrm{sin}\left(z\right)dz=-\mathrm{cos}\left(z\right)+C$

Devolvemos el cambio.

$-\mathrm{cos}\left(z\right)+C\to -\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)+C$

Finalmente:

${e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)-\int {e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)dx={e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)+\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)+C$

$\therefore \int {e}^{2x}\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)dx={e}^{x}\mathrm{sin}\left({e}^{x}\right)+\mathrm{cos}\left({e}^{x}\right)+C$

Según la guía, la respuesta correcta es el inciso d), tiene la misma estructura, pero el argumento del coseno es $x$ y no ${e}^{x}$. Es probable que haya ocurrido un error durante la redacción.