Guía IPN Cálculo Integral del 21 al 30 resueltos

¿Te preocupa tu preparación de cara al examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional? Si ese es el caso, recuerda que todo está en tus manos, ¡Empieza tu preparación ahora mismo! Recuerda que el área de matemáticas consta de 50 preguntas, lo que deja claro que este es uno de los puntos vitales del examen.

Anterior Siguiente

El cálculo integral es uno de los componentes avanzados del área de las matemáticas. Por eso, te recomendamos empezar por prepararte bien en las áreas básicas de la matemática antes enfocarte en cálculo

Por eso, en esta guía nos concentramos en ofrecerte los ejercicios resueltos de la guía del IPN, enfocándonos específicamente en los ejercicios de Cálculo Integral, los cuales suponen el mayor reto de cara a esta prueba. Sin más que añadir, comenzamos.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Al presentar el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional, te encontrarás con una prueba de dos partes. La primera consta de preguntas de matemáticas y comunicación. Luego, una segunda parte más enfocada a áreas de estudio relacionadas a la ciencia, como física, química y biología.

Curso IPN

Comienza a prepararte para el examen de admisión al poderosísimo IPN con el curso pro de Unibetas.
Durante el curso aprenderás todos los temas del examen de ingreso al Instituto Politécnico Nacional.
Curso IPN

Para que te familiarices mejor con la estructura de esta prueba, aquí te mostramos la cantidad de reactivos correspondientes a cada una de las áreas que se evalúan en el examen de admisión del IPN:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Ahora, procedemos a mostrarte los ejercicios de la tercera parte de esta guía resuelta del IPN, orientada a los reactivos de Cálculo Integral:

Reactivo 21: Integral Irracional por Cambio de Variable

Hallar la integral indefinida:

\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}+25}}

  1. \frac{1}{\sqrt{x^{2}+5^{2}}}+C
  2. \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+5^{2}}}+C
  3. \sqrt{x^{2}+5^{2}}+C
  4. x^{2} \sqrt{x^{2}+5^{2}}+C

Solución:

En este caso, el cambio de variable se hará para la expresión de adentro del radicar ya que en el numerador tenemos a x que es de un grado menor que el binomio cuadrático del radical.

w=x^{2}+25 \rightarrow d w=2 x d x

x d x=\frac{1}{2} d w

Aplicamos el CV.

\frac{1}{2} \int \frac{d w}{\sqrt{w}}=\frac{1}{2} \int \omega^{-1 / 2} d w

Resolvemos aplicando la fórmula de integral de una potencia.

\frac{1}{2} \int \omega^{-1 / 2} d w=\frac{1}{2} \frac{\omega^{1 / 2}}{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{\omega}+C

Devolvemos el CV.

\sqrt{\omega}+C \sim \sqrt{x^{2}+25}+C

Finalmente.

\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2}+25}}=\sqrt{x^{2}+25}+C

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la c).

ebook ipn matematicas ipn

Reactivo 22: Integral Exponencial

Resolver la siguiente integral \int \frac{e^{\theta}}{c+a e^{\theta}} d \theta donde c y a son constantes.

  1. -\frac{1}{a} \ln \left|c+a e^{\theta}\right|+C
  2. \operatorname{aln}\left|c+a e^{\theta}\right|+C
  3. -\operatorname{aln}\left|c+a e^{\theta}\right|+C
  4. \frac{1}{a} \ln \left|c+a e^{\theta}\right|+C

Solución:

Aplicamos cambio de variable al denominador de la integral.

w=c+a e^{\theta} \rightarrow d w=a e^{\theta} d \theta

e^{\theta} d \theta=\frac{1}{a} d w

Sustituyendo.

\int \frac{e^{\theta}}{c+a e^{\theta}} d \theta \sim \frac{1}{a} \int \frac{d w}{w}

Utilizamos la fórmula de la integral de \frac{1}{w} .

\frac{1}{a} \int \frac{d w}{w}=\frac{1}{a} \ln |w|+C

Devolvemos el CV.

\frac{1}{a} \ln |w|+C \sim \frac{1}{a} \ln \left|c+a e^{\theta}\right|+C

Finalmente.

\int \frac{e^{\theta}}{c+a e^{\theta}} d \theta=\frac{1}{a} \ln \left|c+a e^{\theta}\right|+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Estos son los post más leídos por los aspirantes al IPN

Todo sobre el examen de admisión al IPN

Conoce la guía IPN

¿Ya conoces los pasos para estudiar en el IPN?

Convocatoria IPN

Reactivo 23: Cambio de Variable a Integrales Trigonométricas

Hallar la integral indefinida:

\int \sec ^{3}(6 x) \cdot \tan (6 x) d x

  1. \frac{1}{6} \sec ^{3}(6 x)+C
  2. \frac{1}{18} \sec ^{3}(6 x)+C
  3. \frac{1}{18} \sec (6 x) \cdot \tan (6 x)+C
  4. \frac{1}{6} \sec (6 x) \cdot \tan (6 x)+C

Solución:

Separamos el integrando para acomodar un cambio de variable. Del cálculo diferencial sabemos que:

\frac{d[\sec (x)]}{d x}=\sec (x) \tan (x)

En base a esto, le aplicamos el cambio de variable a \sec (x) .

\int \sec ^{3}(6 x) \cdot \tan (6 x) d x=\int \sec ^{2}(6 x) \cdot \sec (6 x) \cdot \tan (6 x) d x

w=\sec (6 x)

d w=6 \sec (6 x) \operatorname{tg}(6 x) d x

\sec (6 x) \operatorname{tg}(6 x) d x=\frac{1}{6} d w

Sustituimos.

\int \sec ^{2}(6 x) \cdot \sec (6 x) \cdot \tan (6 x) d x \sim \frac{1}{6} \int w^{2} d w

Empleamos la fórmula de la integral de la potencia.

\frac{1}{6} \int w^{2} d w=\frac{1}{6} \frac{\omega^{3}}{3}+C=\frac{\omega^{3}}{18}+C

Devolviendo el CV.

\frac{\omega^{3}}{18}+C \sim \frac{\sec ^{3}(6 x)}{18}+C

Finalmente.

\int \sec ^{3}(6 x) \cdot \tan (6 x) d x=\frac{\sec ^{3}(6 x)}{18}+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 24: Integral por Partes

Calcular la integral por partes siguiente:

\int x \ln (3 x) d x

  1. \frac{x^{2}}{2}\left(\ln (3 x)-\frac{1}{2}\right)+C
  2. x^{2}\left(\ln (3 x)-\frac{1}{2}\right)+C
  3. x^{2} \ln (3 x)+C
  4. \frac{x^{2}}{2}(\ln (3 x))+C

Solución:

El método de integración por partes se basa en un pequeño cambio de variables aplicado sobre la derivada del producto de dos funciones.

\frac{d}{d x}(f g)=g \frac{d f}{d x}+f \frac{d g}{d x} \rightarrow \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x

Por simplicidad, expresaremos la fórmula de integración por partes como:

\int u d v=u v-\int v d u

Donde u será la función que conviene derivar y v la función que conviene integrar. Puedes aplicar la regla de ILATES o la regla ALPES para seleccionar la función candidata a ser u . Son reglas que funcionan en muchos casos.

Nuestra recomendación es que, no las tengas como primera opción para resolver integrales por partes. Ejercita tu propia intuición y practica mucho. Lo mejor, es verlas como herramientas, no como un paso más a seguir.

En este caso, es más que claro que la función que conviene derivar es \ln (3 x) y x la que conviene integrar, por lo tanto:

u=\ln (3 x) \quad d v=x d x

Derivamos e Integramos.

d u=\frac{3}{3 x} d x \quad v=\frac{x^{2}}{2}

Ahora, expresamos a la integral original como:

i=u v-\int v d u

i=\frac{x^{2}}{2} \ln (3 x)-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x

i=\frac{x^{2}}{2} \ln (3 x)-\frac{1}{2} \int x d x

La integral resultante es muy sencilla. Resolvemos y concluimos nuestra respuesta.

\frac{x^{2}}{2} \ln (3 x)-\frac{1}{2} \int x d x=\frac{x^{2}}{2} \ln (3 x)-\frac{1}{4} x^{2}+C

Finalmente.

\int x \ln (3 x) d x=\frac{x^{2}}{2}\left[\ln (3 x)-\frac{1}{2}\right]+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 25: Integración por partes

Resolver la siguiente integral indefinida:

\frac{1}{2} \int x^{2}[6 \ln x+5] d x

  1. x^{3} \ln x+\frac{x^{3}}{2}+C
  2. \frac{x^{3} \ln x}{2}-\frac{x^{3}}{3}+C
  3. \frac{x^{3} \ln x}{3}-\frac{x^{3}}{9}+C
  4. \frac{x^{3} \ln x}{4}+\frac{x^{3}}{12}+C

Solución:

Nuevamente, escogemos como u a la función con el logaritmo, es decir u=6 \ln x+5 y a d v=x^{2} .

\left\{\begin{array}{c}u=6 \ln x+5 \\d v=\frac{1}{2} x^{2}\end{array}\right.

Derivamos e integramos.

\left\{\begin{array}{c}d u=\frac{6}{x} d x \\v=\frac{1}{6} x^{3}\end{array}\right.

Ahora, expresamos a la integral original:

i=u v-\int v d u

i=\frac{1}{6} x^{3}[6 \ln x+5]-\int \frac{1}{6} x^{3} \cdot \frac{6}{x} d x

=x^{3} \ln x+\frac{5 x^{3}}{6}-\int x^{2} d x

Integramos aplicando la fórmula de la integral de la potencia.

=x^{3} \ln x+\frac{5}{6} x^{3}-\frac{x^{3}}{3}+C

=x^{3} \ln x+\frac{x^{3}}{2}+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Iniciar prueba gratis

Reactivo 26: Integral por Partes, algebraica y trigonométrica

Determinar la integral:

\int x^{2} \cos (x) d x

  1. x^{2} \cos (x)+2 x \operatorname{sen}(x)-x \cos (x)+C
  2. -x^{2} \operatorname{sen}(x)-2 x \cos (x)+\operatorname{xsen}(x)+C
  3. x^{2} \cos (x)-2 x \operatorname{sen}(x)+x \cos (x)+C
  4. x^{2} \operatorname{sen}(x)+2 x \cos (x)-\operatorname{xsen}(x)+C

Solución:

En este caso, como la derivada del coseno no se degrada, es decir no se convierte en una función más simple al derivar, escogemos a x^{2} como u y a \cos (x) como d v , entonces:

\left\{\begin{array}{c}u=x^{2} \\d v=\cos x d x\end{array}\right.

Derivando e integrando.

\left\{\begin{array}{c}d u=2 x d x \\v=\operatorname{sen} x\end{array}\right.

Ahora, expresamos a la integral original como:

i=u v-\int v d u

i=x^{2} \operatorname{sen} x-2 \int x \operatorname{sen} x d x

Trabajamos a la segunda integral por separado.

i_{2}=2 \int x \operatorname{sen} x d x

Aplicamos integración por partes nuevamente. Seleccionamos como u a x y como d v a \operatorname{sen} x .

u=x

d v=\operatorname{sen} x d x

d u=d x

v=-\cos x

Expresamos a la segunda integral en base a la fórmula.

i_{2}=-2 x \cos x+2 \int \cos x d x

La tercera integral es inmediata, por tanto:

i_{2}=-2 x \cos x+2 \operatorname{sen} x+C

Sustituimos el resultado en la integral original.

i=x^{2} \operatorname{sen} x-2 \int \mathrm{xsen} x d x=x^{2} \operatorname{sen} x+2 x \cos x-2 \operatorname{sen} x+C

Finalmente.

\int x^{2} \cos (x) d x=x^{2} \operatorname{sen} x+2 x \cos x-2 \operatorname{sen} x+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 27: Integral del Logaritmo Natural

Resolver la siguiente integral:

\int 2 \ln x^{3} d x

  1. 6 x(\ln x-1)+C
  2. 6 x(\ln x+1)+C
  3. \frac{2}{3} x(\ln x-1)+C
  4. \frac{2}{3} x(\ln x+1)+C

Solución:

La integral del logaritmo no se encuentra en las tablas de fórmulas básicas para integrales. La razón, es que depende mucho de la función que lleve como argumento. Para resolverla, se emplea el método por partes.

Primero, extraemos el 2 y aplicamos la propiedad de los logaritmos: logaritmo de una potencia.

\int 2 \ln x^{3} d x=6 \int \ln (x) d x

Seleccionamos como u a \ln (x) y a d v a d x .

u=\ln (x)

d v=d x

Derivamos e integramos.

d u=\frac{1}{x} d x

v=x

Ahora, expresamos a la integral original como:

i=u v-\int v d u

i=6 x \ln (x)-6 \int x \cdot \frac{1}{x} d x=6 x \ln (x)-6 \int d x

Resolvemos esta integral inmediata:

i=6 x \ln (x)-6 x+C

Finalmente.

\int 2 \ln x^{3} d x=6 x \ln (x)-6 x+C=6 x[\ln (x)-1]+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 28: Integrales por Sustitución Trigonométrica

Resolver la siguiente integral:

\int \frac{4 d u}{\left(4-u^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}

  1. \frac{4 u}{\sqrt{4-u^{2}}}+C
  2. \frac{u}{4 \sqrt{4-u^{2}}}+C
  3. \frac{u}{\sqrt{4-u^{2}}}+C
  4. \frac{8 u}{\sqrt{4-u^{2}}}+C

Solución:

El método de integración por sustitución trigonométrica es útil para integrandos con algún factor  a^{2} \pm x^{2} \sqrt{a^{2} \pm x^{2}} donde no es posible aplicar cambio de variable o integración por partes.

Se basa en trasladar la expresión anterior con a y x a un triángulo mediante el teorema de Pitágoras. Luego, con las relaciones trigonométricas, la integral se transforma de algebraica a una trigonométrica que usualmente, es más simple.

Para visualizar el cambio en este caso, debemos reacomodar un poco el integrando.

\int \frac{4 d u}{\left(\sqrt{2^{2}-u^{2}}\right)^{3}}

Para este caso, a es la hipotenusa del triángulo u es un cateto y  \sqrt{a^{2}-u^{2}} es el otro, quedando de la siguiente forma:

Para el caso  \sqrt{2^{2}-u^{2}} la sustitución es:

u=2 \operatorname{sen} \theta \rightarrow d u=2 \cos \theta d \theta

\sqrt{2^{2}-x^{2}}=2 \cos \theta

Aplicamos la sustitución:

\int \frac{4 d u}{\left(\sqrt{2^{2}-u^{2}}\right)^{3}} \sim 4 \int \frac{2 \cos \theta}{(2 \cos \theta)^{3}} d \theta

\int \frac{1}{\cos ^{2} \theta} d \theta=\int \sec ^{2} \theta d \theta

Empleamos la fórmula para la secante al cuadrado.

\int \sec ^{2} \theta d \theta=\operatorname{tg} \theta+C

Devolviendo el cambio de variable. A partir del triángulo:

\operatorname{tg} \theta=\frac{u}{\sqrt{4-u^{2}}}

\operatorname{tg} \theta+C \sim \frac{u}{\sqrt{4-u^{2}}}+C

Finalmente.

\int \frac{4 d u}{\left(\sqrt{2^{2}-u^{2}}\right)^{3}}=\frac{u}{\sqrt{4-u^{2}}}+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 29: Integración por Sustitución Trigonométrica

Resolver la siguiente integral:

\int \frac{d x}{\sqrt{b^{2}+x^{2}}}

  1. \ln \left|\frac{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+x}{b}\right|+C
  2. \ln \left|\frac{\sqrt{x^{2}+b^{2}}+b}{x}\right|+C
  3. \ln \left|\frac{\sqrt{x^{2}+b^{2}}-x}{b}\right|+C
  4. \ln \left|\frac{x-\sqrt{x^{2}+b^{2}}}{b}\right|+C

Solución:

En esta integral se presenta el caso en el que en el integrando, la expresión radical corresponde a la hipotenusa del triángulo. La disposición quedaría:

La correspondencia es:

x=b \operatorname{tg} \theta \rightarrow d x=b \sec ^{2} \theta d \theta

Sustituimos en la integral original:

\int \frac{d x}{\sqrt{b^{2}+x^{2}}} \sim \int \frac{b \sec ^{2} \theta}{b \sec \theta} d \theta=\int \sec \theta d \theta

Aplicamos la fórmula de la integral para la secante.

\int \sec \theta d \theta=\ln |\sec \theta+\operatorname{tg} \theta|+C

Del triángulo extraemos:

\operatorname{tg} \theta=\frac{x}{b}

\sec \theta=\frac{\sqrt{b^{2}+x^{2}}}{b}

Devolviendo el cambio:

\ln |\sec \theta+\operatorname{tg} \theta|+C \sim \ln \left|\frac{x}{b}+\frac{\sqrt{b^{2}+x^{2}}}{b}\right|+C

Finalmente.

\int \frac{d x}{\sqrt{b^{2}+x^{2}}}=\ln \left|\frac{x+\sqrt{b^{2}+x^{2}}}{b}\right|+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

simulador ipn gratuito

Reactivo 30: Integral por Sustitución Trigonométrica

Cuál es el resultado de la integral:

\int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} d x

  1. \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+C
  2. -\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+C
  3. -\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}-\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+C
  4. \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}-\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+C

Solución:

En este caso, no es posible (a simple vista) aplicar cambio de variable y la integración por partes sería extensa. La sustitución trigonométrica acortaría enormemente la resolución. El triángulo quedaría como:

En tal caso:

x=2 \operatorname{sen} \theta \rightarrow d x=2 \cos \theta d \theta

\sqrt{2^{2}-x^{2}}=2 \cos \theta

Aplicamos la sustitución en la integral:

\int \frac{2 \cos \theta}{4 \operatorname{sen}^{2} \theta} 2 \cos \theta d \theta=\int \frac{4 \cos ^{2} \theta}{4 \operatorname{sen}^{2} \theta} d \theta=\int \frac{\cos ^{2} \theta}{\operatorname{sen}^{2} \theta} d \theta

Sustituimos por la identidad de la cotangente.

\int \cot ^{2} \theta d \theta

Ahora, la identidad para la cotangente cuadrada.

=\int\left(\csc ^{2} \theta-1\right) d \theta=\int \csc ^{2} \theta d \theta-\int d \theta

Aplicando las fórmulas de integración básicas correspondientes nos queda que:

=-\cot \theta-\theta+C

Del triángulo se sabe:

\operatorname{sen} \theta=\frac{x}{2} \rightarrow \theta=\operatorname{Arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)

\cot \theta=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}

Sustituyendo.

-\cot \theta-\theta+C \sim-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}-\operatorname{Arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+C

Finalmente.

\int \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}} d x=-\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}-\operatorname{Arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Dejar un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ingresa el código IPN2023 y obtén 30% de descuento›› CURSO IPN 2023
+ +