Guía IPN Cálculo Diferencial reactivos del 1 al 10 resueltos

Hola de nuevo aspirante, esta post es el primero de 5 en el que vamos a resolver los 50 reactivos correspondientes al área de matemáticas en el tema de cálculo diferencial de la guía del IPN.
CALCULO-DIFERENCIAL (1) guia ipn resuelta

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Este por mucho suele ser el tema más complicado del examen de admisión al IPN por lo que te recomiendo que pongas mucha atención, y sobre todo que repases cada uno de los temas que corresponden a la parte de cálculo.

Recuerda que en tu examen de ingreso al IPN encontraras distintos temas de matemáticas. La parte de cálculo se te puede llegar a dificultar mucho si no dominas los temas básicos, si este es tu caso te recomiendo que antes de pasar a esta parte le des un repaso a las otras áreas de matemáticas del examen.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Por si no lo sabes, el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional está separada en dos partes distintas. La primera de ellas, corresponde a preguntas de comunicación y matemáticas. Seguidamente, darás paso a la resolución de reactivos de áreas específicas como Química, Biología y Física.

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La estructura del examen del IPN es la siguiente:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Ahora, damos paso a desglosar los ejercicios resueltos de esta primera parte de la guía resuelta de cálculo diferencial:

Reactivo 1: Intervalo de una desigualdad

Determinar el intervalo de la siguiente desigualdad: x<a

  1. (-\infty, a]
  2. (-\infty, a)
  3. [-\infty, a]
  4. [-\infty, a)

Solución:

Las desigualdades, por definición, hacen referencia a un subconjunto de valores que le dan solución a una expresión. En este caso, la desigualdad indica que la solución para la variable x son todos los números reales menores que a .

Representado en una recta real, el conjunto solución sería:

Todos los números desde el menos infinito hasta a abierto, es decir, no incluido en el subconjunto. Escribiéndose en notación de intervalo nos queda:

x \in(-\infty, a)

¡Recuerda! El infinito nunca va incluido en un intervalo porque es una cantidad indeterminada. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la correcta es la b).

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Reactivo 2: Propiedades de las Desigualdades

Para que el sentido de una desigualdad se conserve cuando la multiplicamos por un número real, se necesita que el número sea:

  1. Negativo
  2. Positivo
  3. El cero
  4. El uno

Solución:

Una de las propiedades básicas de las desigualdades dice:

Si en una inecuación se multiplican o dividen los miembros por un número real  positivo, el sentido de la desigualdad permanece invariante.

Según la condición expuesta en el enunciado, podemos concluir que la desigualdad conservará el sentido si se multiplica por un número positivo. Comparando con las opciones indicadas en el problema, la correcta es la b).

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Reactivo 3: Relaciones entre cantidades reales

Si a \text{ y } b son dos números que cumplen a<b ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

  1. a<\frac{a+b}{2}<b
  2. \frac{a+b}{2}<a<b
  3. a<b<\frac{a+b}{2}
  4. 0<\frac{a+b}{2}<b

Solución:

Para llegar a una respuesta, debemos construir la semisuma de a con b de dos formas. Primero sumando a en ambos lados y dividiendo por dos, luego se hace lo mismo con b . Las dos inecuaciones se combinan aplicando la siguiente propiedad:

\text { Si } a<c \text { y } b>c \text { , entonces } a<c<b

Sumando a :

a<b \rightarrow a+a<b+a

Simplificamos las sumas.

2 a<b+a

Dividimos ambos lados por 2.

a<\frac{a+b}{2}

Sumando b :

a<b \rightarrow a+b<b+b

Simplificamos las sumas.

a+b<2 b

Dividimos ambos lados por 2.

\frac{a+b}{2}<b

En ambos casos c es la semisuma \frac{a+b}{2} . Aplicando la propiedad anterior nos queda que:

\text { Si } a<\frac{a+b}{2} y \frac{a+b}{2}<b, \text { entonces }

a<\frac{a+b}{2}<b

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 4: Intervalo de solución

Identificar el intervalo de números reales que satisfacen la desigualdad: 2 x+3<5

  1. x \in(-\infty, 1]
  2. x \in(1, \infty)
  3. x \in(-\infty, 1)
  4. x \epsilon[1, \infty)

Solución:

Para encontrar el conjunto solución solo hay que despejar la variable x de la inecuación, empleando las propiedades de suma, resta y cociente por un número real de las desigualdades.

2 x+3<5

Restamos a ambos lados 3.

2 x+3-3<5-3

2 x<2

Se dividen ambos lados por 2.

\frac{2 x}{2}<\frac{2}{2}

x<1

El conjunto solución son todos los reales menores que 1.

Escrito en forma de intervalo, la solución queda expresada como: x \in(-\infty, 1) . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la correcta es la c).

Reactivo 5: Solución de Inecuaciones Lineales

Resolver la siguiente desigualdad: \frac{9}{4} x-\frac{3}{2}<\frac{1}{8} x-3

  1. x<-\frac{12}{17}
  2. x>-\frac{12}{17}
  3. x<\frac{12}{17}
  4. x>\frac{12}{17}

Solución:

El procedimiento para resolver esta desigualdad es similar al reactivo anterior. Se aplican las propiedades de las desigualdades y se escribe el resultado en forma de intervalo.

\frac{9}{4} x-\frac{3}{2}<\frac{1}{8} x-3

Se suman ambos miembros de la inecuación por \frac{3}{2} , para luego restar por \frac{1}{8} x .

\frac{9}{4} x-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{1}{8} x<\frac{1}{8} x-3+\frac{3}{2}-\frac{1}{8} x

\frac{9}{4} x-\frac{1}{8} x<-3+\frac{3}{2}

Simplificamos las sumas y restas.

\frac{17}{8} x<-\frac{3}{2}

Se dividen ambos miembros por \frac{17}{8} .

\frac{\frac{17}{8} x}{\frac{17}{8}}<\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{17}{8}}

x<-\frac{12}{17}

El conjunto solución son todos los reales menores que -\frac{12}{17} .

Escrito en forma de intervalo, la respuesta a la inecuación lineal es: x \in\left(-\infty,-\frac{12}{17}\right) . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 6: Solución de Inecuaciones Lineales

Resolver la siguiente desigualdad: \frac{3}{4} x+\frac{2}{3} \geq \frac{1}{5} x-\frac{1}{4}

  1. x \geq \frac{5}{3}
  2. x \leq \frac{5}{3}
  3. x \geq-\frac{5}{3}
  4. x \leq-\frac{5}{3}

Solución:

Se aplican las propiedades de las desigualdades para obtener el conjunto solución de la inecuación.

\frac{3}{4} x+\frac{2}{3} \geq \frac{1}{5} x-\frac{1}{4}

Restamos ambos lados por \frac{2}{3} \text{ y } \frac{1}{5} x .

\frac{3}{4} x+\frac{2}{3}-\frac{1}{5} x-\frac{2}{3} \geq \frac{1}{5} x-\frac{1}{4}-\frac{2}{3}-\frac{1}{5} x

Agrupamos términos semejantes y simplificamos sumas y restas.

\frac{3}{4} x-\frac{1}{5} x \geq-\frac{2}{3}-\frac{1}{4}

\frac{11}{20} x \geq-\frac{11}{12}

Dividimos ambos lados por \frac{11}{20} .

\frac{\frac{11}{20} x}{\frac{11}{20}} \geq \frac{-\frac{11}{12}}{\frac{11}{20}}

x \geq-\frac{5}{3}

El conjunto solución son todos los números mayores o iguales que -\frac{5}{3} . Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 7: Inecuación de Segundo Grado

Expresar mediante intervalos la solución de la desigualdad: x^{2}-4 x+3>0

  1. (-\infty,-1] \cup[3, \infty)
  2. (-\infty, 1) \cup(3, \infty)
  3. (-\infty, 3)
  4. (-\infty,-3]

Solución:

Para resolver inecuaciones de segundo grado, es necesario factorizar el trinomio y realizar un estudio de signos de las raíces para determinar la combinación que cumple con la desigualdad original.

x^{2}-4 x+3>0

Factorizamos el polinomio de segundo grado.

(x-3)(x-1)>0

Hacemos el estudio de signos necesario para que se cumpla la desigualdad original.

Para que el producto de dos cantidades sea positivo, ambas deben ser positivas o negativas al mismo tiempo.

Ambas positivas.

x-3>0 ; x-1>0

x>3 ; x>1

Intersectamos ambas soluciones.

\text { Sol1: } x \in(3, \infty)

Ambas Negativas.

x-3<0 ; x-1<0

x<3 ; x<1

Intersectamos ambas soluciones.

\text { Sol2: } x \in(-\infty, 1)

Intersectando uniendo ambas soluciones, nos queda que la solución total de la inecuación es:

\text { Sol }=\text { Sol } 1 \cup \text { Sol } 2=x \in(-\infty, 1) \cup(3, \infty)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 8: Inecuación de Segundo Grado

Determinar la solución de la desigualdad: x^{2}+2 x+2<0

  1. \emptyset
  2. 0 \leq x<2
  3. -2<x<0
  4. -2<x<2

Solución:

Similar al problema anterior, debemos comenzar por factorizar el polinomio cuadrático, para luego aplicar el juego de signos que cumplan la desigualdad.

x^{2}+2 x+2<0

Factorizamos por completación de cuadrados.

Hacemos que la expresión se pueda escribir de la forma (x \pm b)^{2} .

x^{2}+2 x+2-\frac{3}{2}<-\frac{3}{2}

x^{2}+2 x+\frac{1}{2}<-\frac{3}{2}

Aplicamos la fórmula del trinomio cuadrado perfecto.

(x+1)^{2}<-\frac{3}{2}

La expresión no se puede continuar simplificando, porque al aplicar raíz cuadrada en el segundo miembro, el resultado será un número imaginario. Ya que la solución sale de los reales, concluimos que no hay valor de x que pertenezca a los reales que haga negativa a la expresión x^{2}+2 x+2 .

La solución es el conjunto vacío.

\left\{x \mid x^{2}+2 x+2<0, x \in \emptyset\right\}

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 9: Inecuaciones con valor absoluto

Encontrar los valores de la variable x para los que se cumple la desigualdad: |1-2 x|<5

  1. x \in[2,3]
  2. x \in(2,3)
  3. x \in[-2,3]
  4. x \in(-2,3)

Solución:

Para encontrar el conjunto solución de desigualdades con valores absolutos, se aplica la definición de valor absoluto en forma de inecuación para el símbolo “menor que”:

|x|<a \rightarrow-a<x<a

De esta forma, la desigualdad del problema se descompone en:

-5<1-2 x<5

Con ayuda de las propiedades de las desigualdades, calculamos el conjunto solución para la variable x .

Se resta en ambos lados por 1.

-5-1<1-2 x-1<5-1

-6<-2 x<4

Dividimos por -2. El símbolo cambia de orientación por ser un número negativo.

-\frac{6}{-2}>-\frac{2 x}{-2}>\frac{4}{-2}

3>x>-2

Que es equivalente a:

-2<x<3

El conjunto solución de la desigualdad son todos los números comprendidos entre el -2 y el 3. Escrito en notación de conjunto nos queda que:

x \in(-2,3)

Comparando con las respuestas que ofrece el problema, la correcta seria la d).

Reactivo 10: Inecuaciones con valor absoluto

El intervalo ___________ es la solución de la desigualdad: \left|\frac{3}{4} x-\frac{2}{5}\right|<\frac{6}{7}

  1. \left(-\frac{176}{105},-\frac{64}{105}\right)
  2. \left(-\frac{64}{105}, \frac{176}{105}\right)
  3. \left(-\frac{176}{105}, \frac{64}{105}\right)
  4. \left(\frac{64}{105}, \frac{176}{105}\right)

Solución:

Similar al reactivo anterior, para encontrar el conjunto solución se debe estudiar el comportamiento de la función aplicando la definición de modulo con el signo de menor qué.

Una vez calculado el conjunto solución de los dos casos posibles, la solución total será la unión de las soluciones individuales. La definición dice que:

|x|<a \rightarrow-a<x<a

Aplicándolo al problema en cuestión:

\left|\frac{3}{4} x-\frac{2}{5}\right|<\frac{6}{7} \rightarrow-\frac{6}{7}<\frac{3}{4} x-\frac{2}{5}<\frac{6}{7}

Resolvemos la inecuación para x aplicando las propiedades de las desigualdades.

-\frac{6}{7}<\frac{3}{4} x-\frac{2}{5}<\frac{6}{7}

Se suma cada miembro por \frac{2}{5}

-\frac{6}{7}+\frac{2}{5}<\frac{3}{4} x-\frac{2}{5}+\frac{2}{5}<\frac{6}{7}+\frac{2}{5}

-\frac{16}{35}<\frac{3}{4} x<\frac{44}{35}

Dividimos la inecuación por \frac{3}{4}

\frac{-\frac{16}{35}}{\frac{3}{4}}<\frac{\frac{3}{4} x}{\frac{3}{4}}<\frac{\frac{44}{35}}{\frac{3}{4}}

-\frac{64}{105}<x<\frac{176}{105}

El conjunto solución para la inecuación son todos los reales entre -\frac{64}{105} \mathrm{y} \frac{176}{105} . Expresado en notación de intervalo quedaría como:

x \in\left(-\frac{64}{105}, \frac{176}{105}\right)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

El intervalo \left(-\frac{64}{105}, \frac{176}{105}\right) es la solución de la desigualdad: \left|\frac{3}{4} x-\frac{2}{5}\right|<\frac{6}{7}

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