Guía IPN 2023 Cálculo Integral 40 ejercicios resueltos

¿No sabes como estudiar cálculo? Estás en el lugar indicado para comenzar tu ruta de aprendizaje. En este post iniciamos el tutorial para resolver paso a paso los 40 reactivos de cálculo integral de la guía IPN.

Por motivos didácticos hemos dividido la guía de cálculo integral en cuatro partes. En esta ocasión vamos a resolver la primera parte de los reactivos de cálculo integral, desde el reactivo 1 hasta el 10.

Te dejo un resumen de la convocatoria IPN.

• Carreras ofertadas en IPN: 70+.
• Porcentaje de Aceptación: 20%.
• Preguntas en el examen de Admisión: 140 preguntas.
• Nuevos temas: historia e inglés (reading comprehension).
• Tipo: selección múltiple.

¡Hay nuevas materias! Entérate de los cambios que ha tenido el examen del IPN para 2023.

Estructura del Examen IPN

La estructura del examen al IPN 2023 ha sido modificada. Ahora, el número de reactivos cambia según el área de conocimientos. Las carreras en el Instituto Politécnico Nacional se dividen en 3 áreas:

• Ingeniería y Ciencias Físico Matemáticas IyCFM
• Ciencias Sociales y Administrativas CSA
• Ciencias Médico Biológicas CMB

La siguiente tabla muestra la estructura de reactivos por materia para cada área.

Materia	IyCFM	CMB	CSyA
Matemáticas	37	33	35
Competencia escrita	20	20	25
Competencia lectora	20	20	20
Reading comprehension	10	10	10
Historia	10	10	20
Biología	9	17	10
Química	17	17	10
Física	17	13	10

Estructura del nuevo examen de ingreso al instituto Politécnico Nacional 2024.

¿Qué tan difícil es el examen al IPN?

Si vas a presentar el examen al IPN, es probable que te hagas la pregunta: ¿qué tan dificil es entrar al IPN? La respuesta es que depende de un único factor: tu preparación antes del examen.

Conoce todo sobre el proceso de ingreso a la universidad en la convocatoria del IPN.

Para esta convocatoria se incluyen 2 nuevas asignaturas que cambian la estructura de la prueba de años anteriores. En la guía de cálculo integral se incluyen reactivos que cubren los diversos temas de la asignatura con diferentes grados de complejidad que vienen en el temario.

Temario cálculo integral IPN 2023

Estos son los temas de cálculo integral que deberás estudiar antes de presentar el examen:

• Cálculo integral
  • Integral definida
    • Definición de la antiderivada
    • Constante de integración
    • Fórmulas básicas de integración
  • Derivada de funciones algebraicas y trascendentes
    • Por sustitución
    • Integración por partes
    • Sustitución trigonométrica
    • Fracciones parciales
  • Integral definida
    • Teorema fundamental del cálculo
    • Área bajo la curva
    • Longitud de arco

¿Cómo resolver la guía del IPN 2023?

Te recomiendo examinar la bibliografía recomendada por la guía del IPN antes de pasar con los reactivos. Un error común entre los aspirantes es estudiar los temas mientras resuelven la guía. Estudiar de esta forma te hará perder tiempo e irás a ciegas sin una ruta de estudio.

Las siguientes recomendaciones te ayudarán a mejorar el desempeño, resolviendo la mayor cantidad de reactivos en el menor tiempo para obtener los aciertos que necesitas para ser admitido.

• Resuelve cada parte por tu cuenta antes de checar las respuestas. Utiliza este material a modo de consulta.
• Establece un tiempo no mayor a 15 minutos por cada 10 reactivos.
• Analiza el procedimiento al resolver los ejercicios y piensa en posibles alternativas que mejoren tu tiempo.
• Si un ejercicio parece complejo, ve al siguiente y resuélvelo de último. Lo mejor es mantener la concentración y no entrar en pánico.
• Te advierto que la guía del IPN 2023 tiene algunos errores, aquí te señalamos cuáles son.
• Cálculo integral no se enseña bien en el bachillerato y el temario del IPN es amplio. Asegúrate de entender los conceptos, teoremas y demostraciones antes resolver los reactivos.

Reactivo 1

Identificar la antiderivada de

$f\left(x\right)=5{x}^{4}+4{x}^{3}+\pi$

1. ${x}^{5}+{x}^{4}+c$
2. ${x}^{5}+4{x}^{4}+\pi x+c$
3. ${x}^{5}+{x}^{4}+\pi +c$
4. ${x}^{5}+{x}^{4}+\pi x+c$

Solución:

Para encontrar la antiderivada de la función, debemos calcular su integral indefinida.

$F\left(x\right)=\int \left(5{x}^{4}+4{x}^{3}+\pi \right)dx$

Iniciamos aplicando la propiedad de la integral de una suma.

$\int 5{x}^{4}dx+\int 4{x}^{3}dx+\int \pi dx$

Extraemos las constantes del interior de las integrales.

$\int 5{x}^{4}dx+\int 4{x}^{3}dx+\int \pi dx=5\int {x}^{4}dx+4\int {x}^{3}dx+\pi \int dx$

Finalmente, aplicamos la fórmula de la integral para una potencia y para el símbolo del diferencial.

$5\int {x}^{4}dx+4\int {x}^{3}dx+\pi \int dx=5\frac{{x}^{5}}{5}+4\frac{{x}^{4}}{4}+\pi x+C$

$F\left(x\right)={x}^{5}+{x}^{4}+\pi x+c$

La antiderivada de $f\left(x\right)$ se encuentra en el inciso d).

Reactivo 2

Calcular $F\left(x\right)=$__________ la antiderivada de $f\left(x\right)=\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-2x}}$.

1. $-\frac{1}{2}{e}^{x}\left({e}^{x}-2\right)$
2. $-\frac{1}{2}{e}^{2x}\left({e}^{x}+2\right)$
3. $\frac{1}{2}{e}^{x}\left({e}^{x}-2\right)$
4. $\frac{1}{2}{e}^{2x}\left({e}^{x}+2\right)$

Solución:

La antiderivada de la función se calcula aplicando integración indefinida de la siguiente forma:

$F\left(x\right)=\int \frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-2x}}dx$

Recordemos que, por convención, la primitiva o antiderivada se denota con mayúsculas. A primera vista la función parece compleja, vamos a iniciar separando a la fracción en dos fracciones con el mismo denominador.

$F\left(x\right)=\int \frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-2x}}dx=\int \left(\frac{{e}^{-x}}{{e}^{-2x}}-\frac{1}{{e}^{-2x}}\right)dx$

En el primer término aplicamos cociente de potencias de igual base y en el segundo la propiedad del exponente negativo.

$\int \left(\frac{{e}^{-x}}{{e}^{-2x}}-\frac{1}{{e}^{-2x}}\right)dx=\int \left({e}^{x}-{e}^{2x}\right)dx$

Separamos en dos integrales.

$\int \left({e}^{x}-{e}^{2x}\right)dx=\int {e}^{x}dx-\int {e}^{2x}dx$

Para la primera integral aplicamos la fórmula directa y para la segunda debemos multiplicar y dividir 2. Esto es porque el diferencial de $2x$ es 2. Se multiplica y divide para mantener la igualdad.

$\int {e}^{x}dx-\int {e}^{2x}dx=\int {e}^{x}dx-\frac{1}{2}\int \left({e}^{2x}\right)2dx$

Integramos:

$\int {e}^{x}dx-\frac{1}{2}\int \left({e}^{2x}\right)2dx={e}^{x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+c$

Finalmente:

$F\left(x\right)={e}^{x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+c$

Extraemos factor común $-\frac{1}{2}{e}^{x}$, para asemejar la solución a los incisos.

$F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{x}\left({e}^{x}-2\right)$

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 3

Calcular $\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+3}$.

1. $\frac{1}{{t}^{3}+3}$
2. $-\frac{1}{{x}^{3}+3}$
3. $\frac{1}{{x}^{3}+3}$
4. $-\frac{1}{{t}^{3}+3}$

Solución:

Para resolver integrales definidas que tienen entre sus extremos de integración, aplicamos el primer teorema fundamental del cálculo:

Dada una función $f$ continua en un intervalo que contiene al número $a$, entonces:

$\frac{d}{dx}\left({\int }_{a}^{x}f\left(t\right)dt\right)={F}^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Es decir, la función $f\left(x\right)$ se encuentra al resolver la integral definida ${\int }_{a}^{x}f\left(t\right)dt$. Si la antiderivada de $f$ es $F$, la derivada de $F$ es entonces por definición $f$. Continuando con la demostración:

$\frac{d}{dx}\left[F\left(x\right)-F\left(a\right)\right]$

Tenemos que $F\left(a\right)$ es una constante, por lo tanto:

$\frac{d}{dx}\left[F\left(x\right)-F\left(a\right)\right]=\frac{dF\left(x\right)}{dx}-\frac{dF\left(a\right)}{dx}=\frac{dF\left(x\right)}{dx}-0$

$\frac{dF\left(x\right)}{dx}=f\left(x\right)$

En este caso $x=t$ porque el extremo variable es $x$, por lo tanto $dx=dt$.

$\frac{d}{dx}\left({\int }_{a}^{x}\frac{1}{{t}^{3}+3}dt\right)=\frac{1}{{x}^{3}+3}$

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 4

Calcular la siguiente integral indefinida:

$\int \frac{xdx}{{\left(3-3{x}^{2}\right)}^{3}}$

1. $c+\frac{1}{108}\frac{1}{{\left({x}^{2}-1\right)}^{2}}$
2. $c-\frac{1}{108}\frac{1}{{\left({x}^{2}-1\right)}^{2}}$
3. $c-\frac{1}{12}\frac{1}{\left(3{x}^{2}-1\right)}$
4. $c+\frac{1}{12}\frac{1}{\left(3{x}^{2}-1\right)}$

Solución:

Para resolver esta integral, debemos aplicar un cambio de variables a la base de la potencia, es decir: $3-3{x}^{2}$.

Cambio de variable:

$u=3-3{x}^{2}\to du=-6xdx$

$\therefore xdx=-\frac{1}{6}du$

Aplicamos el cambio de variable:

$\int \frac{xdx}{{\left(3-3{x}^{2}\right)}^{3}}\to -\frac{1}{6}\int \frac{du}{{u}^{3}}$

Aplicamos la propiedad del exponente negativo e integramos aplicando la fórmula para la integral de una potencia.

$-\frac{1}{6}\int \frac{du}{{u}^{3}}=-\frac{1}{6}\int {u}^{-3}du=-\frac{1}{6}\frac{{u}^{-2}}{-2}+c=\frac{1}{12{u}^{2}}+c$

Devolvemos el cambio de variable:

$\frac{1}{12{u}^{2}}+c\to \frac{1}{12}\frac{1}{{\left(3-3{x}^{2}\right)}^{2}}+c$

Extraemos factor común -3 del denominador.

$\frac{1}{12}\frac{1}{{\left(3-3{x}^{2}\right)}^{2}}+c=\frac{1}{12}\frac{1}{{9\left({x}^{2}-1\right)}^{2}}+c=\frac{1}{108}\frac{1}{{\left({x}^{2}-1\right)}^{2}}+c$

Finalmente:

$\int \frac{xdx}{{\left(3-3{x}^{2}\right)}^{3}}=\frac{1}{108}\frac{1}{{\left({x}^{2}-1\right)}^{2}}+c$

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 5

Asociar la integral con la fórmula de solución que le corresponde.

1. 1D, 2B, 3C, 4A
2. 2A, 1B, 3D, 4C
3. 1D, 2A, 3B, 4C
4. 2A, 1B, 3C, 4D

Solución:

Un truco de examen para resolver problemas con pareo, consta en ir encontrando respuestas parciales mientras se compara con los incisos del enunciado hasta tener la combinación correcta aplicando inferencia.

Integral del inciso 1.

$\int \frac{dx}{3x-2}$

Para esta integral aplicamos la fórmula del inverso de $u$, porque el diferencial de $3x-2$ es $3dx$. Solo tenemos que multiplicar y dividir por 3 para tener completo el diferencial en la integral. En este caso: 1D. Descartamos los incisos b y d.

Integral del inciso 2.

$\int \frac{dx}{(x-4{)}^{2}}$

Si expresamos a la integral como una potencia, podremos aplicar la fórmula para la integral de una potencia.

$\int \frac{dx}{(x-4{)}^{2}}=\int (x-4{)}^{-2}dx$

En este caso: 2A.

Esta información es suficiente para concluir que la respuesta correcta es el inciso c).

Reactivo 6

Calcular la integral.

$\int \left(\frac{1}{{x}^{2}}+\sqrt{x}\right)dx$

1. $\frac{2}{3}\sqrt{x}-{x}^{2}+c$
2. $\frac{2}{3}\sqrt{{x}^{3}}-{x}^{2}+c$
3. $\frac{2}{3}\sqrt{{x}^{3}}-2{x}^{2}+c$
4. $\frac{2}{3}\sqrt{{x}^{3}}-\frac{1}{x}+c$

Solución:

Iniciamos separando en dos integrales.

$\int \left(\frac{1}{{x}^{2}}+\sqrt{x}\right)dx=\int \frac{1}{{x}^{2}}dx+\int \sqrt{x}dx$

Expresamos ambas funciones como una potencia.

$\int \frac{1}{{x}^{2}}dx+\int \sqrt{x}dx=\int {x}^{-2}dx+\int {x}^{1/2}dx$

Integramos aplicando la fórmula para una potencia en ambos casos.

$\int {x}^{-2}dx+\int {x}^{\frac{1}{2}}dx=-\frac{1}{x}+\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+c$

Finalmente:

$\int \left(\frac{1}{{x}^{2}}+\sqrt{x}\right)dx=-\frac{1}{x}+\frac{2}{3}\sqrt{{x}^{3}}+c$

Indicamos como respuesta correcta al inciso d).

Reactivo 7

Resolver la integral $\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\frac{2}{3}x\right)dx$.

1. $\frac{3}{2}\mathrm{sec}\left(\frac{2}{3}x\right)+C$
2. $\frac{3}{2}\mathrm{sen}\left(\frac{2}{3}x\right)+C$
3. $-\frac{3}{2}\mathrm{sen}\left(\frac{2}{3}x\right)+C$
4. $-\frac{3}{2}\mathrm{sec}\left(\frac{2}{3}x\right)+C$

Solución:

Esta integral indefinida se puede resolver mediante dos enfoques: aplicando un cambio de variables al argumento del coseno o transformando el diferencial ya que el diferencial de $x$ es similar al diferencial de $\frac{2}{3}x$.

En los exámenes es conveniente emplear el método más rápido, que esta vez es transformar el diferencial. Multiplicamos y dividimos $\frac{2}{3}$ en la integral para transformar el diferencial.

$\frac{3}{2}\int \mathrm{cos}\left(\frac{2}{3}x\right)\frac{2}{3}dx$

Ahora si podemos aplicar la fórmula de la integral del coseno de forma directa.

$\frac{3}{2}\int \mathrm{cos}\left(\frac{2}{3}x\right)\frac{2}{3}dx =\frac{3}{2}\mathrm{sin}\left(\frac{2}{3}x\right)+c$

Indicamos como respuesta correcta al inciso b).

Reactivo 8

Calcular $\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}}dt$

1. $\mathrm{ln}t$
2. $\frac{1}{\sqrt{t}}$
3. $\frac{1}{\sqrt{x}}$
4. $\frac{\mathrm{ln}x}{\sqrt{x}}$

Solución:

Aplicamos el primer teorema fundamental del cálculo.

$\frac{d}{dx}\left({\int }_{a}^{x}f\left(t\right)dt\right)={F}^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Debido a que el extremo variable es $x$, tenemos que: $x=t\to dx=dt$. Entonces:

$\frac{d}{dx}\left({\int }_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t}}dt\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

La respuesta correcta es el inciso c).

Reactivo 9

Resolver la siguiente integral:

$\int {\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^{2}\left(x\right) (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(x\left)dx\right)$

1. $\frac{{\mathrm{sen}}^{3}\left(x\right)}{3}+C$
2. $-\frac{{\mathrm{sen}}^{3}\left(x\right)}{3}+C$
3. $\frac{{\mathrm{cos}}^{3}\left(x\right)}{3}+C$
4. $-\frac{{\mathrm{cos}}^{3}\left(x\right)}{3}+C$

Solución:

Para resolver esta integral, podemos aplicar un cambio de variables o transformar el diferencial. Debido a que el diferencial del seno es $d\left(\mathrm{sin}x\right)=\mathrm{cos}xdx$, transformamos directamente al diferencial:

$\int {\mathrm{sin}}^{2}x\left(\mathrm{cos}\left(x\right)dx\right)=\int {\mathrm{sin}}^{2}xd\left(\mathrm{sin}x\right)$

Ahora, aplicamos la fórmula de la integral para una potencia.

$\int {\mathrm{sin}}^{2}xd\left(\mathrm{sin}x\right)=\frac{{\mathrm{sin}}^{3}x}{3}+c$

Finalmente:

$\int {\mathrm{sin}}^{2}x\left(\mathrm{cos}\left(x\right)dx\right)=\frac{{\mathrm{sin}}^{3}x}{3}+c$

La respuesta correcta al problema es el inciso a).

Reactivo 10

Calcular la integral $\frac{4}{3}\int \frac{\mathrm{sen}\left(5x\right)}{\mathrm{sec}\left(5x\right)}dx$

1. $-\frac{1}{15}\mathrm{cos}\left(10x\right)+c$
2. $-\frac{1}{15}\mathrm{sen}\left(10x\right)+c$
3. $-\frac{1}{15}{\mathrm{sen}}^{2}\left(10x\right)+c$
4. $-\frac{1}{15}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}}^{2}\left(10x\right)+c$

Solución:

Antes de analizar el método de solución, vamos a simplificar el inverso de la secante.

$\frac{4}{3}\int \frac{\mathrm{sen}\left(5x\right)}{\mathrm{sec}\left(5x\right)}dx=\frac{4}{3}\int \mathrm{sen}\left(5x\right)\frac{1}{\mathrm{sec}\left(5x\right)}dx=\frac{4}{3}\int \mathrm{sen}\left(5x\right)\mathrm{cos}\left(5x\right)dx$

El diferencial de $\mathrm{cos}\left(5x\right)$ es $-5\mathrm{sin}\left(5x\right)dx$. Por lo tanto, solo multiplicamos y dividimos por -5 en la integral para construir el diferencial.

$\frac{4}{3}\cdot -\frac{1}{5}\int \mathrm{cos}\left(5x\right)\left(-5\right)\mathrm{sen}\left(5x\right)dx=-\frac{4}{15}\int \mathrm{cos}\left(5x\right)d\left(\mathrm{cos}\left(5x\right)\right)$

Integramos aplicando la fórmula de una potencia:

$-\frac{4}{15}\int \mathrm{cos}\left(5x\right)d\left(\mathrm{cos}\left(5x\right)\right)=-\frac{4}{15}\frac{{\mathrm{cos}}^{2}\left(5x\right)}{2}+c=-\frac{2}{15}{\mathrm{cos}}^{2}\left(5x\right)+c$

Finalmente:

$\frac{4}{3}\int \frac{\mathrm{sen}\left(5x\right)}{\mathrm{sec}\left(5x\right)}dx=-\frac{2}{15}{\mathrm{cos}}^{2}\left(5x\right)+c$

La guía tiene varios errores: el primero es con la constante, han olvidado el 4 en la fracción $\frac{4}{3}$. Por otra parte, el argumento de la solución nunca cambia de 5 a 10 y señalan como respuesta correcta al inciso a) pero dicha respuesta no tiene al coseno elevado al cuadrado.