Guía UNAM Matemáticas: Área 4 Humanidades y de las Artes Parte 1

¡Hola aspirante! En este tutorial vamos a resolver paso a paso los primeros 11 reactivos de Matemáticas área 4, del 41 al 51, en la guía de las Humanidades y de las Artes de cara al examen de ingreso a la UNAM.

A continuación, te dejo un breve resumen con los puntos más importantes del examen de ingreso a la UNAM.

Te aconsejo hacerlos por tu cuenta antes de acceder a la solución. Es importante que comprendas cada uno de los temas que van para el examen, tu calificación depende del esfuerzo que dediques durante la preparación.

Estructura del examen

El examen de ingreso a la UNAM tiene una extensión total de 120 reactivos, de los cuales 22 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 4 de las Humanidades y de las Artes.

¿Quieres conocer todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 4, con la asignatura y la cantidad de reactivos correspondientes.

Estructura examen área 4.

De las 29 carreras ofertadas por la UNAM para el área 4, Cinematografía cuenta con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra para ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Probablemente sea común para ti estudiar matemáticas resolviendo montones de ejercicios y leyendo unos pocos apuntes, pero eso debe cambiar. No es relevante la cantidad de ejercicios resueltos, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer los conceptos y aplicarlos sobre las situacionesreales.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas manteniendo presente lo anterior.

Temario matemáticas área 1

En la siguiente lista tienes el temario de matemáticas para el área 4 de Humanidades y de las Artes UNAM. Puede parecer extenso, pero si organizas tu tiempo podrás cubrir todos los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo click en este enlace.

Guía matemáticas UNAM área 4 resuelta

Vamos con el desarrollo paso a paso de los primeros 12 reactivos de matemáticas área 4, para la guía de la Universidad Nacional Autónoma de México del área de las Humanidades y de las Artes.

Reactivo 41

El estacionamiento de un supermercado tiene espacio para 1,000 carros. El jueves hubo 200 autos compactos y algunos de tamaño estándar. El estacionamiento estuba ocupado \frac{3}{4} partes del total. ¿Cuántos autos de tamaño estándar había en el estacionamiento el jueves?

1. 500
2. 550
3. 600
4. 650

Solución:

Para encontrar el valor solicitado, necesitamos establecer una relación entre el total de autos que hubo ese día y la cantidad de cada tipo de auto, es decir de compactos y estándar.

Comencemos por decir que el total del jueves es igual a \frac{3}{4} de 1000 carros, la capacidad máxima.

{T}_{j}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}\times 1000=750

{T}_{j}=750

Ahora, el total del jueves es también igual a la suma de los carros compactos y los de tamaño estándar.

{T}_{j}=750={C}_{c}+{C}_{e}

Despejamos a los carros estándar.

{C}_{e}=750-{C}_{c}\to {C}_{e}=750-200

\therefore {C}_{e}=550

El jueves hubo un total de 550 autos estándar.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción b).

Reactivo 42

¿Cuál es la expresión resultante al resolver la siguiente operación de números complejos?

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-(4-5i)

1. -\frac{1}{6}+\frac{127}{20}i
2. -\frac{2}{3}+\frac{43}{10}i
3. -\frac{40}{3}+\frac{35}{10}i
4. -\frac{1}{6}+\frac{86}{20}i

Solución:

Como sabemos, los números complejos son objetos matemáticos representados (en su forma cartesiana) por dos cantidades: una parte real a y otra imaginaria, esta última b veces la unidad imaginaria i .

z=a\pm bi

Para sumar números complejos, solo debemos agrupar sus partes reales de un lado y partes imaginarias de otro, y luego operar. Teniendo en cuenta la operación dada por el enunciado, comenzamos por deshacer los paréntesis.

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)=\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i-4+5i

Agrupamos partes reales a un lado y partes imaginarias al otro.

\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i-4+5i=\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i

Agrupamos con paréntesis y operamos.

\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i=\left(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4\right)+\left(-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i\right)

\left(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4\right)+\left(\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i\right)=-\frac{1}{6}+\left(\frac{127}{20}i\right)

Finalmente:

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)=-\frac{1}{6}+\frac{127}{20}i

La respuesta correcta se encuentra en el inciso a).

Reactivo 43

Simplifica la siguiente fracción.

\frac{8{a}^{2}bc-4{a}^{3}{b}^{4}{c}^{2}+2abc}{2ab}

1. 4bc-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c
2. 4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c
3. 4bc-2a{b}^{3}\mathrm{c}+c
4. 4bc-2a{b}^{2}\mathrm{c}+c

Solución:

Para simplificar la expresión, debemos primero extraer factor común del denominador. Como todos sus términos poseen un número y potencias de a , b y c , extraemos como factor común la mínima potencia de cada uno.

Examinando la expresión, dicho factor común es 2ab . Podríamos extraer también c pero no podríamos simplificarlo, por lo que nos ahorramos este paso.

\frac{8{a}^{2}bc-4{a}^{3}{b}^{4}{c}^{2}+2abc}{2ab}=\frac{2ab\left(4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c\right)}{2ab}

Simplificamos numerador con denominador.

\frac{2ab\left(4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c\right)}{2ab}=4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c

Finalmente:

\frac{8{a}^{2}bc-4{a}^{3}{b}^{4}{c}^{2}+2abc}{2ab}=4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c

La respuesta correcta se encuentra en el inciso b).

Reactivo 44

El producto \left(\frac{{x}^{2}-3x}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x-3}\right) es igual a

1. x\left(x-3\right)
2. x-3
3. x
4. x-1

Solución:

En este caso, debemos realizar la multiplicación de fracciones sin desarrollar los productos de polinomio para identificar si hay factores que se pueden simplificar en el numerador y denominador.

\left(\frac{{x}^{2}-3x}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x-3}\right)=\frac{\left({x}^{2}-3x\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}

En este primer paso, vemos que se puede simplificar x-1 .

\frac{\left({x}^{2}-3x\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\frac{\left({x}^{2}-3x\right)}{\left(x-3\right)}

Extraemos factor común x en el numerador.

\frac{\left({x}^{2}-3x\right)}{\left(x-3\right)}=\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)}

Simplificamos ahora x-3 .

\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)}=x

Finalmente:

\left(\frac{{x}^{2}-3x}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x-3}\right)=x

Comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 45

Si el perímetro del rectángulo es de 16 decímetros y su área es de 14 decímetros cuadrados, ¿cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo?

1. 4 dm y 4 dm
2. \left(4+\sqrt{2}\right)\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{m} y \left(4-\sqrt{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{m}
3. \left(5+\sqrt{2}\right)\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{m} y \left(5-\sqrt{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{m}
4. 8 dm y 1 dm

Solución:

En este caso, es necesario plantear un pequeño sistema de ecuaciones. Recordemos que el perímetro de un rectángulo se mide como:

P=2a+2b

Además, el área se calcula como:

A=ab

Sustituimos los valores dados para el área y el perímetro.

\left\{\begin{array}{c}2a+2b=16\\ ab=14\end{array}\right.

Despejamos a b de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera ecuación.

b=\frac{14}{a}\to 2a+2\left(\frac{14}{a}\right)=16

Simplificamos:

2a+\frac{28}{a}=16

{a}^{2}-8a+14=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado aplicando la fórmula de segundo grado.

x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

Sustituimos los parámetros.

x=\frac{8\pm \sqrt{{8}^{2}-4\left(1\right)\left(14\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{8\pm \sqrt{64-56}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{8}}{2}

x=\frac{8\pm 2\sqrt{2}}{2}=4\pm \sqrt{2}

Tenemos dos resultados:

{x}_{1}=4+\sqrt{2}

{x}_{2}=4-\sqrt{2}

Estos son los valores de a y b , ya que, si pensamos un poco, nos daremos cuenta que son los únicos que resuelven el sistema de ecuaciones, por tanto, si a toma uno de ellos b automáticamente toma el otro, entonces, inequívocamente tenemos la solución del sistema.

a=4+\sqrt{2};b=4-\sqrt{2}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 46

Al resolver la desigualdad 5+x>8 , se obtiene como solución:

1. x>3
2. x>2
3. x>8
4. x>13

Solución:

Para resolver esta inecuación, solo debemos seguir las reglas de las desigualdades, similares a las reglas de las igualdades con la diferencia de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo la desigualdad cambia de sentido. Comenzamos por restar 5 en ambos lados.

5+x-5>8-5

x>3

Con este rápido despeje, concluimos que la respuesta correcta es la opción a).

Reactivo 47

¿Cuáles son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones?

\left\{\begin{array}{c}y=x-3\\ 4x+y=32\end{array}\right.

1. x=5;y=12
2. x=4;y=16
3. x=8;y=5
4. x=7;y=4

Solución:

Antes de aplicar cualquiera de los métodos de solución, debemos reordenar la primera ecuación, de tal forma que las variables queden a la izquierda y el término independiente a la derecha.

\left\{\begin{array}{c}-x+y=-3\\ 4x+y=32\end{array}\right.\to \left\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 4x+y=32\end{array}\right.

Eres libre de escoger el método de solución, esta vez aplicaremos simplificación. Sumamos la primera ecuación con la segunda.

\begin{array}{c}x-y=3\\ 4x+y=32\end{array}

5x=35

Despejamos.

x=7

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones para obtener a y , en esta ocasión lo haremos en la primera.

y=x-3\to y=7-3

\therefore y=4

Finalmente:

x=7;y=4

La respuesta correcta está en el inciso d).

Reactivo 48

¿Cuál es el dominio de y=\frac{{x}^{2}+7x-1}{x-1} ?

1. \left(-\mathrm{\infty },-1\right]\cup \left[1,\mathrm{\infty }\right)
2. (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })
3. (-\mathrm{\infty },1)\cup (1,\mathrm{\infty })
4. (-\mathrm{\infty },-1)\cup [1,\mathrm{\infty })

Solución:

El dominio de cualquier función real son todos los valores finitos de x que dan como resultado valores finitos de y . Para obtener el dominio, simplemente debemos estudiar las posibles restricciones existentes en la función.

Ya que se trata de una función racional, la restricción es que el denominador sea diferente de cero.

x-1\ne 0

Despejamos:

x\ne 1

El dominio de y son todos los reales excepto el 1. Esto lo expresamos en notación de conjunto como:

x\in \left(-\infty , 1\right)\cup \left(1, \infty \right)

Comparando con las opciones, queda claro que la correcta es la c).

Reactivo 49

Utiliza la regla de correspondencia y=3{x}^{2}+4x-10 para determinar los valores que, en ese orden, completan la siguiente tabla.

Tabla de datos
X	-1	0	1
Y	-11

1. 3, 4
2. -10, -3
3. 3, 10
4. -10, -12

Solución:

Básicamente, el problema nos solicita que sustituyamos los valores de x indicados en la tabla, obtengamos los respectivos valores de y y luego completamos la tabla con ellos. Comenzamos por x=0 .

y\left(x=0\right)=3{\left(0\right)}^{2}+4\left(0\right)-10=-10

Vamos ahora con x=1 .

y\left(x=1\right)=3{\left(1\right)}^{2}+4\left(1\right)-10=3+4-10=-3

Finalmente:

Tabla de datos
X	-1	0	1
Y	-11	-10	-3

La respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 50

Si f\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{2}-1} y g\left(x\right)=x+2 entonces \left(f○g\right)\left(x\right) es igual a:

1. \frac{1}{{x}^{2}+2}
2. \frac{1}{{x}^{2}+4x+5}
3. \frac{1}{{x}^{2}+5}
4. \frac{1}{{x}^{2}+4x+3}

Solución:

El problema nos solicita la composición de f con g , es decir, que en los lugares donde está la x en la función f vamos a sustituir la función g por completo.

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^{2}-1}

Desarrollamos.

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^{2}-1}=\frac{1}{{x}^{2}+4x+4-1}=\frac{1}{{x}^{2}+4x+3}

Finalmente:

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{2}+4x+3}

Comparando con las respuestas, la correcta se encuentra en el inciso d).

Reactivo 51

¿A cuántos grados equivalen \frac{11\pi }{18} radianes?

1. 220°
2. 110°
3. 169°
4. 198°

Solución:

Para encontrar la equivalencia en grados hexadecimales, debemos aplicar una regla de tres recordando que 180° son iguales a \pi  radianes. La regla de tres directa quedaría como:

\begin{array}{c}\pi \to 180°\\ \frac{11\pi }{18}\to x\end{array}

Despejamos a x .

x=\frac{\frac{11\pi }{18}\times 180°}{\pi }=110°

Finalmente:

\frac{11\pi }{18} radianes equivalen a 110°.

La respuesta correcta es el inciso b).