Guía UNAM Matemáticas: Área 4 Humanidades y de las Artes Parte 1

¡Hola aspirante! En este tutorial vamos a resolver paso a paso los primeros 11 reactivos de Matemáticas área 4, del 41 al 51, en la guía de las Humanidades y de las Artes de cara al examen de ingreso a la UNAM.

GUIA-UNAM-MATEMATICAS-AREA-4-1

A continuación, te dejo un breve resumen con los puntos más importantes del examen de ingreso a la UNAM.

  • Desarrollo: UNAM
  • Área 4: Humanidades y de las Artes
  • Materia: Matemáticas
  • Reactivos: 120
  • Tipo: Opción múltiple
  • Duración: 3 horas
  • Modalidades: Presencial

Te aconsejo hacerlos por tu cuenta antes de acceder a la solución. Es importante que comprendas cada uno de los temas que van para el examen, tu calificación depende del esfuerzo que dediques durante la preparación.

Estructura del examen

El examen de ingreso a la UNAM tiene una extensión total de 120 reactivos, de los cuales 22 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 4 de las Humanidades y de las Artes.

¿Quieres conocer todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 4, con la asignatura y la cantidad de reactivos correspondientes.

Estructura examen área 4.

Temas Reactivos
Español 18
Matemáticas 22
Física 10
Química 10
Biología 10
Historia universal 10
Historia de México 10
Literatura 10
Geografía 10
Filosofía 10
Total 120
¿Sabías que en área 4, la carrera con el mayor número de aciertos obligatorios es traducción con 108?

De las 29 carreras ofertadas por la UNAM para el área 4, Cinematografía cuenta con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra para ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Probablemente sea común para ti estudiar matemáticas resolviendo montones de ejercicios y leyendo unos pocos apuntes, pero eso debe cambiar. No es relevante la cantidad de ejercicios resueltos, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer los conceptos y aplicarlos sobre las situacionesreales.

El poder de las matemáticas yace en describir con ellas, al mundo que nos rodea.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas manteniendo presente lo anterior.

  • Revisa la bibliografía recomendada en la guía unam área 1 y selecciona 2 o 3 textos de tu agrado. No es necesario que los leas por completo, algunos temas se explican mejor en unos textos que en otros. Asegúrate de tener suficiente contenido de calidad.
  • Lee la teoría y resuelve los ejemplos. Por más simple que parezca una propiedad o un teorema, conocer su origen, demostración y aplicaciones te será de gran utilidad durante el examen. Hay problemas cuya solución rápida se da a través de un teorema.
  • Si un tema parece difícil de comprender, búscalo en otro libro. Los autores suelen enfocarse en determinados temas a la hora de escribir sus textos, por esta razón, suelen desbordar demasiados detalles que, al ser principiantes, pueden confundirnos al estudiar. Te recomiendo tener más de un libro de consulta.
  • Practica con ejercicios… pero de forma inteligente. Resolver un ejercicio intentando cualquier idea que pase por tu mente no es la mejor forma de practicar lo que has aprendido. Analiza el problema, comprende lo que te solicita, identifica las herramientas matemáticas para resolverlo y crea en tu cabeza un plan sistemático para resolverlo. Si no funciona, regresa al inicio y pregúntate ¿qué hice mal? ¿hay un concepto que no apliqué correctamente?

Temario matemáticas área 1

En la siguiente lista tienes el temario de matemáticas para el área 4 de Humanidades y de las Artes UNAM. Puede parecer extenso, pero si organizas tu tiempo podrás cubrir todos los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo click en este enlace.

  1. Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas 
    1. Números reales
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
    2. Números complejos
      1. Suma y resta
      2. Multiplicación 
    3. Expresiones algebraicas
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división 
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
      4. Operaciones con radicales
  2. Productos notables y factorización
    1. Binomio de Newton a+bn, n ∈N
    2. Teorema del residuo y del factor 
    3. Simplificación de fracciones algebraicas 
    4. Operaciones con fracciones algebraicas
  3. Ecuaciones
    1. Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad 
    2. Ecuaciones de primer grado 
    3. Ecuaciones de segundo grado
  4. Desigualdades
    1. Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades
  5. Sistemas de ecuaciones 
    1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
      1. Métodos de solución 
    2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
      1. Métodos de solución (Regla de Cramer)
  6. Funciones algebraicas
    1. Dominio, contradominio y regla de correspondencia 
    2. Rango o imagen 
    3. Gráfica 
    4. Implícitas y explícitas 
    5. Crecientes y decrecientes 
    6. Continuas y discontinuas
    7. Álgebra de funciones
  7. Trigonometría
    1. Trigonometría básica
      1. Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados) 
      2. Razones trigonométricas 
      3. Resolución de triángulos rectángulos 
      4. Ley de los Senos y Ley de los Cosenos 
      5. Resolución de triángulos oblicuángulos
      6. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. Fórmulas de reducción 
    2. Funciones trigonométricas
      1. El círculo trigonométrico 
      2. Funciones trigonométricas directas
        1. Dominio y rango 
        2. Periodo y amplitud 
        3. Desfasamiento 
        4. Asíntotas de la gráfica
  8. Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Dominio y rango 
    2. Gráficas y asíntotas
  9. Recta
    1. Distancia entre dos puntos 
    2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada 
    3. Pendiente de una recta 
    4. Formas de la ecuación de la recta y su gráfica 
    5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 
    6. Distancia de un punto a una recta 
    7. Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)
  10. Circunferencia
    1. Circunferencia como lugar geométrico
    2. Formas ordinarias (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
    3. Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) en las formas ordinaria y general 
    4. Elementos de una circunferencia
  11. Parábola
    1. Parábola como lugar geométrico 
    2. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    4. Elementos de una parábola
  12. Elipse
    1. Elipse como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una elipse
  13. Hipérbola
    1. Hipérbola como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una hipérbola
  14. Ecuación general de segundo grado
    1. Las cónicas 
    2. Ecuación general de segundo grado 
    3. Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado 
    4. Traslación de ejes

Guía matemáticas UNAM área 4 resuelta

Vamos con el desarrollo paso a paso de los primeros 12 reactivos de matemáticas área 4, para la guía de la Universidad Nacional Autónoma de México del área de las Humanidades y de las Artes.

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Reactivo 41

El estacionamiento de un supermercado tiene espacio para 1,000 carros. El jueves hubo 200 autos compactos y algunos de tamaño estándar. El estacionamiento estuba ocupado \frac{3}{4} partes del total. ¿Cuántos autos de tamaño estándar había en el estacionamiento el jueves?

  1. 500
  2. 550
  3. 600
  4. 650

Solución:

Para encontrar el valor solicitado, necesitamos establecer una relación entre el total de autos que hubo ese día y la cantidad de cada tipo de auto, es decir de compactos y estándar.

Comencemos por decir que el total del jueves es igual a \frac{3}{4} de 1000 carros, la capacidad máxima.

{T}_{j}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}\times 1000=750

{T}_{j}=750

Ahora, el total del jueves es también igual a la suma de los carros compactos y los de tamaño estándar.

{T}_{j}=750={C}_{c}+{C}_{e}

Despejamos a los carros estándar.

{C}_{e}=750-{C}_{c}\to {C}_{e}=750-200

\therefore {C}_{e}=550

El jueves hubo un total de 550 autos estándar.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción b).

Reactivo 42

¿Cuál es la expresión resultante al resolver la siguiente operación de números complejos?

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-(4-5i)

  1. -\frac{1}{6}+\frac{127}{20}i
  2. -\frac{2}{3}+\frac{43}{10}i
  3. -\frac{40}{3}+\frac{35}{10}i
  4. -\frac{1}{6}+\frac{86}{20}i

Solución:

Como sabemos, los números complejos son objetos matemáticos representados (en su forma cartesiana) por dos cantidades: una parte real a y otra imaginaria, esta última b veces la unidad imaginaria i .

z=a\pm bi

Para sumar números complejos, solo debemos agrupar sus partes reales de un lado y partes imaginarias de otro, y luego operar. Teniendo en cuenta la operación dada por el enunciado, comenzamos por deshacer los paréntesis.

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)=\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i-4+5i

Agrupamos partes reales a un lado y partes imaginarias al otro.

\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i-4+5i=\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i

Agrupamos con paréntesis y operamos.

\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i=\left(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4\right)+\left(-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i\right)

\left(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4\right)+\left(\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i\right)=-\frac{1}{6}+\left(\frac{127}{20}i\right)

Finalmente:

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)=-\frac{1}{6}+\frac{127}{20}i

La respuesta correcta se encuentra en el inciso a).

Reactivo 43

Simplifica la siguiente fracción.

\frac{8{a}^{2}bc-4{a}^{3}{b}^{4}{c}^{2}+2abc}{2ab}

  1. 4bc-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c
  2. 4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c
  3. 4bc-2a{b}^{3}\mathrm{c}+c
  4. 4bc-2a{b}^{2}\mathrm{c}+c

Solución:

Para simplificar la expresión, debemos primero extraer factor común del denominador. Como todos sus términos poseen un número y potencias de a , b y c , extraemos como factor común la mínima potencia de cada uno.

Examinando la expresión, dicho factor común es 2ab . Podríamos extraer también c pero no podríamos simplificarlo, por lo que nos ahorramos este paso.

\frac{8{a}^{2}bc-4{a}^{3}{b}^{4}{c}^{2}+2abc}{2ab}=\frac{2ab\left(4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c\right)}{2ab}

Simplificamos numerador con denominador.

\frac{2ab\left(4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c\right)}{2ab}=4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c

Finalmente:

\frac{8{a}^{2}bc-4{a}^{3}{b}^{4}{c}^{2}+2abc}{2ab}=4ac-2{a}^{2}{b}^{3}{c}^{2}+c

La respuesta correcta se encuentra en el inciso b).

Reactivo 44

El producto \left(\frac{{x}^{2}-3x}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x-3}\right) es igual a

  1. x\left(x-3\right)
  2. x-3
  3. x
  4. x-1

Solución:

En este caso, debemos realizar la multiplicación de fracciones sin desarrollar los productos de polinomio para identificar si hay factores que se pueden simplificar en el numerador y denominador.

\left(\frac{{x}^{2}-3x}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x-3}\right)=\frac{\left({x}^{2}-3x\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}

En este primer paso, vemos que se puede simplificar x-1 .

\frac{\left({x}^{2}-3x\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}=\frac{\left({x}^{2}-3x\right)}{\left(x-3\right)}

Extraemos factor común x en el numerador.

\frac{\left({x}^{2}-3x\right)}{\left(x-3\right)}=\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)}

Simplificamos ahora x-3 .

\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)}=x

Finalmente:

\left(\frac{{x}^{2}-3x}{x-1}\right)\left(\frac{x-1}{x-3}\right)=x

Comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 45

Si el perímetro del rectángulo es de 16 decímetros y su área es de 14 decímetros cuadrados, ¿cuánto mide el largo y el ancho del rectángulo?

  1. 4 dm y 4 dm
  2. \left(4+\sqrt{2}\right)\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{m} y \left(4-\sqrt{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{m}
  3. \left(5+\sqrt{2}\right)\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{m} y \left(5-\sqrt{2}\right)\mathrm{d}\mathrm{m}
  4. 8 dm y 1 dm

Solución:

En este caso, es necesario plantear un pequeño sistema de ecuaciones. Recordemos que el perímetro de un rectángulo se mide como:

P=2a+2b

Además, el área se calcula como:

A=ab

Sustituimos los valores dados para el área y el perímetro.

\left\{\begin{array}{c}2a+2b=16\\ ab=14\end{array}\right.

Despejamos a b de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera ecuación.

b=\frac{14}{a}\to 2a+2\left(\frac{14}{a}\right)=16

Simplificamos:

2a+\frac{28}{a}=16

{a}^{2}-8a+14=0

Resolvemos la ecuación de segundo grado aplicando la fórmula de segundo grado.

x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

Sustituimos los parámetros.

x=\frac{8\pm \sqrt{{8}^{2}-4\left(1\right)\left(14\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{8\pm \sqrt{64-56}}{2}=\frac{8\pm \sqrt{8}}{2}

x=\frac{8\pm 2\sqrt{2}}{2}=4\pm \sqrt{2}

Tenemos dos resultados:

{x}_{1}=4+\sqrt{2}

{x}_{2}=4-\sqrt{2}

Estos son los valores de a y b , ya que, si pensamos un poco, nos daremos cuenta que son los únicos que resuelven el sistema de ecuaciones, por tanto, si a toma uno de ellos b automáticamente toma el otro, entonces, inequívocamente tenemos la solución del sistema.

a=4+\sqrt{2};b=4-\sqrt{2}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 46

Al resolver la desigualdad 5+x>8 , se obtiene como solución:

  1. x>3
  2. x>2
  3. x>8
  4. x>13

Solución:

Para resolver esta inecuación, solo debemos seguir las reglas de las desigualdades, similares a las reglas de las igualdades con la diferencia de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo la desigualdad cambia de sentido. Comenzamos por restar 5 en ambos lados.

5+x-5>8-5

x>3

Con este rápido despeje, concluimos que la respuesta correcta es la opción a).

Reactivo 47

¿Cuáles son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones?

\left\{\begin{array}{c}y=x-3\\ 4x+y=32\end{array}\right.

  1. x=5;y=12
  2. x=4;y=16
  3. x=8;y=5
  4. x=7;y=4

Solución:

Antes de aplicar cualquiera de los métodos de solución, debemos reordenar la primera ecuación, de tal forma que las variables queden a la izquierda y el término independiente a la derecha.

\left\{\begin{array}{c}-x+y=-3\\ 4x+y=32\end{array}\right.\to \left\{\begin{array}{c}x-y=3\\ 4x+y=32\end{array}\right.

Eres libre de escoger el método de solución, esta vez aplicaremos simplificación. Sumamos la primera ecuación con la segunda.

\begin{array}{c}x-y=3\\ 4x+y=32\end{array}

5x=35

Despejamos.

x=7

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones para obtener a y , en esta ocasión lo haremos en la primera.

y=x-3\to y=7-3

\therefore y=4

Finalmente:

x=7;y=4

La respuesta correcta está en el inciso d).

Reactivo 48

¿Cuál es el dominio de y=\frac{{x}^{2}+7x-1}{x-1} ?

  1. \left(-\mathrm{\infty },-1\right]\cup \left[1,\mathrm{\infty }\right)
  2. (-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })
  3. (-\mathrm{\infty },1)\cup (1,\mathrm{\infty })
  4. (-\mathrm{\infty },-1)\cup [1,\mathrm{\infty })

Solución:

El dominio de cualquier función real son todos los valores finitos de x que dan como resultado valores finitos de y . Para obtener el dominio, simplemente debemos estudiar las posibles restricciones existentes en la función.

Ya que se trata de una función racional, la restricción es que el denominador sea diferente de cero.

x-1\ne 0

Despejamos:

x\ne 1

El dominio de y son todos los reales excepto el 1. Esto lo expresamos en notación de conjunto como:

x\in \left(-\infty , 1\right)\cup \left(1, \infty \right)

Comparando con las opciones, queda claro que la correcta es la c).

Reactivo 49

Utiliza la regla de correspondencia y=3{x}^{2}+4x-10 para determinar los valores que, en ese orden, completan la siguiente tabla.

Tabla de datos
X-101
Y-11
  1. 3, 4
  2. -10, -3
  3. 3, 10
  4. -10, -12

Solución:

Básicamente, el problema nos solicita que sustituyamos los valores de x indicados en la tabla, obtengamos los respectivos valores de y y luego completamos la tabla con ellos. Comenzamos por x=0 .

y\left(x=0\right)=3{\left(0\right)}^{2}+4\left(0\right)-10=-10

Vamos ahora con x=1 .

y\left(x=1\right)=3{\left(1\right)}^{2}+4\left(1\right)-10=3+4-10=-3

Finalmente:

Tabla de datos
X-101
Y-11-10-3

La respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 50

Si f\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{2}-1} y g\left(x\right)=x+2 entonces \left(f○g\right)\left(x\right) es igual a:

  1. \frac{1}{{x}^{2}+2}
  2. \frac{1}{{x}^{2}+4x+5}
  3. \frac{1}{{x}^{2}+5}
  4. \frac{1}{{x}^{2}+4x+3}

Solución:

El problema nos solicita la composición de f con g , es decir, que en los lugares donde está la x en la función f vamos a sustituir la función g por completo.

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^{2}-1}

Desarrollamos.

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{{\left(x+2\right)}^{2}-1}=\frac{1}{{x}^{2}+4x+4-1}=\frac{1}{{x}^{2}+4x+3}

Finalmente:

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{{x}^{2}+4x+3}

Comparando con las respuestas, la correcta se encuentra en el inciso d).

Reactivo 51

¿A cuántos grados equivalen \frac{11\pi }{18} radianes?

  1. 220°
  2. 110°
  3. 169°
  4. 198°

Solución:

Para encontrar la equivalencia en grados hexadecimales, debemos aplicar una regla de tres recordando que 180° son iguales a \pi  radianes. La regla de tres directa quedaría como:

\begin{array}{c}\pi \to 180°\\ \frac{11\pi }{18}\to x\end{array}

Despejamos a x .

x=\frac{\frac{11\pi }{18}\times 180°}{\pi }=110°

Finalmente:

\frac{11\pi }{18} radianes equivalen a 110°.

La respuesta correcta es el inciso b).

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