Guía UNAM Matemáticas: Área 3 de las Ciencias Sociales Parte 1

¡Hola aspirante! En este tutorial vamos a resolver paso a paso los primeros 12 reactivos de matemáticas área 3, del 41 al 52, de la guía Ciencias Sociales como preparación al examen de ingreso a la UNAM.

GUIA-UNAM-MATEMATICAS-AREA-3-1

¿Cómo estudiar la guía? Te aconsejo hacerlos por tu cuenta antes de mirar la solución. Es importante que estudies y comprendas cada uno de los temas que van para el examen, tu calificación depende del esfuerzo que dediques durante la preparación.

A continuación, te dejo un resumen con los puntos más importantes del examen UNAM.

  • Desarrollo: UNAM
  • Área 3: Ciencias Sociales
  • Materia: Matemáticas
  • Reactivos: 120
  • Tipo: Opción múltiple
  • Duración: 3 horas
  • Modalidades: Presencial

Carreras como derecho, administración o contaduría suman más de 25,000 aspirantes rechazados por convocatoria. Asegúrate de iniciar tu preparación cuanto antes.

Estructura del examen

La prueba de ingreso a la UNAM tiene una extensión de 120 reactivos, de los cuales 24 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 3 de Ciencias Sociales.

¿Aún no conoces todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 3, donde se indican las materias y la cantidad de reactivos correspondientes.

Estructura examen área 3.

Temas Reactivos
Español 18
Matemáticas 24
Física 10
Química 10
Biología 10
Historia universal 14
Historia de México 14
Literatura 10
Geografía 10
Total 120
¿Sabías que en área 3, la carrera con el mayor número de aciertos obligatorios es Relaciones Internacionales con 98?

De las 22 carreras ofertadas por la UNAM para el área 3, dos de ellas cuentan con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra que dependerán de la facultad a la que desees ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Muchos aspirantes consideran que estudiar matemáticas es solo aplicar fórmulas, dibujar gráficas y resolver muchos ejercicios, pero ese es el error principal.

No es relevante la cantidad de ejercicios resueltos, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer los conceptos y aplicarlos en cualquier situación.

El poder de las matemáticas yace en describir con ellas, al mundo que nos rodea.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas de forma correcta.

  • Busca la bibliografía recomendada. Selecciona 2 o 3 textos de tu agrado en la bibliografía en la guía UNAM área 3. El motivo es porque algunos temas se explican mejor en unos textos que en otros. Asegúrate de tener suficiente contenido de calidad.
  • Analiza y comprende los conceptos. Por más simple que parezca una propiedad o un teorema, conocer su origen y demostración te será de gran utilidad durante el examen. En la mayoría de los casos, un problema complejo tiene solución rápida aplicando determinado teorema.
  • Si no entiendes algo, ve a otro libro. Los autores suelen enfocarse en determinados aspectos a la hora de escribir sus textos y suelen desbordar detalles que pueden confundirnos al estudiar. Te recomiendo tener más de un libro de consulta.
  • Practica de forma inteligente. Resolver un ejercicio intentando cualquier idea no es la mejor forma de ejercitar lo aprendido. Analiza el problema, comprende lo que te solicita, identifica las herramientas para resolverlo y crea un plan para resolverlo. Si no funciona, regresa al inicio y pregúntate ¿hay un concepto que no apliqué correctamente?

Temario matemáticas área 3

La siguiente lista contiene el temario de matemáticas para el área 3 Ciencias Sociales UNAM. Si organizas tu tiempo y comienzas desde ya, podrás estudiar sin problemas todos los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo clic en este enlace.

  1. Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas 
    1. Números reales
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
    2. Números complejos
      1. Suma y resta
      2. Multiplicación 
    3. Expresiones algebraicas
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división 
      3. Raices y potencias con exponente racional 
      4. Operaciones con radicales
  2. Productos notables y factorización
    1. Binomio de Newton (a+b)^n, n E N 
    2. Teorema del residuo y del factor 
    3. Simplificación de fracciones algebraicas 
    4. Operaciones con fracciones algebraicas
  3. Ecuaciones
    1. Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad 
    2. Ecuaciones de primer grado 
    3. Ecuaciones de segundo grado
  4. Desigualdades
    1. Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades
  5. Sistemas de ecuaciones 
    1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
      1. Métodos de solución 
    2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
      1. Métodos de solución (Regla de Cramer)
  6. Funciones algebraicas
    1. Dominio, contradominio y regla de correspondencia 
    2. Rango o imagen 
    3. Gráfica 
    4. Implícitas y explicitas 
    5. Crecientes y decrecientes 
    6. Continuas y discontinuas 
    7. Algebra de funciones
  7. Trigonometría 
    1. Trigonometría básica
      1. Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados) 
      2. Razones trigonométricas 
      3. Resolución de triángulos rectángulos 
      4. Ley de los Senos y Ley de los Cosenos 
      5. Resolución de triángulos oblicuángulos
      6. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. Fórmulas de reducción 
    2. Funciones trigonométricas
      1. El circulo trigonométrico 
      2. Funciones trigonométricas directas
        1. Dominio y rango 
        2. Periodo y amplitud 
        3. Desfasamiento 
        4. Asíntotas de la gráfica
  8. Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Dominio y rango 
    2. Gráficas y asíntotas
  9. Recta
    1. Distancia entre dos puntos
    2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada 
    3. Pendiente de una recta 
    4. Formas de la ecuación de la recta y su gráfica 
    5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 
    6. Distancia de un punto a una recta 
    7. Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)
  10. Circunferencia
    1. Circunferencia como lugar geométrico 
    2. Formas ordinarias (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
    3. Ecuación de la circunferencia con centro en [h, k) en las formas ordinaria y general 
    4. Elementos de una circunferencia
  11. Parábola
    1. Parábola como lugar geométrico 
    2. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    4. Elementos de una parábola
  12. Elipse
    1. Elipse como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una elipse
  13. Hipérbola
    1. Hipérbola como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 13.5 Elementos de una hipérbola
  14. Ecuación general de segundo grado
    1. Las cónicas 
    2. Ecuación general de segundo grado 
    3. Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado 
    4. Traslación de ejes

Guía matemáticas UNAM área 3 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de los primeros 12 reactivos de matemáticas, para la guía de la Universidad Nacional Autónoma de México del área 3 de las Ciencias Sociales.

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Reactivo 41

Un estudiante debe obtener un promedio mínimo de 8 y calificaciones no menores a 7 en cada uno de los parciales. Si tiene las siguientes calificaciones en los primeros 3 parciales: 7.2, 8.5 y 7.9. ¿Cuál es la mínima calificación que deberá obtener en el último parcial para aprobar el curso?

  1. 8.1
  2. 8.2
  3. 8.4
  4. 8.9

Solución:

Esta situación es bastante común cuando queremos estimar que calificación mínima debemos obtener para mantener cierto promedio o, en casos más extremos, aprobar cierta materia complicada.

Para calcular la calificación mínima, debemos recordar la fórmula para calcular promedios:

P=\frac{\sum {c}_{i}}{n}

Donde n es el total de parciales y {c}_{i} es la nota de cada uno. El enunciado indica el promedio requerido P=8 , nos da las notas de las tres evaluaciones anteriores y nos pregunta cuánto debe ser la calificación en la última, es decir, en total son 4 evaluaciones n=4 .

8=\frac{7.2+8.5+7.9+{c}_{4}}{4}

Despejamos a {c}_{4} .

32-7.2-8.5-7.9={c}_{4}\to {c}_{4}=8.4

El estudiante debe obtener una calificación mínima de 8.4 en el cuarto examen parcial.

Seleccionamos como correcto al inciso c).

Reactivo 42

Dos números están en razón \frac{3}{7} si el menor de ellos es 189, ¿cuál es el valor del otro?

  1. 525
  2. 519
  3. 441
  4. 386

Solución:

Las razones no son más que el cociente entre dos números que se deja expresada en forma de fracción simplificada. Lo que debemos saber, es que si el numerador de la razón es menor que el denominador (como en el caso actual), significa que se divide un número menor entre uno mayor.

Teniendo en cuenta el análisis anterior, el número menor va en el numerador y el mayor en el denominador.

\frac{3}{7}=\frac{189}{x}

Despejamos a x .

x=\frac{7\times 189}{3}=441

El número mayor de la razón es igual a 441.

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 43

Al desarrollar {\left({x}^{2}-3y\right)}^{3} se obtiene:

  1. {x}^{6}-9{x}^{5}y+27{x}^{4}{y}^{2}-27{y}^{3}
  2. {x}^{6}+9{x}^{4}y-27{x}^{2}{y}^{2}+27{y}^{3}
  3. {x}^{6}-9{x}^{4}y+27{x}^{2}{y}^{2}-27{y}^{3}
  4. {x}^{6}-9{x}^{3}{y}^{2}+27{x}^{2}{y}^{3}-27{y}^{3}

Solución:

Para desarrollar el binomio al cubo tenemos dos opciones: ir aplicando producto de polinomios o utilizar el producto notable para el binomio al cubo. La segunda opción es la mejor, porque reduce el tiempo de solución, necesario durante el examen y, además, si estás haciendo los ejercicios es porque ya estudiaste los productos notables, por tanto, deberías saberlos de memoria.

Procedemos a aplicar producto notable.

{\left(a-b\right)}^{3}={a}^{3}-3{a}^{2}b+3a{b}^{2}-{b}^{3}

Nuestro trabajo es identificar a quien es igual a y b .

a={x}^{2};b=3y

Finalmente:

{\left({x}^{2}-3y\right)}^{3}={\left({x}^{2}\right)}^{3}-3{\left({x}^{2}\right)}^{2}\left(3y\right)+3\left({x}^{2}\right){\left(3y\right)}^{2}-{\left(3y\right)}^{3}

Simplificamos.

{\left({x}^{2}-3y\right)}^{3}={x}^{6}-9{x}^{4}y+27{x}^{2}{y}^{2}-27{y}^{3}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta está en la c).

Reactivo 44

¿Cuál es la factorización del trinomio {x}^{2}-11x+30 ?

  1. \left(x+5\right)\left(x+6\right)
  2. \left(x+1\right)\left(x+30\right)
  3. \left(x-5\right)\left(x+6\right)
  4. \left(x-5\right)\left(x-6\right)

Solución:

Para factorizar el polinomio de segundo grado, debemos encontrar sus raíces y expresar al polinomio como el producto de dichas raíces, similar a lo que aparece en los incisos. Para hacer esto tenemos varias opciones, una de ellas es aplicar la fórmula de segundo grado.

Esta última puede ser la primera que se te ocurra, pero no es la más versátil, cuando se trata de simplemente factorizar, la mejor opción es buscar dos números tales que sumados sean iguales al coeficiente b y que multiplicados sean iguales al coeficiente c .

{x}_{1}+{x}_{2}=b

{x}_{1}{x}_{2}=c

Para nosotros, dichos valores son -5 y -6.

-5-6=-11

\left(-5\right)\left(-6\right)=30

Por tanto:

{x}^{2}-11x+30=\left(x-5\right)\left(x-6\right)

Comparando con las opciones, seleccionamos como correcta la d).

Reactivo 45

¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación?

\frac{x}{2}+5=x+3

  1. x=\frac{1}{2}
  2. x=-2
  3. x=2
  4. x=4

Solución:

Simplemente debemos aplicar las reglas de las igualdades para obtener el valor de x . Comenzamos por agrupar en el miembro de la izquierda de la ecuación los términos con x y del otro los términos independientes.

\frac{x}{2}-x=3-5

Simplificamos.

-\frac{x}{2}=-2

Despejamos la x multiplicando ambos miembros por -2 .

\left(-2\right)\frac{x}{-2}=\left(-2\right)\left(-2\right)

x=4

La solución a la ecuación es x=4 .

Seleccionamos la opción d) como la respuesta correcta.

Reactivo 46

Al resolver 3-\frac{x}{x+2}=7 , ¿cuál es el valor de x ?

  1. -\frac{8}{5}
  2. -\frac{5}{8}
  3. \frac{5}{8}
  4. \frac{8}{5}

Solución:

Comenzamos por dejar en el miembro de la derecha el término fraccionario con x solo.

-\frac{x}{x+2}=4

Multiplicamos ambos miembros por -\left(x+2\right) .

x=-4\left(x+2\right)

Aplicamos propiedad distributiva.

x=-4x-8

Pasamos al primer miembro el término -4x .

x+4x=-8

Simplificamos y despejamos.

5x=-8

x=-\frac{8}{5}

Para que se cumpla la igualdad, la variable x debe ser igual a -\frac{8}{5} .

Concluimos indicando al inciso a) como la respuesta correcta.

Reactivo 47

¿Cuál es el intervalo que representa el conjunto solución de -x\ge 5 ?

  1. \left[-5,\infty \right)
  2. \left(-\infty , -5\right)
  3. \left(-\infty , -5\right]
  4. \left(-5, \infty \right)

Solución:

Para resolver inecuaciones, debemos seguir las reglas de las desigualdades, similares a las de las igualdades, pero con la diferencia que, si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Solo debemos multiplicar ambos lados por -1, cambiamos inmediatamente el sentido de la desigualdad.

\left(-x\right)\left(-1\right)\le \left(5\right)\left(-1\right)

x\le -5

El conjunto solución de la inecuación son todos los valores de x menores o iguales que -5. Expresado en notación de intervalo quedaría:

x\in \left(-\infty , -5\right]

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 48

Es el determinante principal asociado al siguiente sistema.

\left\{\begin{array}{c}10x-5y=-5\\ 4x+y=-5\end{array}\right.

  1. \left|\begin{array}{cc}-5& 5\\ -5& 1\end{array}\right|
  2. \left|\begin{array}{cc}10& -5\\ 4& -5\end{array}\right|
  3. \left|\begin{array}{cc}-5& -5\\ 4& 1\end{array}\right|
  4. \left|\begin{array}{cc}10& -5\\ 4& 1\end{array}\right|

Solución:

Como sabemos, existen diferentes maneras de resolver sistemas de ecuaciones lineales y, entre ellas, existe el método de los determinantes o la regla de Cramer la cual dice que:

El valor de cada incógnita es igual al cociente del determinante de la incógnita y el determinante del sistema.

En este caso nos interesa el determinante del sistema, el cuál se aplica sobre la matriz conformada por los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, para nosotros: 10, -5, 4 y 1, por tanto:

{\mathrm{\Delta }}_{s}=\left|\begin{array}{cc}10& -5\\ 4& 1\end{array}\right|

Comparando con las opciones, la respuesta correcta se encuentra en el inciso d).

Reactivo 49

Obtén el dominio y el rango de la siguiente función.

y=\frac{-5}{-\sqrt{x+2}}

  1. \begin{array}{c}D:x>-2\\ R:y>0\end{array}
  2. \begin{array}{c}D:x\ge -2\\ R:y\ge 0\end{array}
  3. \begin{array}{c}D:x>-2\\ R:y\ge 0\end{array}
  4. \begin{array}{c}D:x<-2\\ R:y\le 0\end{array}

Solución:

Dividiremos la solución del ejercicio en dos partes. En la primera, encontraremos el dominio de la función dada y, en la segunda, calcularemos la inversa de la función y posteriormente el rango.

Cálculo del dominio de la función.

Primero, simplificamos el signo menos del numerador con el que se encuentra en el denominador.

y=\frac{5}{\sqrt{x+2}}

Ahora, para que la función exista, su denominador debe ser distinto de cero.

\sqrt{x+2}\ne 0

Sabemos que una función racional da valores mayores o iguales a cero, a nosotros solo nos interesa que sean mayores. Para que una función racional esté definida su radicando debe ser mayor o igual a cero, como solo nos interesan los mayores a cero, decimos que:

x+2>0

Finalmente:

x>-2

El dominio de la función son todos los valores de x mayores a -2.

D:x>-2

Cálculo del rango de la función.

Normalmente es necesario calcular la inversa de la función, estudiar su conjunto solución y de allí encontrar el rango, pero, debido a la naturaleza de la función \frac{5}{\sqrt{x+2}} sabemos que los valores que saldrán de ella serán siempre positivos y distintos de cero, por tanto, el rango de la función es:

R:y>0

Finalmente:

\begin{array}{c}D:x>-2\\ R:y>0\end{array}

Esto lo podemos comprobar gráficamente:

9-guía-unam-matematicas-area-3

Vemos como la función existe para valores mayores que x y que las imágenes son siempre mayores que y .

Concluimos indicando como correcta la opción a).

Reactivo 50

¿Cuál es la gráfica de f\left(x\right)=\left|x\right| con x\in \left[-3, 3\right] ?

  1. 7-guía-unam-matematicas-area-3
  2. 10-guía-unam-matematicas-area-3
  3. 1-guía-unam-matematicas-area-3
  4. 11-guía-unam-matematicas-area-3

Solución:

Para responder la pregunta, debemos recordar la definición de la función valor absoluto:

f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}x si x\ge 0\\ -x si x<0 \end{array}\right.

Es decir, si nos encontramos del lado negativo del eje x , la función viene descrita por una recta de pendiente negativa {f}^{-}\left(x\right)=-x , por otro lado, si nos encontramos desde el cero en adelante, entonces la función viene descrita por una recta de pendiente positiva {f}^{+}\left(x\right)=x .

Teniendo en cuenta esto, sabemos que entre \left[-3, 0\right) entra en juego -x y para \left[0, 3\right] entra en juego x . Si graficamos ambas rectas, obtenemos una gráfica en “v”.

4-guía-unam-matematicas-area-3

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 51

¿Cuál es el valor de y en x=1 Si y=5{x}^{4}+3x ?

  1. 23
  2. 9
  3. 12
  4. 8

Solución:

En el ejercicio, únicamente debemos sustituir el lugar de la x por el número 1.

y\left(x=1\right)=5{\left(1\right)}^{4}+3\left(1\right)=5+3=8

y\left(x=1\right)=8

La función vale 8 cuando x es igual a 1.

La respuesta correcta es el inciso d).

Reactivo 52

Si 2\pi  radianes equivalen a 360°, ¿cuánto equivale un ángulo de \frac{7}{8}\pi  radianes?

  1. 315°
  2. 145° 30’
  3. 270°
  4. 157° 30’

Solución:

Solo debemos aplicar una regla de tres directa para obtener el equivalente en grados.

\begin{array}{c}2\pi \to 360°\\ \frac{7}{8}\pi \to x\end{array}

Despejando:

x=\frac{\frac{7}{8}\pi \times 360°}{2\pi }=157.5°

Debemos convertir los decimales en minutos. Un grado hexadecimal equivale a 60 minutos, por tanto, medio grado hexadecimal equivale a 30 minutos:

157.5°=157° 30\text{'}

La respuesta correcta es el inciso d).

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