Guía UNAM Matemáticas: Área 3 de las Ciencias Sociales Parte 1

¡Hola aspirante! En este tutorial vamos a resolver paso a paso los primeros 12 reactivos de matemáticas área 3, del 41 al 52, de la guía Ciencias Sociales como preparación al examen de ingreso a la UNAM.

GUIA-UNAM-MATEMATICAS-AREA-3-1

¿Cómo estudiar la guía? Te aconsejo hacerlos por tu cuenta antes de mirar la solución. Es importante que estudies y comprendas cada uno de los temas que van para el examen, tu calificación depende del esfuerzo que dediques durante la preparación.

A continuación, te dejo un resumen con los puntos más importantes del examen UNAM.

  • Desarrollo: UNAM
  • Área 3: Ciencias Sociales
  • Materia: Matemáticas
  • Reactivos: 120
  • Tipo: Opción múltiple
  • Duración: 3 horas
  • Modalidades: Presencial

Carreras como derecho, administración o contaduría suman más de 25,000 aspirantes rechazados por convocatoria. Asegúrate de iniciar tu preparación cuanto antes.

Estructura del examen

La prueba de ingreso a la UNAM tiene una extensión de 120 reactivos, de los cuales 24 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 3 de Ciencias Sociales.

¿Aún no conoces todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 3, donde se indican las materias y la cantidad de reactivos correspondientes.

Estructura examen área 3.

Temas Reactivos
Español 18
Matemáticas 24
Física 10
Química 10
Biología 10
Historia universal 14
Historia de México 14
Literatura 10
Geografía 10
Total 120

¿Sabías que en área 3, la carrera con el mayor número de aciertos obligatorios es Relaciones Internacionales con 98?

De las 22 carreras ofertadas por la UNAM para el área 3, dos de ellas cuentan con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra que dependerán de la facultad a la que desees ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Muchos aspirantes consideran que estudiar matemáticas es solo aplicar fórmulas, dibujar gráficas y resolver muchos ejercicios, pero ese es el error principal.

No es relevante la cantidad de ejercicios resueltos, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer los conceptos y aplicarlos en cualquier situación.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas de forma correcta.

  • Busca la bibliografía recomendada. Selecciona 2 o 3 textos de tu agrado en la bibliografía en la guía UNAM área 3. El motivo es porque algunos temas se explican mejor en unos textos que en otros. Asegúrate de tener suficiente contenido de calidad.
  • Analiza y comprende los conceptos. Por más simple que parezca una propiedad o un teorema, conocer su origen y demostración te será de gran utilidad durante el examen. En la mayoría de los casos, un problema complejo tiene solución rápida aplicando determinado teorema.
  • Si no entiendes algo, ve a otro libro. Los autores suelen enfocarse en determinados aspectos a la hora de escribir sus textos y suelen desbordar detalles que pueden confundirnos al estudiar. Te recomiendo tener más de un libro de consulta.
  • Estudia de forma inteligente. Resolver un ejercicio intentando cualquier idea no es la mejor forma de ejercitar lo aprendido. Analiza el problema, comprende lo que te solicita, identifica las herramientas para resolverlo y crea un plan para resolverlo. Si no funciona, regresa al inicio y pregúntate ¿hay un concepto que no apliqué correctamente?

Temario matemáticas área 3

La siguiente lista contiene el temario de matemáticas para el área 3 Ciencias Sociales UNAM. Si organizas tu tiempo y comienzas desde ya, podrás estudiar sin problemas todos los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo clic en este enlace.

  1. Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas 
    1. Números reales
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
    2. Números complejos
      1. Suma y resta
      2. Multiplicación 
    3. Expresiones algebraicas
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división 
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
      4. Operaciones con radicales
  2. Productos notables y factorización
    1. Binomio de Newton (a+b)^n, n E N 
    2. Teorema del residuo y del factor 
    3. Simplificación de fracciones algebraicas 
    4. Operaciones con fracciones algebraicas
  3. Ecuaciones
    1. Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad 
    2. Ecuaciones de primer grado 
    3. Ecuaciones de segundo grado
  4. Desigualdades
    1. Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades
  5. Sistemas de ecuaciones 
    1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
      1. Métodos de solución 
    2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
      1. Métodos de solución (Regla de Cramer)
  6. Funciones algebraicas
    1. Dominio, contradominio y regla de correspondencia 
    2. Rango o imagen 
    3. Gráfica 
    4. Implícitas y explicitas 
    5. Crecientes y decrecientes 
    6. Continuas y discontinuas 
    7. Álgebra de funciones
  7. Trigonometría 
    1. Trigonometría básica
      1. Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados) 
      2. Razones trigonométricas 
      3. Resolución de triángulos rectángulos 
      4. Ley de los Senos y Ley de los Cosenos 
      5. Resolución de triángulos oblicuángulos
      6. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. Fórmulas de reducción 
    2. Funciones trigonométricas
      1. El círculo trigonométrico 
      2. Funciones trigonométricas directas
        1. Dominio y rango 
        2. Periodo y amplitud 
        3. Desfasamiento 
        4. Asíntotas de la gráfica
  8. Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Dominio y rango 
    2. Gráficas y asíntotas
  9. Recta
    1. Distancia entre dos puntos
    2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada 
    3. Pendiente de una recta 
    4. Formas de la ecuación de la recta y su gráfica 
    5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 
    6. Distancia de un punto a una recta 
    7. Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)
  10. Circunferencia
    1. Circunferencia como lugar geométrico 
    2. Formas ordinarias (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
    3. Ecuación de la circunferencia con centro en [h, k) en las formas ordinaria y general 
    4. Elementos de una circunferencia
  11. Parábola
    1. Parábola como lugar geométrico 
    2. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    4. Elementos de una parábola
  12. Elipse
    1. Elipse como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una elipse
  13. Hipérbola
    1. Hipérbola como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 13.5 Elementos de una hipérbola
  14. Ecuación general de segundo grado
    1. Las cónicas 
    2. Ecuación general de segundo grado 
    3. Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado 
    4. Traslación de ejes

Guía matemáticas UNAM área 3 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de los primeros 12 reactivos de matemáticas, para la guía de la Universidad Nacional Autónoma de México del área 3 de las Ciencias Sociales.

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Reactivo 41

¿Cuál es el resultado de dividir 1/10 entre -1/ 2?

  1. – 20
  2. – 0.05
  3. – 0.20
  4. – 5

Solución:

Iniciamos escribiendo a las fracciones como un cociente.

\frac{1}{10}÷-\frac{1}{2}

El cociente de fracciones se resuelve mediante un producto cruzado.

Simplificando la fracción nos queda:

\frac{1}{10}÷-\frac{1}{2}=-\frac{1}{5}=-0.2

La respuesta correcta es el inciso C.

Reactivo 42

¿Cuál es la expresión resultante al resolver la siguiente operación de números complejos?

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)

  1. -\frac{1}{6}+\frac{127}{20}i
  2. -\frac{2}{3}+\frac{43}{10}i
  3. -\frac{40}{3}+\frac{35}{10}i
  4. -\frac{1}{6}+\frac{86}{20}i

Solución:

Iniciamos deshaciendo los paréntesis, considerando el signo externo. Luego agrupamos las partes reales e imaginarias, cada una por separado.

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)=\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i-4+5i

Agrupamos.

\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i+\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i-4+5i=\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i

Resolvemos las operaciones para la parte real e imaginaria.

Re=\frac{4}{3}+\frac{5}{2}-4=\frac{23}{6}-4=-\frac{1}{6}

Im=-\frac{2}{5}i+\frac{7}{4}i+5i=\frac{127}{20}i

Finalmente:

\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{5}i\right)+\left(\frac{5}{2}+\frac{7}{4}i\right)-\left(4-5i\right)=-\frac{1}{6}+\frac{127}{20}i

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso A.

Reactivo 43

Desarrolla el binomio {\left(x-y\right)}^{2} .

  1. {x}^{2}-{y}^{2}
  2. {x}^{2}+{y}^{2}
  3. {x}^{2}-2xy+{y}^{2}
  4. {x}^{2}+2xy+{y}^{2}

Solución:

Aplicamos el producto notable para desarrollar un binomio al cubo.

{\left(x-y\right)}^{2}={\left(x\right)}^{2}-2\left(x\right)\left(y\right)+{\left(y\right)}^{2}

Finalmente:

{\left(x-y\right)}^{2}={x}^{2}-2xy+{y}^{2}

La respuesta correcta es el inciso C.

Reactivo 44

Simplifica la siguiente fracción:

\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}

  1. x-40
  2. x-5
  3. x+8
  4. x-2

Solución:

Iniciamos factorizando el numerador. Buscamos dos números que sumados sean +3 y que multiplicados -40. Estas cantidades son: +8 y -5.

{x}^{2}+3x-40=\left(x+8\right)\left(x-5\right)

Sustituimos en la fracción y simplificamos.

\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}=\frac{\left(x+8\right)\left(x-5\right)}{x+8}=x-5

La respuesta correcta es el inciso B.

Reactivo 45

Calcula el número. Cinco veces un número más 21 es igual a tres veces ese número menos 11.

  1. 16
  2. –4
  3. 5
  4. –16

Solución:

Debemos convertir la expresión en lenguaje natural a lenguaje algebraico, para luego resolver la igualdad. En estos problemas, la frase “un número” hace referencia a la variable x .

Cinco veces un número más 21 es igual…

5x+21=\dots 

… tres veces ese número menos 11.

5x+21=3x-11

Despejamos el valor de x .

5x-3x=-11-21

2x=-32

x=-16

El número que cumple con las relaciones establecidas en el enunciado es -16.

La respuesta correcta es el inciso D.

Reactivo 46

A partir de la ecuación 3{x}^{2}=2x+5 obtén los valores de x .

  1. {x}_{1}=-\frac{5}{3}; {x}_{2}=-1
  2. {x}_{1}=-\frac{5}{3}; {x}_{2}=1
  3. {x}_{1}=\frac{5}{3}; {x}_{2}=1
  4. {x}_{1}=\frac{5}{3}; {x}_{2}=-1

Solución:

Agrupamos todos los términos en un mismo miembro y aplicamos la fórmula de segundo grado.

3{x}^{2}=2x+5\to 3{x}^{2}-2x-5=0

a=3, b=-2, c=-5.

Sustituimos:

x=\frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^{2}-4\left(3\right)\left(-5\right)}}{2\left(3\right)}=\frac{2\pm \sqrt{4+60}}{6}

x=\frac{2\pm \sqrt{64}}{6}=\frac{2\pm 8}{6}

Finalmente:

{x}_{1}=\frac{2+8}{6}=\frac{5}{3}

{x}_{2}=\frac{-6}{6}=-1

Las raíces del polinomio de segundo grado son: {x}_{1}=\frac{5}{3}; {x}_{2}=-1 . Respuesta correcta: D.

Reactivo 47

La solución de la desigualdad –3x+4> –8 es:

  1. x\in \left(-1, \infty \right)
  2. x\in \left(\frac{4}{3}, \infty \right)
  3. x\in \left(-\infty , \frac{4}{3}\right)
  4. x\in \left(\infty , 4\right)

Solución:

Agrupamos términos semejantes a los lados de la desigualdad.

-3x>-8-4\to -3x>-12

Dividimos la desigualdad por -3. Como el signo es negativo, la desigualdad cambia de sentido.

-3x>-12\to x<4

Expresado en notación de conjunto: x\in \left(-\infty , 4\right) .

La respuesta correcta es el inciso D.

Reactivo 48

¿Cuáles son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones?

y=x-3

4x+y=32

  1. x=5;y=12
  2. x=4;y=16
  3. x=8;y=5
  4. x=7;y=4

Solución:

Iniciamos sustituyen a la primera igualdad por y en la segunda ecuación. De esta manera, obtendremos el valor de x .

4x+x-3=32\to 5x=35

\therefore x=7

Ahora, sustituimos el valor de x en la primera igualdad para encontrar el valor de y .

y=7-3=4

Finalmente:

x=7;y=4

La respuesta correcta es el inciso D.

Reactivo 49

Al comprar 3 kg de naranjas y 2 kg de manzanas se pagaron $42.00. Si se compran 1 kg de naranjas y 3 kg de manzanas se pagan $49.00. ¿Cuánto cuesta el kilo de naranjas?

  1. $15.00
  2. $9.00
  3. $8.00
  4. $4.00

Solución:

Llamaremos al precio de naranjas y de manzanas N y M respectivamente. Por otra parte, el precio total a pagar por ambas frutas, se calcula como el producto de kilogramos por el precio respectivo.

En el enunciado se indican dos compras, cada una con los kilogramos de fruta y el total a pagar. A partir de ellas establecemos ecuaciones para resolver el problema.

Al comprar 3 kg de naranjas y 2 kg de manzanas se pagaron $42.00.

3N+2M=42

Si se compran 1 kg de naranjas y 3 kg de manzanas se pagan $49.00.

N+3M=49

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Debido a que solo nos interesa el precio del kilo de naranjas, nos concentramos en obtener el precio de esta fruta. Despejamos el precio de las manzanas.

3N+2M=42\to M=\frac{42-3N}{2}

N+3M=49\to M=\frac{49-N}{3}

Igualamos las ecuaciones y despejamos a N .

\frac{42-3N}{2}=\frac{49-N}{3}

3\left(42-3N\right)=2\left(49-N\right)

126-9N=98-2N\to 2N-9N=98-126

-7N=-28

\therefore N=4

El precio por cada kilogramo de naranjas es de 4 pesos.

La respuesta correcta es el inciso D.

Reactivo 50

¿Cuál es el dominio de y=\frac{{x}^{2}+7x-1}{x-1} ?

  1. \left(-\infty ,-1\right]\cup \left[1,\infty \right)
  2. \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,\infty \right)
  3. \left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,\infty \right)
  4. \left(-\infty ,-1\right)\cup \left[1,\infty \right)

Solución:

Tenemos una función racional cuya única restricción es que el denominador sea diferente de cero.

x-1\ne 0

Por lo tanto:

x\ne 1

El dominio de la función es todo el conjunto de los reales excepto x=1 .

\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\left(y\right)=\left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,\infty \right)

La respuesta correcta es el inciso C.

Reactivo 51

¿Cuál es la gráfica de f\left(x\right)=\left|x\right| con x\in \left[–\mathrm{3,3}\right] ?

Solución:

La función valor absoluto, permite obtener valores positivos sin importar el signo de la expresión dentro de las barras. La expresión en este caso es x , que representa una línea recta de pendiente positiva.

Debido a que entre -\infty  hasta 0 los valores de la recta son negativos, al introducirlos en la función valor absoluto, se convierten en cantidades positivas. Esto provoca que la gráfica de \left|x\right| sea una “V” con vértice en x=0 .

Acotando la función entre -3 y 3 nos queda:

Comparando con los incisos, concluimos que la respuesta correcta es el D.

Reactivo 52

¿Cuál es el resultado de la siguiente operación: g\left(x\right)–f\left(x\right) . Si f\left(x\right)=2x-3y+5 y g\left(x\right)=7x+5y-11 ?

  1. 9x+2y-6
  2. 5x+8y-16
  3. -5x-8y+16
  4. -9x-2y+6

Solución:

Sustituimos las expresiones de las funciones en la operación:

g\left(x\right)–f\left(x\right)=7x+5y-11-\left(2x-3y+5\right)

Deshacemos los paréntesis y simplificamos.

g\left(x\right)–f\left(x\right)=7x+5y-11-2x+3y-5

g\left(x\right)–f\left(x\right)=7x-2x+5y+3y-11-5

Finalmente:

g\left(x\right)–f\left(x\right)=5x+8y-16

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso B.