Guía UNAM Matemáticas: Área 1 Ciencias Físico-Matemáticas Parte 3

¡Llegamos a la última parte aspirante! Continuamos con la solución de la tercera y última parte de los reactivos de matemáticas área 1, en este caso del 67 al 72, en la guía de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías como preparación al examen de ingreso UNAM.

Te dejo un resumen de la prueba de ingreso a la UNAM:

¡Felicidades por llegar hasta aquí aspirante! Matemáticas parece una asignatura de fórmulas y despejes, pero en ella se encuentran los modelos para comprender el mundo que nos rodea.

Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta

Vamos con los últimos 6 ejercicios de matemáticas de la guía Área 1 de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías de la UNAM. Recuerda tomar descansos entre ejercicios, esto también forma parte del proceso de aprendizaje.

Reactivo 67

La función f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}} es continua en el intervalo:

1. \left[0, \infty \right)
2. \left[0, 4\right)
3. \left(-\infty , 4\right)
4. \left[0, 4\right]

Solución:

Para estudiar los intervalos de continuidad de una función, primero debemos obtener su dominio. Ya que es una función radical, debe cumplirse que el radicando sea mayor o igual a cero.

\frac{x}{4-x}\ge 0

Puesto que es una función racional, esta es positiva cuando:

\begin{array}{c}x\ge 0 y 4-x>0\\ x\le 0 y 4-x<0\end{array}

Primer conjunto.

Obtenemos los intervalos que corresponden al dominio de f .

x\ge 0

 4-x>0\to x<4

Interceptando ambos conjuntos:

x\in \left[0, 4\right)

Segundo conjunto.

Obtenemos los intervalos que corresponden al dominio de f .

x\le 0

 4-x<0\to x>4

Interceptando ambos conjuntos:

Este conjunto es vacío, por tanto, concluimos que el dominio de la función es:

\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\left\{f\left(x\right)\right\}=x\in \left[0, 4\right)

Concluimos que la función f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}} es continua en el intervalo abierto por la derecha \left[0, 4\right) .

Indicamos como respuesta correcta la opción b).

Otros aspirantes también leyeron:

Reactivo 68

La derivada de y={\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4} es

1. {y}^{\text{'}}=12{x}^{2}
2. {y}^{\text{'}}=6{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}
3. {y}^{\text{'}}=8{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{2}
4. {y}^{\text{'}}=24{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}

Solución:

Para encontrar la derivada de la función debemos aplicar la regla de la cadena. En este caso, tenemos a una función elevada a la 4, por tanto, comenzamos por aplicar la fórmula de la derivada de una potencia:

{y}^{\text{'}}={\left[{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4}\right]}^{\text{'}}=4{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4-1}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{\text{'}}

{y}^{\text{'}}=4{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}\left(6{x}^{2}\right)

Finalmente:

{y}^{\text{'}}=24{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}

Concluimos el ejercicio seleccionando como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 69

La pendiente de la recta tangente a la curva f\left(x\right)={e}^{3x} en el punto P\left(0, 1\right) es igual a

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Solución:

Comencemos por calcular la derivada de la función:

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left({e}^{3x}\right)}^{\text{'}}=3{e}^{3x}

Ahora, sustituimos la coordenada x del punto dado por el enunciado:

{f}^{\text{'}}\left(x=0\right)=3{e}^{3\left(0\right)}=3

Finalmente, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P\left(0, 1\right) es igual a 3.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 70

La expresión f\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(2t+3\right) es una función de posición de movimiento armónico, la expresión para la aceleración es:

1. a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t-3\right)
2. a\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
3. a\left(t\right)=-\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
4. a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t+3\right)

Solución:

A partir de los temas relacionados con la mecánica clásica, sabemos que la aceleración es igual a la segunda derivada de la función posición respecto del tiempo. Por tanto, la segunda derivada de la función es:

\frac{{d}^{2}\left(\mathrm{cos}\left(2t+3\right)\right)}{d{t}^{2}}={\left(-2\mathrm{sin}\left(2t+3\right)\right)}^{\text{'}}

Derivamos una segunda vez.

a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t+3\right)

Comparando con los incisos, seleccionamos como correcto al d).

Reactivo 71

La integral \int \left(2\mathrm{sin}x+3\mathrm{cos}x\right)dx es

1. 2\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x+C
2. \mathrm{cos}x+\mathrm{sin}x+C
3. 2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C
4. -2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C

Solución:

Comenzamos por aplicar la propiedad de la integral de la suma y luego la integral de una función por una constante:

\int \left(2\mathrm{sin}x+3\mathrm{cos}x\right)dx=\int 2\mathrm{sin}xdx+\int 3\mathrm{cos}xdx

\int 2\mathrm{sin}xdx+\int 3\mathrm{cos}xdx=2\int \mathrm{sin}xdx+3\int \mathrm{cos}xdx

Ambas integrales son directas, por tanto:

2\int \mathrm{sin}xdx+3\int \mathrm{cos}xdx=-2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C

Comparando con las opciones, concluimos escogiendo como correcta la opción d).

Reactivo 72

Si {\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\frac{5}{2} y {\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3} entonces, el área bajo la curva i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx es igual a

1. -\frac{7}{6}
2. -\frac{6}{7}
3. \frac{6}{7}
4. \frac{7}{6}

Solución:

Para calcular el área entre las curvas, solo debemos intercambiar los límites de integración de la segunda integral definida, para poder sustituir su valor en la ecuación integral i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx . Por la propiedad de inversión de los límites de integración, sabemos que:

{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3}\to {\int }_{a}^{b}g\left(x\right)dx=-\frac{4}{3}

Finalmente:

i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx={\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\left[\frac{5}{2}+\left(-\frac{4}{3}\right)\right]

i=\frac{5}{2}-\frac{4}{3}=\frac{7}{6}

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).