Guía UNAM Matemáticas: Área 1 Cs Físico-Matemáticas P. 3

¡Llegamos a la última parte aspirante! Continuamos con la solución de la tercera y última parte de los reactivos de matemáticas área 1, en este caso del 67 al 72, en la guía de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías como preparación al examen de ingreso UNAM.

Te dejo un resumen de la prueba de ingreso a la UNAM:

• Desarrollo: UNAM
• Área 1: Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías
• Materia: Matemáticas
• Reactivos: 120
• Tipo: Opción múltiple
• Duración: 3 horas
• Modalidades: Presencial

¡Felicidades por llegar hasta aquí aspirante! Matemáticas parece una asignatura de fórmulas y despejes, pero en ella se encuentran los modelos para comprender el mundo que nos rodea.

Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta

Vamos con los últimos 6 ejercicios de matemáticas de la guía Área 1 de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías de la UNAM. Recuerda tomar descansos entre ejercicios, esto también forma parte del proceso de aprendizaje.

Reactivo 67

Se tiene que $\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=k$ y $\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=-k$. Determine el $\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]$.

1. $-{k}^{2}$
2. $0$
3. $2k$
4. ${k}^{2}$

Solución:

Para resolver este límite, debemos aplicar la propiedad del límite de una suma.

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)-\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)$

Sustituimos el límite de cada función, dado por el enunciado.

$\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)-\underset{x\to a}{\mathrm{lim}}g\left(x\right)=k-\left(-k\right)=2k$

La respuesta correcta es el inciso C.

Reactivo 68

La derivada de $y=\mathrm{ln}\left({x}^{2}+5\right)$ es:

1. $\frac{1}{{x}^{2}+5}$
2. $\frac{x}{{x}^{2}+5}$
3. $\frac{2x}{{x}^{2}-5}$
4. $\frac{2x}{{x}^{2}+5}$

Solución:

Analizando la función mediante la regla de la cadena, determinamos que la función principal es la del logaritmo natural. Derivamos aplicando la fórmula para el logaritmo natural.

${y}^{\text{'}}={\left[\mathrm{ln}\left({x}^{2}+5\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left({x}^{2}+5\right)}^{\text{'}}}{{x}^{2}+5}$

Resolvemos la derivada indicada aplicando la propiedad de la derivada de una suma, de una potencia y de una constante.

$\frac{{\left({x}^{2}+5\right)}^{\text{'}}}{{x}^{2}+5}=\frac{2x}{{x}^{2}+5}$

Finalmente:

${y}^{\text{'}}=\frac{2x}{{x}^{2}+5}$

Comparando con los incisos, concluimos que la respuesta correcta es el D.

Reactivo 69

Si $f\left(x\right)={e}^{\frac{3}{2}+x}$; determina ${f}^{IV}\left(x\right)$.

1. ${f}^{IV}\left(x\right)=4{e}^{\frac{3}{2}+x}$
2. ${f}^{IV}\left(x\right)={e}^{\frac{3}{2}+x}$
3. ${f}^{IV}\left(x\right)=-{e}^{\frac{3}{2}+x}$
4. ${f}^{IV}\left(x\right)=-4{e}^{\frac{3}{2}+x}$

Solución:

El enunciado solicita que calculemos la cuarta derivada de la función $f\left(x\right)$. Es decir, debemos derivar sucesivamente 4 veces; el resultado de una derivada lo volvemos a derivar. Así, hasta hacerlo 4 veces. En todos los casos se aplica la fórmula para derivar una exponencial.

Primera derivada.

${f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{e}^{\frac{3}{2}+x}\right]}^{\text{'}}={\left(\frac{3}{2}+x\right)}^{\text{'}}{e}^{\frac{3}{2}+x}={e}^{\frac{3}{2}+x}$

Con este resultado, vemos que ${f}^{\text{'}}$ es exactamente igual a la función original. Como consecuencia de esto, al derivar una segunda vez, volveremos a obtener la función original $f$.

${f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left[{f}^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}, {f}^{\text{'}}=f\to {f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left[f\right]}^{\text{'}}={f}^{\text{'}}$

$\therefore {f}^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=f$

Generalizando obtenemos:

${f}^{\left(n\right)}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Teniendo en cuenta todo lo anterior, la cuarta derivada ${f}^{IV}$ es igual a  ${e}^{\frac{3}{2}+x}$. La respuesta correcta es el inciso B.

Reactivo 70

La pendiente de la tangente a la curva $f\left(x\right)={e}^{3x}$ en el punto $P\left(0, 1\right)$ es igual a

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Solución:

Recordemos que la derivada de una función nos permite calcular la pendiente de la recta en cualquier punto de su dominio. En este caso, derivamos a la función dada y la evaluamos en $x=0$ para obtener la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Aplicamos la fórmula de la derivada de la exponencial.

${f}^{\text{'}}\left(x\right)=3{e}^{3x}$

Evaluemos.

$m={f}^{\text{'}}\left(0\right)=3{e}^{3\left(0\right)}=\left(3\right)\left(1\right)=3$

La pendiente de la recta tangente a $f\left(x\right)$ en $x=0$ es igual a 3.

Indicamos como respuesta correcta al inciso D.

Reactivo 71

La solución de la integral $\int \mathrm{cos}\left(8x\right)dx$ es:

1. $-8\mathrm{sin}\left(x\right)+C$
2. $-8\mathrm{sin}\left(8x\right)+C$
3. $\frac{1}{8}\mathrm{sin}\left(x\right)+C$
4. $\frac{1}{8}\mathrm{sin}\left(8x\right)+C$

Solución:

Para poder resolver esta integral, debemos tener el diferencial del argumento del coseno, es decir, el diferencial de $8x$.

$d\left(8x\right)=8dx$

Solo nos falta el 8, multiplicamos y dividimos por este número para mantener la igualdad y construir el diferencial.

$\int \mathrm{cos}\left(8x\right)dx=\frac{8}{8}\int \mathrm{cos}\left(8x\right)dx=\frac{1}{8}\int \mathrm{cos}\left(8x\right)8dx=\frac{1}{8}\int \mathrm{cos}\left(8x\right)d\left(8x\right)$

Ahora, esta integral es inmediata.

$\frac{1}{8}\int \mathrm{cos}\left(8x\right)d\left(8x\right)=\frac{1}{8}\mathrm{sin}\left(8x\right)+C$

Finalmente:

$\int \mathrm{cos}\left(8x\right)dx=\frac{1}{8}\mathrm{sin}\left(8x\right)+C$

La respuesta correcta es el inciso D.

Reactivo 72

La solución de la integral indefinida $\int \left(x+2\right)\left({e}^{{x}^{2}+4x+3}\right)dx$ es:

1. ${e}^{{x}^{2}+4x+3}+C$
2. ${e}^{-\left({x}^{2}+4x+3\right)}+C$
3. $\frac{1}{2}{e}^{-\left({x}^{2}+4x+3\right)}+C$
4. $\frac{1}{2}{e}^{{x}^{2}+4x+3}+C$

Solución:

Esta integral se puede resolver mediante artificios algebraicos o por cambio de variables. Debido a que el anterior reactivo se resolvió mediante artificios, este lo vamos a desarrollar aplicando cambio de variable.

El cambio se hará al exponente de la función exponencial.

$u={x}^{2}+4x+3\to du=\left(2x+4\right)dx$

Extraemos como factor común el 2.

$du=2\left(x+2\right)dx\to \frac{1}{2}du=\left(x+2\right)dx$

Aplicamos el cambio.

$\int \left(x+2\right)\left({e}^{{x}^{2}+4x+3}\right)dx\to \frac{1}{2}\int {e}^{u}du$

Resolvemos.

$\frac{1}{2}\int {e}^{u}du=\frac{1}{2}{e}^{u}+C$

Devolvemos el cambio.

$\frac{1}{2}{e}^{u}+C\to \frac{1}{2}{e}^{{x}^{2}+4x+3}+C$

Finalmente:

$\int \left(x+2\right)\left({e}^{{x}^{2}+4x+3}\right)dx=\frac{1}{2}{e}^{{x}^{2}+4x+3}+C$

La respuesta correcta es el inciso D.