¡Llegamos a la última parte aspirante! Continuamos con la solución de la tercera y última parte de los reactivos de matemáticas área 1, en este caso del 67 al 72, en la guía de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías como preparación al examen de ingreso UNAM.
Te dejo un resumen de la prueba de ingreso a la UNAM:
- Desarrollo: UNAM
- Área 1: Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías
- Materia: Matemáticas
- Reactivos: 120
- Tipo: Opción múltiple
- Duración: 3 horas
- Modalidades: Presencial
¡Felicidades por llegar hasta aquí aspirante! Matemáticas parece una asignatura de fórmulas y despejes, pero en ella se encuentran los modelos para comprender el mundo que nos rodea.
Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta
Vamos con los últimos 6 ejercicios de matemáticas de la guía Área 1 de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías de la UNAM. Recuerda tomar descansos entre ejercicios, esto también forma parte del proceso de aprendizaje.
Curso UNAM
Reactivo 67
La función f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}} es continua en el intervalo:
- \left[0, \infty \right)
- \left[0, 4\right)
- \left(-\infty , 4\right)
- \left[0, 4\right]
Solución:
Para estudiar los intervalos de continuidad de una función, primero debemos obtener su dominio. Ya que es una función radical, debe cumplirse que el radicando sea mayor o igual a cero.
\frac{x}{4-x}\ge 0
Puesto que es una función racional, esta es positiva cuando:
\begin{array}{c}x\ge 0 y 4-x>0\\ x\le 0 y 4-x<0\end{array}
Primer conjunto.
Obtenemos los intervalos que corresponden al dominio de f .
x\ge 0
4-x>0\to x<4
Interceptando ambos conjuntos:
x\in \left[0, 4\right)
Segundo conjunto.
Obtenemos los intervalos que corresponden al dominio de f .
x\le 0
4-x<0\to x>4
Interceptando ambos conjuntos:
Este conjunto es vacío, por tanto, concluimos que el dominio de la función es:
\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\left\{f\left(x\right)\right\}=x\in \left[0, 4\right)
Concluimos que la función f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}} es continua en el intervalo abierto por la derecha \left[0, 4\right) .
Indicamos como respuesta correcta la opción b).
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Reactivo 68
La derivada de y={\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4} es
- {y}^{\text{'}}=12{x}^{2}
- {y}^{\text{'}}=6{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}
- {y}^{\text{'}}=8{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{2}
- {y}^{\text{'}}=24{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}
Solución:
Para encontrar la derivada de la función debemos aplicar la regla de la cadena. En este caso, tenemos a una función elevada a la 4, por tanto, comenzamos por aplicar la fórmula de la derivada de una potencia:
{y}^{\text{'}}={\left[{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4}\right]}^{\text{'}}=4{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4-1}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{\text{'}}
{y}^{\text{'}}=4{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}\left(6{x}^{2}\right)
Finalmente:
{y}^{\text{'}}=24{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}
Concluimos el ejercicio seleccionando como respuesta correcta la opción d).
Reactivo 69
La pendiente de la recta tangente a la curva f\left(x\right)={e}^{3x} en el punto P\left(0, 1\right) es igual a
- 0
- 1
- 2
- 3
Solución:
Comencemos por calcular la derivada de la función:
{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left({e}^{3x}\right)}^{\text{'}}=3{e}^{3x}
Ahora, sustituimos la coordenada x del punto dado por el enunciado:
{f}^{\text{'}}\left(x=0\right)=3{e}^{3\left(0\right)}=3
Finalmente, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P\left(0, 1\right) es igual a 3.
Seleccionamos como respuesta correcta la opción d).
Reactivo 70
La expresión f\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(2t+3\right) es una función de posición de movimiento armónico, la expresión para la aceleración es:
- a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t-3\right)
- a\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
- a\left(t\right)=-\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
- a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
Solución:
A partir de los temas relacionados con la mecánica clásica, sabemos que la aceleración es igual a la segunda derivada de la función posición respecto del tiempo. Por tanto, la segunda derivada de la función es:
\frac{{d}^{2}\left(\mathrm{cos}\left(2t+3\right)\right)}{d{t}^{2}}={\left(-2\mathrm{sin}\left(2t+3\right)\right)}^{\text{'}}
Derivamos una segunda vez.
a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
Comparando con los incisos, seleccionamos como correcto al d).
Reactivo 71
La integral \int \left(2\mathrm{sin}x+3\mathrm{cos}x\right)dx es
- 2\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x+C
- \mathrm{cos}x+\mathrm{sin}x+C
- 2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C
- -2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C
Solución:
Comenzamos por aplicar la propiedad de la integral de la suma y luego la integral de una función por una constante:
\int \left(2\mathrm{sin}x+3\mathrm{cos}x\right)dx=\int 2\mathrm{sin}xdx+\int 3\mathrm{cos}xdx
\int 2\mathrm{sin}xdx+\int 3\mathrm{cos}xdx=2\int \mathrm{sin}xdx+3\int \mathrm{cos}xdx
Ambas integrales son directas, por tanto:
2\int \mathrm{sin}xdx+3\int \mathrm{cos}xdx=-2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C
Comparando con las opciones, concluimos escogiendo como correcta la opción d).
Reactivo 72
Si {\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\frac{5}{2} y {\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3} entonces, el área bajo la curva i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx es igual a
- -\frac{7}{6}
- -\frac{6}{7}
- \frac{6}{7}
- \frac{7}{6}
Solución:
Para calcular el área entre las curvas, solo debemos intercambiar los límites de integración de la segunda integral definida, para poder sustituir su valor en la ecuación integral i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx . Por la propiedad de inversión de los límites de integración, sabemos que:
{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3}\to {\int }_{a}^{b}g\left(x\right)dx=-\frac{4}{3}
Finalmente:
i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx={\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\left[\frac{5}{2}+\left(-\frac{4}{3}\right)\right]
i=\frac{5}{2}-\frac{4}{3}=\frac{7}{6}
Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).