Guía UNAM Matemáticas: Área 1 Ciencias Físico-Matemáticas Parte 1

¡Hola aspirante! En este post estaremos resolviendo paso a paso los primeros 10 reactivos de matemáticas, del 47 al 56, correspondientes a la guía área 1 de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías, como preparación antes del examen de ingreso a la UNAM.

GUIA-UNAM-MATEMATICAS-AREA-1-1

¿Cómo estudiar la guía UNAM? Comienza por estudiar el temario de matemáticas UNAM área 1, luego que domines el contenido ven y resuelve los ejercicios sin mirar la solución.

A continuación, te dejo un breve resumen con los puntos más importantes del examen de ingreso a la UNAM.

  • Desarrollo: UNAM
  • Área 1: Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías
  • Materia: Matemáticas
  • Reactivos: 120
  • Tipo: Opción múltiple
  • Duración: 3 horas
  • Modalidades: Presencial

El porcentaje de rechazados por área 1 es del 90%. Si estudias con disciplina y tiempo, podrás formar parte del 10% que ingresan a la UNAM.

Estructura del examen

La prueba de ingreso a la Universidad Nacional Autónoma de México tiene una extensión de 120 ejercicios, de los cuales 26 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 1 Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías.

¿Aún no conoces todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 1, donde se indican las asignaturas y la cantidad de reactivos correspondientes a resolver.

Estructura examen área 1.

Temas Reactivos
Español 18
Matemáticas 26
Física 16
Química 10
Biología 10
Historia universal 10
Historia de México 10
Literatura 10
Geografía 10
Total 120
¿Sabías que en área 1, la carrera con el mayor número de aciertos obligatorios es ingeniería aeroespacial con 114?

De las 39 carreras ofertadas por la UNAM para el área 1, nueve de ellas cuentan con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra que dependerán de la facultad a la que desees ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Si estás saliendo del bachillerato, probablemente sea común para ti estudiar matemáticas resolviendo montones de ejercicios y leyendo unos pocos apuntes, pero la realidad de las matemáticas en la universidad está (por mucho) lejos de eso.

Desde ahora, no es relevante la cantidad de ejercicios resueltos en tu cuaderno, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer en tu mente los conceptos y aplicarlos sobre las situaciones planteadas en los enunciados.

El poder de las matemáticas yace en describir con ellas, al mundo que nos rodea.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas manteniendo presente lo anterior.

  • Revisa la bibliografía recomendada en la guía unam área 1 y selecciona 2 o 3 textos de tu agrado. No es necesario que los leas por completo, algunos temas se explican mejor en unos textos que en otros. Asegúrate de tener suficiente contenido de calidad.
  • Lee la teoría y resuelve los ejemplos. Por más simple que parezca una propiedad o un teorema, conocer su origen, demostración y aplicaciones te será de gran utilidad durante el examen. Hay problemas cuya solución rápida se da a través de un teorema.
  • Si un tema parece difícil de comprender, búscalo en otro libro. Los autores suelen enfocarse en determinados temas a la hora de escribir sus textos, por esta razón, suelen desbordar demasiados detalles que, al ser principiantes, pueden confundirnos al estudiar. Te recomiendo tener más de un libro de consulta.
  • Practica con ejercicios… pero de forma inteligente. Resolver un ejercicio intentando cualquier idea que pase por tu mente no es la mejor forma de practicar lo que has aprendido. Analiza el problema, comprende lo que te solicita, identifica las herramientas matemáticas para resolverlo y crea en tu cabeza un plan sistemático para resolverlo. Si no funciona, regresa al inicio y pregúntate ¿qué hice mal? ¿hay un concepto que no apliqué correctamente?

Temario matemáticas área 1

En la siguiente lista tienes el temario de matemáticas para el área 1 de Ciencias Físico Matemáticas UNAM. Puede parecer extenso, pero si organizas tu tiempo podrás cubrir cada uno de los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo click en este enlace.

  1. Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas 
    1. Números reales
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
    2. Números complejos
      1. Suma y resta
      2. Multiplicación 
    3. Expresiones algebraicas
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división 
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
      4. Operaciones con radicales
  2. Productos notables y factorización
    1. Binomio de Newton a+bn, n ∈N
    2. Teorema del residuo y del factor 
    3. Simplificación de fracciones algebraicas 
    4. Operaciones con fracciones algebraicas
  3. Ecuaciones
    1. Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad 
    2. Ecuaciones de primer grado 
    3. Ecuaciones de segundo grado
  4. Desigualdades
    1. Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades
  5. Sistemas de ecuaciones 
    1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
      1. Métodos de solución 
    2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
      1. Métodos de solución (Regla de Cramer)
  6. Funciones algebraicas
    1. Dominio, contradominio y regla de correspondencia 
    2. Rango o imagen 
    3. Gráfica 
    4. Implícitas y explícitas 
    5. Crecientes y decrecientes 
    6. Continuas y discontinuas
    7. Álgebra de funciones
  7. Trigonometría
    1. Trigonometría básica
      1. Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados) 
      2. Razones trigonométricas 
      3. Resolución de triángulos rectángulos 
      4. Ley de los Senos y Ley de los Cosenos 
      5. Resolución de triángulos oblicuángulos
      6. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. Fórmulas de reducción 
    2. Funciones trigonométricas
      1. El círculo trigonométrico 
      2. Funciones trigonométricas directas
        1. Dominio y rango 
        2. Periodo y amplitud 
        3. Desfasamiento 
        4. Asíntotas de la gráfica
  8. Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Dominio y rango 
    2. Gráficas y asíntotas
  9. Recta
    1. Distancia entre dos puntos 
    2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada 
    3. Pendiente de una recta 
    4. Formas de la ecuación de la recta y su gráfica 
    5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 
    6. Distancia de un punto a una recta 
    7. Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)
  10. Circunferencia
    1. Circunferencia como lugar geométrico
    2. Forma ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
    3. Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) en las formas ordinaria y general 
    4. Elementos de una circunferencia
  11. Parábola
    1. Parábola como lugar geométrico 
    2. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    4. Elementos de una parábola
  12. Elipse
    1. Elipse como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una elipse
  13. Hipérbola
    1. Hipérbola como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una hipérbola
  14. Ecuación general de segundo grado
    1. Las cónicas 
    2. Ecuación general de segundo grado 
    3. Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado 
    4. Traslación de ejes
  15. Límites
    1. Concepto intuitivo 
    2. Definición formal 
    3. Teoremas sobre límites 
    4. Obtención de límites
    5. Formas indeterminadas 
    6. Continuidad en un punto y en un intervalo
  16. La derivada
    1. Definición de derivada y sus notaciones 
    2. Obtención de derivadas 
    3. Regla de la cadena 
    4. Derivada de funciones implícitas 
    5. Derivadas sucesivas de una función 
    6. Interpretación geométrica y física 
    7. Ecuaciones de la tangente y de la normal a una curva 
    8. Cálculo de velocidad y aceleración de un móvil 
    9. Máximos y mínimos relativos de una función 
    10. Máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado 
    11. Puntos de inflexión y de concavidad en una curva 
    12. Problemas de la vida cotidiana
  17. La integral
    1. Función integrable en un intervalo cerrado 
    2. Teoremas que justifican las propiedades de la integral de una función 
    3. Integral inmediata 
    4. Tabla de fórmulas de integración 
    5. Métodos de integración 
    6. Integral definida y su notación

Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de los primeros 10 reactivos de matemáticas, para la guía UNAM del área de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías.

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Reactivo 47

Simplifica la expresión \frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{a}^{2}+b} .

  1. \sqrt{{\left({a}^{2}+b\right)}^{6}}
  2. {\left({a}^{2}+b\right)}^{-1/2}
  3. \sqrt{{a}^{2}+b}
  4. a+{b}^{1/2}

Solución:

Para resolver este ejercicio, debemos aplicar correctamente las propiedades de los exponentes. Identificamos que tanto en el numerador como en el denominador está presente el binomio {a}^{2}+b , por lo tanto, debemos aplicar la propiedad de cociente de potencias de igual base.

\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{a}^{2}+b}=\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{\left({a}^{2}+b\right)}^{1}}={\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}-1} 

\therefore {\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{1}{2}} 

Convertimos el exponente racional a radical mediante la propiedad que lleva el mismo nombre.

{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{{a}^{2}+b}

Finalmente:

\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{a}^{2}+b}=\sqrt{{a}^{2}+b}

Concluimos seleccionando como correcta la opción c).

Reactivo 48

Al simplificar la expresión algebraica -3x-\left[-2\left(4x-3\right)-\left(9-x\right)\right] se obtiene:

  1. 6x+3
  2. 4x+3
  3. 10x+3
  4. 6x+12

Solución:

Determinar la simplificación de la expresión algebraica indicada por el enunciado, pasa por identificar términos semejantes y aplicar correctamente las leyes de los signos. Comencemos por resolver el interior de los corchetes.

-3x-\left[-2\left(4x-3\right)-\left(9-x\right)\right]=-3x-\left[-8x+6-9+x\right]

Operamos los términos semejantes dentro de los corchetes.

-3x-\left[-8x+x+6-9\right]=-3x-\left[-7x-3\right]

Deshacemos los corchetes.

-3x-\left[-7x-3\right]=-3x+7x+3=4x+3

Finalmente:

-3x-\left[-2\left(4x-3\right)-\left(9-x\right)\right]=4x+3

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción b).

Reactivo 49

Desarrolla el siguiente binomio.

{\left(x-y\right)}^{2}

  1. {x}^{2}-{y}^{2}
  2. {x}^{2}-xy+{y}^{2}
  3. {x}^{2}-2xy+{y}^{2}
  4. {x}^{2}+2xy+{y}^{2}

Solución:

Para desarrollar correctamente el binomio elevado al cuadrado, debemos separar la potencia en factores.

{\left(x-y\right)}^{2}=\left(x-y\right)\left(x-y\right)

Ahora, multiplicamos cada término del primer factor con cada término del segundo.

\left(x-y\right)\left(x-y\right)=x\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)

Desarrollamos.

x\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)={x}^{2}-xy-yx+{y}^{2}={x}^{2}-xy-xy+{y}^{2}

\therefore {x}^{2}-2xy+{y}^{2}

Finalmente:

{\left(x-y\right)}^{2}={x}^{2}-2xy+{y}^{2}

Indicamos como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 50

Simplifica la siguiente fracción.

\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}
  1. x-5
  2. -x+5
  3. -x+8
  4. x-8

Solución:

Para simplificar la fracción, debemos factorizar el trinomio del numerador. Debido a que se trata de un polinomio de segundo grado, tenemos varias alternativas para calcular sus factores primos, primero extraemos como factor común menos.

\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}=-\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}

Ahora, intentamos buscando dos números que sumados den +3 y que multiplicados sean -40 . Estas dos cantidades son +8 y -5 , por tanto:

-\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}=-\frac{\left(x-5\right)\left(x+8\right)}{x+8}

Simplificamos x+8 .

-\frac{\left(x-5\right)\left(x+8\right)}{x+8}=-\left(x-5\right)=-x+5

Finalmente:

\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}=-x+5

Comparando con las opciones del problema, concluimos que la respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 51

La expresión 2x+3=7 es una:

  1. Inecuación
  2. Desigualdad
  3. Ecuación
  4. Identidad

Solución:

Para responder la pregunta, debemos entender primero qué es una igualdad y que es una identidad; queda claro que no es necesario indagar en inecuación o en desigualdad, porque la conexión entre los miembros es a través de un signo igual.

Sabemos que una identidad es una igualdad que conecta dos objetos matemáticos que parecen diferentes, pero que representan el mismo resultado sin importar los valores de las variables en ella. Es decir, siempre valen igual.

Por otro lado, una ecuación es una igualdad matemática que solo se cumple para determinados valores de la o las variables en juego.

Lo anterior puede comprenderse mejor con un par de ejemplos. La igualdad {\mathrm{sin}}^{2}x+{\mathrm{cos}}^{2}x=1 es una identidad, porque no importa el valor que tome x , el resultado siempre será 1. Esto lo vemos mejor en la siguiente imagen.

5-guía-unam-2022

Ahora, un ejemplo claro de ecuación se presenta cuando tomamos un polinomio de segundo grado (o cualquier otro polinomio de grado n ) y lo igualamos a cero, en dicho caso la igualdad se cumple, como máximo, para 2 valores de x .

16-guía-unam-2022

Teniendo todo esto en cuenta y examinando la igualdad indicada por el enunciado, concluimos entonces que la misma es una ecuación, porque la igualdad solo se cumple para un solo valor de la variable x=2 . Seleccionamos como correcta la opción c).

Reactivo 52

Las soluciones de la ecuación 4{x}^{2}+16x+15=0 son:

  1. {x}_{1}=-\frac{3}{2};{x}_{2}=-\frac{5}{2}
  2. {x}_{1}=3;{x}_{2}=-\frac{5}{2}
  3. {x}_{1}=\frac{3}{2};{x}_{2}=\frac{5}{2}
  4. {x}_{1}=-\frac{3}{4};{x}_{2}=5

Solución:

Para calcular las raíces del polinomio indicado, debemos aplicar la fórmula de segundo grado:

x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

Donde a, b y c son los factores de cada uno de los términos.

a=4;b=16;c=15

Sustituimos en la fórmula de segundo grado:

x=\frac{-16\pm \sqrt{{16}^{2}-4\left(4\right)\left(15\right)}}{2\left(4\right)}

Resolvemos.

x=\frac{-16\pm \sqrt{256-240}}{8}=\frac{-16\pm \sqrt{16}}{8}=\frac{-16\pm 4}{8}

Obtenemos las dos soluciones:

{x}_{1}=\frac{-16+4}{8}=-\frac{3}{2}

{x}_{2}=\frac{-16-4}{8}=-\frac{5}{2}

Finalmente:

{x}_{1}=-\frac{3}{2};{x}_{2}=-\frac{5}{2}

Concluimos el ejercicio indicando como respuesta correcta la opción a).

Reactivo 53

Al resolver -2x+6\ge 16 ¿Cuál es el valor de x ?

  1. x<-5
  2. x\ge 5
  3. x\le -5
  4. x>5

Solución:

Para resolver la inecuación, debemos aplicar las reglas de las desigualdades; las cuales son similares a las leyes de las igualdades, pero con la particularidad de que tenemos que revisar el sentido de la desigualdad si multiplicamos o dividimos por un número negativo. Comencemos por pasar a restar 6 en ambos miembros.

-2x+6-6\ge 16-6\to -2x\ge 10

Ahora, dividimos ambos miembros por -2 , esto forzará un cambio en el sentido de la desigualdad.

-\frac{2x}{-2}\le \frac{10}{-2}\to x\le -5

El conjunto solución de la inecuación es: todas las x que sean menores o iguales que -5 .

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Concluimos indicando que la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 54

A partir del siguiente sistema de ecuaciones obtén el valor de x .

\left\{\begin{array}{c}5x-4y=19\\ 7x+3y=18\end{array}\right.

  1. x=-3
  2. x=-1
  3. x=1
  4. x=3

Solución:

En este caso, podemos aplicar cualquier método de solución para sistemas de ecuaciones lineales. Debido a que nos solicitan solo el valor de x , será más versátil emplear el método por sustitución, en el cuál obtendremos una expresión que solo depende de x .

Despejamos a y de la primera ecuación.

5x-4y=19\to 4y=5x-19

\therefore y=\frac{5x-19}{4}

Sustituimos en la segunda ecuación.

7x+3\left(\frac{5x-19}{4}\right)=18

28x+3\left(5x-19\right)=72

28x+15x-57=72

Despejamos a x .

43x=129\to x=3

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 55

La función de la siguiente gráfica está dada por:

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  1. f\left(x\right)=-\sqrt{8x-16}
  2. f\left(x\right)=+\sqrt{8x-16}
  3. f\left(x\right)=-\sqrt{-8x-16}
  4. f\left(x\right)=+\sqrt{-8x-16}

Solución:

Para encontrar la expresión correcta que describe la curva mostrada en la figura, debemos saber identificar qué curva es la que vemos. Si recordamos las secciones cónicas, la imagen parece mostrar la mitad de una parábola con eje focal sobre el eje x , esto quiere decir que la variable y es quien se encuentra elevada al cuadrado.

{\left(y-{y}_{o}\right)}^{2}=4p\left(x-{x}_{o}\right)

Ahora, las coordenadas del vértice de la elipse deben ser \left({x}_{o}, 0\right) ya que el mismo se encuentra sobre el eje y . La ecuación quedaría:

{y}^{2}=4p\left(x-{x}_{o}\right)

Si despejamos la y nos quedan dos soluciones: una que corresponde a la parte positiva y otra a la parte negativa de la parábola, teniendo como eje de simetría el eje x .

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Con este análisis, descartamos los incisos b y d. Ahora, queda claro que la respuesta correcta no puede ser el inciso c porque la x está negativa, esto puede demostrarse estudiante rápidamente el dominio de dicha función.

f\left(x\right)=-\sqrt{-8x-16}\to -8x-16\ge 0

\therefore x\le -2

Es decir, la curva del inciso c existe para x negativos menores a -2, mientras que la imagen del enunciado deja claro que la función debe existir para x positivos mayores a cierto valor. Esto se cumple en la función del inciso a).

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Concluimos indicando como respuesta correcta la opción a).

Reactivo 56

En términos de \mathrm{sin}x y \mathrm{cos}x , \mathrm{tan}x es igual a:

  1. \frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}
  2. \frac{\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x}
  3. \frac{2\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}
  4. \frac{2\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x}

Solución:

Las identidades trigonométricas fundamentales se deducen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, generalmente uno representado dentro de la circunferencia unitaria.

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La tangente del ángulo viene dada por el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

\mathrm{tan}\alpha =\frac{CO}{CA}

Además, el coseno y el seno de alfa se pueden escribir como:

  \mathrm{sin}\alpha =\frac{CO}{H}; \mathrm{cos}\alpha =\frac{CA}{H}

Despejamos CO y CA.

CO=H\mathrm{sin}\alpha ;CA=H\mathrm{cos}\alpha 

Sustituimos en la identidad de la tangente:

\mathrm{tan}\alpha =\frac{H\mathrm{sin}\alpha }{H\mathrm{cos}\alpha }=\frac{\mathrm{sin}\alpha }{\mathrm{cos}\alpha }

Finalmente:

\mathrm{tan}x=\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}

Concluimos indicando como correcta la opción a).

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