Guía UNAM Matemáticas: Área 1 Ciencias Físico-Matemáticas Parte 2

¡Hola de nuevo aspirante! Vamos con la solución de la segunda parte de los reactivos de matemáticas para el área 1, del 57 al 66, en la guía de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías referente al examen de ingreso a la UNAM.

El siguiente es un resumen de la prueba de ingreso a la UNAM:

Aunque matemáticas sea extensa, es importante que comprendas muy bien el temario porque representa el pilar de todas las carreras de la UNAM que pertenecen al área 1.

Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta

Continuamos resolviendo los siguientes 10 reactivos de matemáticas de la guía de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías de la UNAM.

Reactivo 57

Selecciona la función que tiene un desplazamiento de fase de \pi  unidades a la derecha.

1. f\left(x\right)=\mathrm{sin}\left(\pi x\right)
2. f\left(x\right)=\mathrm{sin}\left(x+\pi \right)
3. f\left(x\right)=\mathrm{sin}\left(x-\pi \right)
4. f\left(x\right)=\pi \mathrm{sin}\left(x\right)

Solución:

Para analizar cualquier desplazamiento de fase en identidades trigonométricas, primero debemos identificar cómo está dispuesta la gráfica de la función antes y después del desplazamiento. Aclarar que los desplazamientos de fase se dan sumando o restando un ángulo, no multiplicándolo por la variable, esto ocasiona un incremento o disminución del período de la onda.

La función seno pura tiene la siguiente gráfica.

Ahora, ¿Qué pasaría si restamos \frac{\pi }{2} ? No vamos a restar \pi  porque no distinguiremos el desplazamiento al sumar y restar, ambos se solaparían debido a la naturaleza cíclica de la función seno.

Como vemos, la gráfica se ha desplazado hacia la derecha. Si ahora sumamos \frac{\pi }{2} , veremos como la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

Con estas sencillas pruebas, queda demostrado que sumar desplaza hacia la izquierda y restar desplaza hacia la derecha. Debido a que el enunciado nos pide desplazar \pi  radianes hacia la derecha, entonces retamos \pi  al argumento del seno.

f\left(x\right)=\mathrm{sin}\left(x-\pi \right)

Concluimos indicando como correcta la opción c).

Reactivo 58

¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical de la función f\left(x\right)=2\mathrm{log}\left(x-3\right) ?

1. x=3
2. y=-3
3. x=-3
4. y=3

Solución:

Las asíntotas verticales de cualquier función, corresponden a los valores de la variable independiente que hacen que la función se indetermina, es decir, que pase a ver más o menos infinito. Cualquier función logarítmica existe siempre y cuando el argumento de la misma sea mayor que cero, por tanto, la asíntota vertical ocurre cuando el argumento es igual a cero.

x-3=0\to x=3

De forma gráfica esto queda:

Concluimos seleccionando al inciso a) como la respuesta correcta al ejercicio.

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Reactivo 59

¿Cuál es la distancia entre los puntos P\left(2, 5\right) y Q\left(4, -1\right) ?

1. 2\sqrt{3}
2. 2\sqrt{5}
3. 2\sqrt{2}
4. 2\sqrt{10}

Solución:

Para calcular la distancia entre dos puntos, sea en el plano o en el espacio, se utiliza la fórmula dada por el Teorema de Pitágoras de la forma:

d\left({P}_{1}, {P}_{2}\right)=\sqrt{{\left({x}_{2}-{x}_{1}\right)}^{2}+{\left({y}_{2}-{y}_{1}\right)}^{2}}

Para el caso de puntos en el plano. En este caso, el punto {P}_{1}=P y el punto {P}_{2}=Q . No importa el orden en el que sustituyen, siempre y cuando las coordenadas corresponden.

d\left(P, Q\right)=\sqrt{{\left(4-2\right)}^{2}+{\left(-1-5\right)}^{2}}

d\left(P, Q\right)=\sqrt{{2}^{2}+{\left(-6\right)}^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}

d\left(P, Q\right)=6.32455532

Concluimos seleccionando como correcta la opción d).

Reactivo 60

Determina los puntos por donde pasa una recta perpendicular a la gráfica siguiente.

1. \left(0, 0\right) y \left(-2, -3\right)
2. \left(0, 0\right) y \left(-2, 1\right)
3. \left(0, 0\right) y \left(1, -3\right)
4. \left(0, 0\right) y \left(1, 3\right)

Solución:

Lo primero que podemos observar en la gráfica, es que representa a una línea recta. Por tanto, podemos obtener la pendiente que deberá tener cualquier recta perpendicular a ella como:

{m}_{\perp }=-\frac{1}{m}

Para obtener la pendiente de la recta representada en la figura utilizamos la siguiente ecuación:

m=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}

Sustituimos.

m=\frac{9+7}{4+4}=2

Calculamos la pendiente de la recta perpendicular.

{m}_{\perp }=-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}

Ahora, rectas perpendiculares con pendiente -\frac{1}{2} hay infinitas, es ciertamente ambiguo por parte del enunciado solicitar dos puntos de la perpendicular, cuando existen infinitos puntos que cumplen con esta condición. Para hacer converger la solución, utilizaremos como primer punto el origen ya que, de todas las posibilidades, esta es la más sencilla.

y-{y}_{o}=m\left(x-{x}_{o}\right)\to y=-\frac{x}{2}

De nuevo llegamos a una ambigüedad, la recta y=-\frac{x}{2} tiene infinitos puntos, por tanto, podríamos dar como respuesta cualquier par de coordenadas que cumpla la ecuación de la recta. Optamos por probar cada uno de los segundos puntos dados por los 4 incisos.

Segundo punto del inciso a.

{P}_{2a}\left(-2, -3\right)\to -3=-\frac{1}{2}\left(-2\right)

-3\ne 1

No cumple.

Segundo punto del inciso b.

{P}_{2b}\left(-2, 1\right)\to 1=-\frac{1}{2}\left(-2\right)

1=1

Cumple la condición.

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción b).

Reactivo 61

La ecuación ordinaria de la mediatriz del siguiente triángulo trazada desde el lado AB es:

1. y=-3x+6
2. y=-3x+7
3. y=-2x+5
4. y=-2x+6

Solución:

De los temas referentes a geometría Euclidiana, sabemos que las mediatrices en un triángulo son rectas que pasan por el punto medio de cada lado del triángulo y son perpendiculares al mismo. Para calcular la mediatriz del segmento AB debemos obtener dos cosas: la pendiente del segmento y el punto medio del segmento.

Pendiente del segmento AB.

m=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}

A partir de la gráfica, asumimos que la cuadrícula mide 1, situando a los puntos en:

A=\left(0, 0\right) y B\left(4, 2\right)

Sustituyendo:

m=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}

De esta manera, la pendiente de la mediatriz debe ser:

{m}_{\perp }=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2

Punto medio del lado AB.

Este se calcula como la semisuma de las coordenadas correspondientes.

{M}_{AB}=\left(\frac{4+0}{2},\frac{2+0}{2}\right)=\left(2, 1\right)

Con estos dos parámetros, sustituimos en la ecuación punto-pendiente de la recta.

y-1=-2\left(x-2\right)\to y=-2x+5

De forma gráfica esto quedaría:

Finalizamos el reactivo seleccionando como respuesta correcta la opción c).

Reactivo 62

¿Cuál de las siguientes circunferencias tiene radio igual a 3?

1. {x}^{2}+{y}^{2}-2x-6y+1=0
2. {x}^{2}+{y}^{2}-6x+9y+1=0
3. {x}^{2}+{y}^{2}-4x+2y+4=0
4. {x}^{2}+{y}^{2}-4x-2y+4=0

Solución:

Para identificar cuál de las circunferencias dadas a partir de sus ecuaciones generales posee radio igual a 3, debemos considerar el desarrollo de la ecuación ordinaria de la circunferencia:

{\left(x-{x}_{o}\right)}^{2}+{\left(y-{y}_{o}\right)}^{2}={r}^{2}

{x}^{2}+{y}^{2}-2xh-2yk+{k}^{2}+{h}^{2}-{r}^{2}=0

Podemos hacer una igualación término a término con cada una de las opciones hasta encontrar una que nos de r=3 .

Inciso A.

{x}^{2}+{y}^{2}-2x-6y+1={x}^{2}+{y}^{2}-2xh-2yk+{k}^{2}+{h}^{2}-{r}^{2}

\begin{array}{c}-2=-2h\\ -6=-2k\\ 1={k}^{2}+{h}^{2}-{r}^{2}\end{array}

Despejamos y sustituimos para hallar a r .

h=1;k=3

{r}^{2}={\left(3\right)}^{2}+{1}^{2}-1

{r}^{2}=9\to r=3

Concluimos entonces que la circunferencia del inciso a tiene el centro en {C}_{a}\left(1, 3\right) con radio igual a r=3 .

Concluimos el ejercicio indicando como correcta la opción a).

¿Sabías que existen carreras con requisitos adicionales?

Reactivo 63

La ecuación de la parábola cuyo eje focal es el eje y , con el parámetro p=-5 y vértice en el origen es:

1. {x}^{2}-20x=0
2. {y}^{2}-20x=0
3. {y}^{2}+20x=0
4. {x}^{2}+20y=0

Solución:

Para encontrar la ecuación de la parábola descrita en el enunciado, primero debemos identificar al eje focal ya que de esto depende cuál de las dos variables va elevada al cuadrado. Ya que es el eje y , la x es quien se debe elevar al cuadrado.

Por otra parte, también nos dice que el vértice es el origen, por tanto:

v\left(0, 0\right)

{\left(x-h\right)}^{2}=4p\left(y-k\right)

Sustituimos:

{x}^{2}=-20y\to {x}^{2}+20y=0

Gráficamente la parábola quedaría como:

La respuesta correcta se encuentra en el inciso d).

Reactivo 64

¿Cuál es el centro de una elipse cuya ecuación es \frac{{\left(x-2\right)}^{2}}{144}+\frac{{\left(y-1\right)}^{2}}{64}=1 ?

1. \left(-2, -1\right)
2. \left(2, 1\right)
3. \left(1, 2\right)
4. \left(-1, -2\right)

Solución:

Para identificar el centro de la elipse dada en su forma ordinaria, debemos recordar cuál es la ecuación sin sustituir ningún parámetro:

\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{b}^{2}}=1

Donde a>b y \left(h, k\right) son las coordenadas del centro. En base a esto, el centro de la elipse dada en el enunciado es:

C\left(2, 1\right)

Comparando con las opciones, concluimos indicando como respuesta correcta el b).

Reactivo 65

De las siguientes ecuaciones, ¿Cuál representa una hipérbola que pasa por el punto A\left(-8, 0\right) y B\left(8, 0\right) ?

1. {x}^{2}-64{y}^{2}-8=0
2. {x}^{2}-8{y}^{2}-62=0
3. {x}^{2}-{y}^{2}-8x-12y-1=0
4. {x}^{2}-64{y}^{2}-64=0

Solución:

En este caso, la alternativa más sencilla y a la vez rápida que tenemos es la de sustituir en cada ecuación ambos puntos y comprobar que se cumpla la igualdad, de ser así, habremos encontrado la hipérbola solicitada, si no, debemos ir con la siguiente.

La otra alternativa sería plantear un sistema de ecuaciones, pero esto complicaría enormemente la solución ya que el SE no sería lineal. Comencemos por la ecuación del primer inciso.

Primer inciso.

Sustituimos el punto A.

{\left(-8\right)}^{2}-64{\left(0\right)}^{2}-8=0\to 64-8\ne 0

Este resultado descarta por completo la primera ecuación.

Segundo inciso.

Esta ecuación tampoco va a cumplir la igualdad con ninguno de los puntos, para hacerlo, el término independiente tendría que ser -64 para dar cero, pero es -62. Saltamos esta ecuación con esta rápida deducción.

Tercer inciso.

Sustituimos el punto A.

{\left(-8\right)}^{2}-{\left(0\right)}^{2}-8\left(-8\right)-12\left(0\right)-1=0\to 64+64-1\ne 0

Descartamos también el tercer inciso.

Cuarto inciso.

Sustituimos el punto A.

 

{\left(-8\right)}^{2}-64{\left(0\right)}^{2}-64=0\to 64-64=0

Esta hipérbola pasa por el punto A. Sustituimos el punto B.

{\left(8\right)}^{2}-64{\left(0\right)}^{2}-64=0\to 64-64=0

De forma gráfica:

Vemos que, curiosamente, corresponden a los vértices de la hipérbola.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 66

A partir de la siguiente ecuación de segundo grado determina el criterio utilizado para representar una elipse.

A{x}^{2}+Bxy+C{y}^{2}+Dx+Ey+F=0

1. {C}^{2}-4AB<0
2. {B}^{2}-4AC>0
3. {C}^{2}-4AB>0
4. {B}^{2}-4AC<0

Solución:

Para encontrar una desigualdad relacionada con la elipse, debemos desarrollar la ecuación ordinaria de la elipse y luego aplicar igualación de términos con la ecuación general de segundo grado. Partimos de la ecuación ordinaria de la elipse:

\frac{{\left(x-h\right)}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{\left(y-k\right)}^{2}}{{b}^{2}}=1

Desarrollamos los productos notables:

\frac{{x}^{2}-2hx+{h}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}-2ky+{k}^{2}}{{b}^{2}}=1

\frac{1}{{a}^{2}}{x}^{2}+\frac{1}{{b}^{2}}{y}^{2}-\frac{2h}{{a}^{2}}x-\frac{2k}{{b}^{2}}y+\frac{{h}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{k}^{2}}{{b}^{2}}-1=0

Igualamos términos con la EGSG:

A=\frac{1}{{a}^{2}};B=0;C=\frac{1}{{b}^{2}};D=-\frac{2h}{{a}^{2}};E=-\frac{2k}{{b}^{2}};F=\frac{{h}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{k}^{2}}{{b}^{2}}-1

Estudiando cada término, podemos asegurar que:

AC>0\to \frac{1}{{a}^{2}{b}^{2}}>0

Esto es porque a y b siempre serán siempre simultáneamente mayores que cero para que la elipse exista. Ahora, para intentar llevar la desigualdad a una expresión similar a alguno de los incisos debemos sumar o restar algo que mantenga invariante la desigualdad. Ya que B es siempre igual a cero, podemos restar \frac{{B}^{2}}{4} al primer miembro y el mismo seguirá siendo mayor que cero.

AC-\frac{{B}^{2}}{4}>0

 Multiplicamos por -1.

\frac{{B}^{2}}{4}-AC<0

{B}^{2}-4AC<0

Esta desigualdad es cierta ya que B=0 y AC es siempre mayor que cero, por tanto, al multiplicarlo por -4 será siempre menor que cero.

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).