Guía UNAM Matemáticas: Área 1 Ciencias Físico-Matemáticas Parte 3

¡Llegamos a la última parte aspirante! Continuamos con la solución de la tercera y última parte de los reactivos de matemáticas área 1, en este caso del 67 al 72, en la guía de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías como preparación al examen de ingreso UNAM.

GUIA-UNAM-MATEMATICAS-AREA-1-3

Te dejo un resumen de la prueba de ingreso a la UNAM:

  • Desarrollo: UNAM
  • Área 1: Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías
  • Materia: Matemáticas
  • Reactivos: 120
  • Tipo: Opción múltiple
  • Duración: 3 horas
  • Modalidades: Presencial

¡Felicidades por llegar hasta aquí aspirante! Matemáticas parece una asignatura de fórmulas y despejes, pero en ella se encuentran los modelos para comprender el mundo que nos rodea.

Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta

Vamos con los últimos 6 ejercicios de matemáticas de la guía Área 1 de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías de la UNAM. Recuerda tomar descansos entre ejercicios, esto también forma parte del proceso de aprendizaje.

Esta guía no posee reactivos de todos los temas que van para el examen.
Continúa aprendiendo con el resto de guías resueltas de la UNAM y clases que hemos diseñado para ti.

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Reactivo 67

La función f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}} es continua en el intervalo:

  1. \left[0, \infty \right)
  2. \left[0, 4\right)
  3. \left(-\infty , 4\right)
  4. \left[0, 4\right]

Solución:

Para estudiar los intervalos de continuidad de una función, primero debemos obtener su dominio. Ya que es una función radical, debe cumplirse que el radicando sea mayor o igual a cero.

\frac{x}{4-x}\ge 0

Puesto que es una función racional, esta es positiva cuando:

\begin{array}{c}x\ge 0 y 4-x>0\\ x\le 0 y 4-x<0\end{array}

Primer conjunto.

Obtenemos los intervalos que corresponden al dominio de f .

x\ge 0

 4-x>0\to x<4

Interceptando ambos conjuntos:

9-guía-unam-2022

x\in \left[0, 4\right)

Segundo conjunto.

Obtenemos los intervalos que corresponden al dominio de f .

x\le 0

 4-x<0\to x>4

Interceptando ambos conjuntos:

15-guía-unam-2022

Este conjunto es vacío, por tanto, concluimos que el dominio de la función es:

\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}\left\{f\left(x\right)\right\}=x\in \left[0, 4\right)

Concluimos que la función f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}} es continua en el intervalo abierto por la derecha \left[0, 4\right) .

13-guía-unam-2022

Indicamos como respuesta correcta la opción b).

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Reactivo 68

La derivada de y={\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4} es

  1. {y}^{\text{'}}=12{x}^{2}
  2. {y}^{\text{'}}=6{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}
  3. {y}^{\text{'}}=8{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{2}
  4. {y}^{\text{'}}=24{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}

Solución:

Para encontrar la derivada de la función debemos aplicar la regla de la cadena. En este caso, tenemos a una función elevada a la 4, por tanto, comenzamos por aplicar la fórmula de la derivada de una potencia:

{y}^{\text{'}}={\left[{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4}\right]}^{\text{'}}=4{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{4-1}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{\text{'}}

{y}^{\text{'}}=4{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}\left(6{x}^{2}\right)

Finalmente:

{y}^{\text{'}}=24{x}^{2}{\left(2{x}^{3}+5\right)}^{3}

Concluimos el ejercicio seleccionando como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 69

La pendiente de la recta tangente a la curva f\left(x\right)={e}^{3x} en el punto P\left(0, 1\right) es igual a

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3

Solución:

Comencemos por calcular la derivada de la función:

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left({e}^{3x}\right)}^{\text{'}}=3{e}^{3x}

Ahora, sustituimos la coordenada x del punto dado por el enunciado:

{f}^{\text{'}}\left(x=0\right)=3{e}^{3\left(0\right)}=3

Finalmente, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P\left(0, 1\right) es igual a 3.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 70

La expresión f\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(2t+3\right) es una función de posición de movimiento armónico, la expresión para la aceleración es:

  1. a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t-3\right)
  2. a\left(t\right)=\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
  3. a\left(t\right)=-\mathrm{cos}\left(2t+3\right)
  4. a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t+3\right)

Solución:

A partir de los temas relacionados con la mecánica clásica, sabemos que la aceleración es igual a la segunda derivada de la función posición respecto del tiempo. Por tanto, la segunda derivada de la función es:

\frac{{d}^{2}\left(\mathrm{cos}\left(2t+3\right)\right)}{d{t}^{2}}={\left(-2\mathrm{sin}\left(2t+3\right)\right)}^{\text{'}}

Derivamos una segunda vez.

a\left(t\right)=-4\mathrm{cos}\left(2t+3\right)

Comparando con los incisos, seleccionamos como correcto al d).

Reactivo 71

La integral \int \left(2\mathrm{sin}x+3\mathrm{cos}x\right)dx es

  1. 2\mathrm{sin}x+\mathrm{cos}x+C
  2. \mathrm{cos}x+\mathrm{sin}x+C
  3. 2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C
  4. -2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C

Solución:

Comenzamos por aplicar la propiedad de la integral de la suma y luego la integral de una función por una constante:

\int \left(2\mathrm{sin}x+3\mathrm{cos}x\right)dx=\int 2\mathrm{sin}xdx+\int 3\mathrm{cos}xdx

\int 2\mathrm{sin}xdx+\int 3\mathrm{cos}xdx=2\int \mathrm{sin}xdx+3\int \mathrm{cos}xdx

Ambas integrales son directas, por tanto:

2\int \mathrm{sin}xdx+3\int \mathrm{cos}xdx=-2\mathrm{cos}x+3\mathrm{sin}x+C

Comparando con las opciones, concluimos escogiendo como correcta la opción d).

Reactivo 72

Si {\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\frac{5}{2} y {\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3} entonces, el área bajo la curva i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx es igual a

  1. -\frac{7}{6}
  2. -\frac{6}{7}
  3. \frac{6}{7}
  4. \frac{7}{6}

Solución:

Para calcular el área entre las curvas, solo debemos intercambiar los límites de integración de la segunda integral definida, para poder sustituir su valor en la ecuación integral i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx . Por la propiedad de inversión de los límites de integración, sabemos que:

{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\frac{4}{3}\to {\int }_{a}^{b}g\left(x\right)dx=-\frac{4}{3}

Finalmente:

i=\left[{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)\right]dx={\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_{b}^{a}g\left(x\right)dx=\left[\frac{5}{2}+\left(-\frac{4}{3}\right)\right]

i=\frac{5}{2}-\frac{4}{3}=\frac{7}{6}

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).

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