Guía IPN Probabilidad y Estadística del 1 al 10 resueltos

Queremos ayudarte a prepararte para el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional, ya que tu puntuación en dicha prueba determinará si eres admitido o no en la carrera de tus sueños. Por esta razón hemos preparado una guía con los ejercicios resueltos del área de matemáticas del IPN, donde, en esta oportunidad, nos enfocamos en resolver cada uno de los 50 ejercicios planteados para Probabilidad y Estadística.

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El Instituto Politécnico Nacional ofrece un total de 160 minutos para resolver las 130 preguntas del examen de admisión, así que no sólo debes prepararte, sino también, ser ágil.

Ten en cuenta que para esta guía, iremos presentando los ejercicios en secciones de 10, por lo que en esta oportunidad, estás frente a la primera parte de nuestro post. Además, te recordamos que el examen de admisión comprende un total de 130 preguntas de diversas áreas, así que prepárate bien para cada una de ellas si deseas tener éxito.

¿Qué viene en el examen del IPN?

En el área de matemáticas, el examen de admisión comprende el abordaje de diferentes campos como estadística, trigonometría, geometría, cálculo y otras más. No obstante, así como te encontrarás con preguntas orientadas a este campo, esta prueba también evalúa tus conocimientos en otras áreas. Así, el examen consta de una primera parte con preguntas de matemáticas y comunicación. Seguido de una segunda parte orientada a evaluar tus conocimientos en Biología, Física y Química.

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En vista de esto, vamos a dejarte con un esquema más detallado de la cantidad de preguntas que encontrarás para cada área de este examen:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Ahora, decidimos dar paso a nuestra guía resuelta de ejercicios de Probabilidad y Estadística del IPN:

Reactivo 1: Definiciones básicas sobre Conjuntos

Por definición, ______________ se forma por todos los elementos dentro de un conjunto universo U que no son elementos del conjunto A .

  1. El complemento
  2. La intersección
  3. La diferencia
  4. La unión

Solución:

Según la Teoría de Conjuntos, el complemento de un conjunto A es el conjunto A^{c} que contiene a todos los elementos que no pertenecen a A , respecto de un conjunto universo. Esto podemos representarlo mediante un diagrama de Venn.

En base a la definición anterior y apoyados en el diagrama, la respuesta correcta es la opción a). La frase completa sería:

Por definición, el complemento se forma por todos los elementos dentro de un conjunto universo U que no son elementos del conjunto A .

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Reactivo 2: Operaciones entre Conjuntos

El enunciado “ x pertenece al conjunto Q pero no al conjunto P ” es una forma de representar la:

  1. Complementación
  2. Intersección
  3. Diferencia
  4. Unión

Solución:

Al igual que con los números podemos realizar las típicas operaciones de suma, resta, multiplicación y división, entre conjunto también se establecen ciertas operaciones. En el enunciado del problema, se está indicando que un elemento x pertenece a Q pero no a P .

Dicha comparación, establece una diferencia entre ambos conjuntos donde x es un elemento que posee el conjunto Q pero no el conjunto P . En base a este sencillo análisis, concluimos que la respuesta correcta es la opción c).

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Reactivo 3: Propiedades y Operaciones entre conjuntos

Siendo A, B, C conjuntos no vacíos, relacionar las siguientes expresiones con su respectiva propiedad.

  1. 1B, 2E, 3C, 4A
  2. 1B, 2C, 3E, 4A
  3. 1E, 2D, 3A, 4C
  4. 1E, 2D, 3B, 4C

Solución:

Para encontrar la respuesta correcta, analizaremos cada una de las expresiones en la columna izquierda para luego relacionarlas con una de las propiedades en la columna derecha.

  1. A \cap B=B \cap A

Esta primera expresión indica que la intersección de A con B  es igual a la intersección de B  con A . Es decir, no importa el orden de los operandos, la intersección entre dos conjuntos es siempre el mismo resultado.

Eso último no es más que la propiedad conmutativa respecto a la operación intersección, por tanto: 1B.

  1. A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)

La igualdad establece que: la unión de A con la intersección de B    con C es igual a la intersección de las uniones de A con B y A con C .

La descripción anterior concuerda con la propiedad distributiva respecto a la intersección y unión de conjuntos, por tanto: 2C.

  1. A \cup A^{C}=U

La definición del complemento de un conjunto dice que es el conjunto con todos los elementos que no pertenecen a A respecto de un conjunto universo U . Es decir, si unimos a A con su complemento, obtenemos al conjunto universo, por tanto: 3E.

  1. (A \cup B)^{C}=A^{c} \cap B^{c}

Esta última expresión es especial ya que es una de las Leyes de D Morgan. Ambas reglas permiten transformar expresiones escritas en disyunción a conjunción y viceversa, aplicando la negación o el complemento sobre ellas. En base a esto, concluimos que: 4A.

Uniendo la respuesta dada para cada inciso tenemos que:

1B, 2C, 3E, 4A

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 4: Representación de Conjuntos

Expresar el conjunto P=\{2,3,4,5,6,9,16,25,36\} en términos de R=\{4,9,16,25,36\} \text { y } S=\{2,3,4,5,6\} .

  1. R-S
  2. S^{C} \cup R
  3. R \cup \mathrm{S}
  4. S \cap R

Solución:

Para resolver este problema, solo debemos identificar la operación entre los conjuntos R \text { y } S que dé como resultado al conjunto P . Lo primero que podemos ver, es que tanto R como S son subconjuntos de P , es decir:

R \subset P \text { y } S \subset P

Si realizamos la unión entre ambos conjuntos obtenemos:

R \cup S=\{4,9,16,25,36\} \cup\{2,3,4,5,6\}=\{2,3,4,5,6,9,16,25,36\}

Resultado que es igual al conjunto P . Concluimos entonces que:

R \cup S=P

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta sería la c).

Reactivo 5: Operaciones entre Conjuntos

Determinar (A \cap B \cap C) \text { si } A=\{1,2,3,4\}, B=\{2,4,6,8\} \text { y } C=\{1,3,5,7\}

  1. \{1\}
  2. \{2\}
  3. \{\emptyset\}
  4. \{1,2\}

Solución:

La operación que solicita el problema, es la de interceptar a los tres conjuntos A, B, C . Es decir, debemos determinar los elementos que son comunes en los tres conjuntos. Para ello, nos apoyaremos en la propiedad asociativa respecto de la intersección.

Primero calcularemos la intersección entre B \text { у } C y ese resultado lo interceptaremos con A .

A \cap B \cap C=A \cap(B \cap C)

Calculamos la intersección entre B \text { у } C :

B \cap C=\{2,4,6,8\} \cap\{1,3,5,7\}

Como no existen elementos comunes entre B \text { у } C , su intersección es el conjunto vacío.

B \cap C=\{2,4,6,8\} \cap\{1,3,5,7\}=\{\emptyset\}

En consecuencia, la intersección de A con el conjunto vacío es también el conjunto vacío.

A \cap(B \cap C)=\{1,2,3,4\} \cap\{\emptyset\}=\{\emptyset\}

Concluimos entonces que A \cap B \cap C es igual al conjunto vacío \{\emptyset\} . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 6: Operaciones entre Conjuntos

Dados los siguientes conjuntos A=\{1,2,4,5\}, B=\{2,4,6,7\}, U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} encontrar el evento \left(\mathrm{A}^{C} \cap \mathrm{B}^{C}\right) .

  1. \{3,4\}
  2. \{5,6\}
  3. \{3,6\}
  4. \{3,8\}

Solución:

En este caso, el ejercicio nos provee tres conjuntos donde uno de ellos es el conjunto universo al que pertenecen los otros dos.

La operación que se nos pide calcular es la intersección de los complementos de ambos conjuntos. Por lo que, determinamos sus complementos y luego intersectamos dichos resultados. El complemento de un conjunto es igual a su diferencia con el conjunto universal.

A^{c}=U-A

Complemento del conjunto A .

A^{c}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}-\{1,2,4,5\}=\{3,6,7,8\}

Complemento del conjunto B .

B^{c}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}-\{2,4,6,7\}=\{1,3,5,8\}

Ahora, solo nos queda intersectar ambos resultados.

A^{C} \cap B^{C}=\{3,6,7,8\} \cap\{1,3,5,8\}=\{3,8\}

La intersección de los complementos de A \text { y } B \text { es }\{3,8\} . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 7: Lenguaje de Conjuntos y Diagramas de Venn

Escribir mediante lenguaje de conjuntos la expresión que describe la región sombreada del siguiente diagrama de Venn:

  1. [(A \cap B) \cup(B \cap C)]-(A \cap C)
  2. [(A \cap C) \cup(B \cap C)]-(A \cap B)
  3. [(A \cap B) \cap(B \cap C)]-(A \cap B)
  4. [(A \cap C) \cap(B \cap C)]-(A \cap C)

Solución:

Aunque parezca complejo, lo primero que debemos hacer es identificar a qué uniones o intersecciones corresponde cada sección sombreada, unirlas y por último restar las regiones que no deberían estar sombreadas.

Haciendo una inspección rápida, nos daremos cuenta que la intersección entre el conjunto B y el conjunto C corresponde a la sección sombreada inferior; y la intersección entre A \text { у } C corresponde a la sección sombreada a la derecha.

B \cap C

A \cap C

Si unimos ambas intersecciones, obtenemos a la región sombreada sin eliminar las zonas no correspondientes.

(A \cap C) \cup(B \cap C)

La zona que no debería estar sombreada, podemos extraerla de la intersección entre el conjunto B y el conjunto A , para luego restarla al conjunto deducido anteriormente.

A \cap B

Recordemos lo que enuncia la diferencia de conjuntos:

La diferencia de dos conjuntos A \text { y } B es el conjunto de elementos que pertenecen a A , pero no a A .

Es decir, al restar A \cap B del conjunto solución anterior obtendremos la región sombreada que solicita el problema. Por tanto:

[(A \cap C) \cup(B \cap C)]-(A \cap B)

Es el diagrama de Venn escrito en lenguaje de conjuntos. Comparando con las opciones que ofrece el enunciado, escogemos a b) como la respuesta correcta.

Reactivo 8: Diagramas de Venn

De acuerdo al siguiente diagrama de Venn. Determinar la siguiente operación de conjuntos: (A \cup B \cup C)^{C}

  1. \{4\}
  2. \{4\}
  3. \{12\}
  4. \{1,3,5\}

Solución:

Para resolver este problema, existen diferentes vías. Podríamos aplicar una de las Leyes de De Morgan para convertir la expresión en términos de uniones a intersecciones, analizar cada conjunto por separado o extraer información general a partir del diagrama de Venn.

Por ser el camino más rápido, optamos por analizar de forma general el diagrama de Venn. La expresión dentro de los paréntesis (sin tomar en cuenta al complemento) es la unión de los tres conjuntos.

A \cup B \cup C=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

Además, estos conjuntos se encuentran dentro de un conjunto Universo cuyos elementos son:

U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12\}

Entonces, podemos determinar el complemento de la unión de A, B, C como:

(A \cup B \cup C)^{C}=U-(A \cup B \cup C)

=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12\}-\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}=\{12\}

Comparando este resultado con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 9: Operaciones y Diagramas de Venn

Relacionar el diagrama de Venn con la expresión de conjuntos que le corresponda.

  1. 1C, 2A, 3B, 4D
  2. 1A, 2C, 2B, 4D
  3. 1A, 2D, 3C, 4B
  4. 1C, 2D, 3B, 4A

Solución:

Para dar con la solución a este problema, analizaremos cada uno de los diagramas en la columna izquierda y relacionarlo con una de las expresiones en la columna derecha.

Diagrama 1.

En este primer diagrama se ven dos conjuntos, A \text { у } B que se encuentran sombreados, es decir, a todos los elementos dentro de A y dentro de B , dicha representación corresponde a la Unión de conjuntos, por tanto:

A \cup B

Concluimos que 1C.

Diagrama 2.

En el segundo diagrama, se encuentran sombreados todos los elementos que no pertenecen ni a A ni a B . Es decir, unidos los elementos de ambos conjuntos nos quedamos con los que se encuentran fuera de esa unión. Esto se representa como:

(A \cup B)^{C}

Concluimos que 2D.

Diagrama 3.

Acá, B es subconjunto de A es decir, se encuentra dentro de él. Esto podemos representarlo mediante la intersección entre A \text { у } B , ya que todos los elementos de B pertenecen a A la intersección tienen como resultado a B . Por tanto:

A \cap B

Concluimos que 3B.

Diagrama 4.

Este último diagrama simboliza a todos los elementos que no son comunes entre A \text { у } B , se conoce como diferencia simétrica y se simboliza como:

A \Delta B

Concluimos que 4A.

Uniendo todas las soluciones obtenemos:

1C, 2D, 3B, 4A

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 10: Problemas con Conjuntos

En una fiesta hay 3 sabores de pastel: chocolate (C), fresa (F) e imposible (I). Representar con un diagrama de Venn el evento: prefieren comer chocolate o de fresa, pero no el imposible.

Solución:

Para dar con el diagrama de Venn que representa al enunciado, es necesario analizar cada una de las relaciones que se establecen en él.

La parte del enunciado que dice: prefieren comer chocolate o de fresa… establece una disyunción entre el pastel de chocolate y el de fresa, en teoría de conjuntos esto lo entendemos como la unión entre el conjunto C y el conjunto F.

C \cup F

Al incluir el conjunto I en el problema con la otra parte de la frase: pero no el imposible, el diagrama de Venn se modifica, quedando:

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta sería la a).

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