Guía IPN Geometría Analítica del 1 al 10 resueltos

Si has llegado hasta acá como resultado de tu interés por prepararte para el examen de admisión del IPN, ¡Perfecto! ya que hemos preparado una serie de guías resueltas para que puedas tener una buena base y afrontar la convocatoria del Poli con éxito. En esta oportunidad, nos enfocaremos en estudiar Geometría analítica.

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En esta guía resolveremos los 50 ejercicios del área de matemáticas que viene en la guía del IPN, enfocándonos en Geometría analítica.

Ten en cuenta que para hacer más fácil tus sesiones de estudio, separamos esta guía resuelta en una serie de 5 post. Así que acá estarás frente a los ejercicios del 1 al 10 de Geometría analítica. Ten en cuenta que para este examen tendrás un total de 160 minutos para dar tus respuestas, así que empieza tu preparación desde ya.

¿Qué viene en el examen del IPN?

El examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional se compone de 130 preguntas separadas en cinco áreas de conocimiento diferentes. Además, dicha prueba se separa en dos partes, la primera comprende preguntas de comunicación y matemáticas, mientras que la segunda aborda el estudio de ciencias como Física, Química y Biología.

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Para que te hagas una idea más clara, a continuación enlistamos la cantidad de preguntas de cada área:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Dicho esto, damos paso a resolver la primera parte de nuestra guía de ejercicios de Geometría Analítica del IPN:

Reactivo 1: Cuadrantes en el Plano Real

Identificar los dos cuadrantes donde se encuentra la recta y=-6

  1. Tercer y cuarto cuadrante
  2. Cuarto y primer cuadrante
  3. Segundo y tercer cuadrante
  4. Primero y segundo cuadrante

Solución:

Recordemos la distribución de los cuadrantes en el plano real.

  • Primer cuadrante I: x \text { y } y son positivos
  • Segundo cuadrante II: x negativo y y positivo
  • Tercer cuadrante III: x negativo y y negativo
  • Cuarto cuadrante IV: x positivo y y negativo

Ahora, la recta dada por el problema tiene pendiente cero, es decir, es una recta totalmente horizontal que corta al eje de las abscisas en -6. Es una recta que para cualquier valor de x es -6. Por tanto, se encuentra en el tercer y cuarto cuadrante, regiones en las que y es siempre negativa.

Concluimos entonces que la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 2: Distancia entre una recta y un punto

Calcular la mínima distancia de la recta que pasa por los puntos (2 / 7,3) \text{ y } (-2,11) al punto (-3,-5) .

  1. \frac{5}{\sqrt{31}}
  2. \frac{30}{\sqrt{51}}
  3. \frac{25}{\sqrt{31}}
  4. \frac{39}{\sqrt{53}}

Solución:

La distancia más corta entre un punto y una recta es la que se mide perpendicular entre ambos.

Para dar respuesta a este ejercicio, podríamos seguir diferentes caminos. Desde determinar la recta que pasa por el punto, intersectar con la otra recta y calcular la distancia, hasta emplear álgebra vectorial. El camino más corto es la ecuación de distancia entre un punto y una recta:

d(A, l)=\frac{\left|m \cdot x_{c}-y_{c}+b\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}

Con l=\{(x, y) \mid y=m \cdot x+b\} \text { у } C=\left(x_{c}, y_{c}\right)

Donde:

  • y=m \cdot x+b es la ecuación de la recta que pasa por (2 / 7,3) \text{ y }(-2,11) evaluada en (-3,-5)
  • m \text{ y } b son la pendiente y el corte con y respectivamente de la recta

Primero, hallamos la ecuación de la recta en forma general que pasa por (2 / 7,3) \text{ y } (-2,11) y luego sustituimos.

Ecuación de la recta entre (2 / 7,3) \text{ y } (-2,11) .

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{11-3}{-2-\frac{2}{7}}=-\frac{7}{2}

b=y_{1}-m x_{1}=3-\left(-\frac{7}{2}\right)\left(\frac{2}{7}\right)=4

Sustituimos en la ecuación de distancia:

d(A, l)=\frac{\left|m \cdot x_{c}-y_{c}+b\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{\left|\left(-\frac{7}{2}\right) \cdot(-3)-(-5)+4\right|}{\sqrt{\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}+1}}=\frac{\frac{39}{2}}{\frac{\sqrt{53}}{2}}=\frac{39}{\sqrt{53}}=5.35706199 \ldots

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 3: Ecuación general de la recta

Calcular la ecuación de la recta en su forma general si se sabe que pasa por los puntos A(2,-3) \text { y } B(8,-10) .

  1. 7 x+y-2=0
  2. 7 x-6 y+4=0
  3. 7 x+6 y+4=0
  4. 7 x-6 y-4=0

Solución:

La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma:

A x+B y+C=0

Cuyos coeficientes A, B, C se determinan como se indica a continuación:

A=-m, B=1, C=-\left(y_{1}-m x_{1}\right)

Donde m es la pendiente de la recta.

Identificamos como P_{1}(2,-3) \text { у } P_{2}(8,-10) Procedemos a calcular a m :

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{-10+3}{8-2}=-\frac{7}{6}

Entonces:

\begin{array}{c} A=\frac{7}{6} \\ B=1 \\ C=-\left[-3-\left(-\frac{7}{6}\right)(2)\right]=\frac{2}{3} \end{array}

Sustituimos finalmente en la ecuación general.

\frac{7}{6} x+y+\frac{2}{3}=0

Multiplicamos ambos lados por 4 para simplificar las fracciones.

7 x+6 y+4=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 4: Segmentos dividido una razón

Calcular las coordenadas del punto P\left(x_{0}, y_{0}\right) que divide al segmento con extremos A(3,5) \text { y } B(8,6) en la razón de \frac{2}{3} de manera que P esté más próximo a A .

  1. \left(4, \frac{27}{5}\right)
  2. \left(5, \frac{27}{5}\right)
  3. \left(6, \frac{28}{5}\right)
  4. \left(7, \frac{27}{5}\right)

Solución:

En Geometría Analítica, cuando un segmento de extremos A \text { у } B es dividido por un punto P , se denomina razón r al cociente de los dos segmentos formados A P \text { y } P B .

Es decir:

r=\frac{A P}{P B}

Si se reemplazan los segmentos por las ecuaciones para calcular distancia entre los puntos y se realizan los despejes adecuados, obtenemos un par de expresiones para determinar las coordenadas \left(x_{o}, y_{o}\right) del punto P .

x_{o}=\frac{x_{a}+r x_{b}}{1+r}

y_{o}=\frac{y_{a}+r y_{b}}{1+r}

Donde \left(x_{a}, y_{a}\right) son las coordenadas del extremo más próximo al punto P,\left(x_{b}, y_{b}\right) son las coordenadas del extremo más lejano a P \text { y } r es la razón dada. Según el ejercicio:

Punto más cercano a P: A(3,5)

Punto más lejano a P: B(8,6)

Razón dada: r=\frac{2}{3}

Sustituimos y calculamos las coordenadas de P :

x_{o}=\frac{x_{a}+r x_{b}}{1+r}=\frac{3+\frac{2}{3}(8)}{1+\frac{2}{3}}=5

y_{o}=\frac{y_{a}+r y_{b}}{1+r}=\frac{5+\frac{2}{3}(6)}{1+\frac{2}{3}}=\frac{27}{5}

P\left(5, \frac{27}{5}\right)=(5,5.4)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

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Reactivo 5: Distancia entre dos puntos

Determina la ordenada del punto A(4, y) , que permite que la distancia del punto A al punto B(1,3) sea de 5 unidades.

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 10

Solución:

Para encontrar la ordenada del punto A , aplicamos la ecuación de distancia entre los puntos A \text { у } B . Luego, la igualamos a la distancia indicada por el enunciado, es decir 5 y despejamos el valor solicitado.

d(A, B)=5=\sqrt{(1-4)^{2}+(3-y)^{2}}

Procedemos a despejar a y :

25=9+9-6 y+y^{2}

y^{2}-6 y-7=0

Aplicamos la fórmula de segundo grado para obtener la solución.

y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}

y_{1,2}=\frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^{2}-4(1)(-7)}}{2(1)}=\frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}

Esto nos arroja dos posibles soluciones para la ordenada del punto A :

y_{1}=\frac{6+8}{2}=7

y_{2}=\frac{6-8}{2}=-1

La interpretación para este doble resultado es que, por reflexión geométrica existen dos puntos paralelos que distan igual respecto al punto B .

A_{1}(4,7) \text { y } A_{2}(4,-1)

Comparando nuestros resultados con las opciones que ofrece el problema, seleccionamos como respuesta correcta la c).

Reactivo 6: Área de un triángulo

Calcular el área de un triángulo rectángulo formado por los puntos A(-10,3), B(-10,-2) \text { y } C(2,-2) .

  1. 65
  2. 60
  3. 32.5
  4. 30

Solución:

A partir de las deducciones hechas por la geometría analítica, sobre la ecuación clásica para el cálculo del área de un triángulo rectángulo, tenemos que:

A=\frac{h b}{2}=\frac{\left|\left(y_{1}-y_{3}\right) x_{2}-\left(x_{1}-x_{3}\right) y_{2}+x_{1} y_{3}-x_{3} y_{1}\right|}{2}

Dados tres puntos A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) como los vértices del triángulo rectángulo. Sustituimos en la ecuación las coordenadas de los puntos A(-10,3), B(-10,-2) \text { y } C(2,-2) .

A=\frac{\left|\left(y_{1}-y_{3}\right) x_{2}-\left(x_{1}-x_{3}\right) y_{2}+x_{1} y_{3}-x_{3} y_{1}\right|}{2}

=\frac{|(3+2)(-10)-(-10-2)(-2)+(-10)(-2)-(2)(3)|}{2}=\frac{|-60|}{2}=30

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 7: Perímetro y lugar geométrico

Se tiene un triángulo en el plano cartesiano de perímetro igual a 42 unidades, con dos de sus vértices en los puntos (-10,0) \text { y }(8,0) . Encontrar la ecuación del lugar geométrico que describe los posibles puntos para el tercer vértice.

  1. 7 x^{2}+14 x+16 y^{2}+105=0
  2. 7 x^{2}+14 x+16 y^{2}-1001=0
  3. 14 x^{2}+7 x+16 y^{2}-105=0
  4. 14 x^{2}+7 x+16 y^{2}+105=0

Solución:

La solución de este problema es netamente algebraica, identificamos los lados del triángulo que sumados dan 42 y los expresaremos en términos de la ecuación de distancia entre 2 puntos.

Las distancias A P, B P, A B deben sumar 42 unidades. Sepamos de antemano que A B=18 .

A P+B P+18=42 \rightarrow A P+B P=24

Sustituimos en A P \text{ y } B P la ecuación de distancia entre dos puntos.

A P=\sqrt{(x+10)^{2}+y^{2}}

B P=\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}

Por tanto:

\sqrt{(x+10)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}=24

Pasamos al otro lado uno de los radicales y elevamos al cuadrado en ambos lados.

\sqrt{(x+10)^{2}+y^{2}}=24-\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}

(x+10)^{2}+y^{2}=\left[24-\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}\right]^{2}

Desarrollamos el producto notable.

(x+10)^{2}+y^{2}=24^{2}-48 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}+(x-8)^{2}+y^{2}

Simplificamos.

(x+10)^{2}-(x-8)^{2}=576-48 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}

x^{2}+20 x+100-x^{2}+16 x-64=576-48 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}

36 x+36=576-48 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}

3 x+3=48-4 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}

Elevamos nuevamente al cuadrado y desarrollamos.

16(x-8)^{2}+16 y^{2}=(45-3 x)^{2}

16\left(x^{2}-16 x+64\right)+16 y^{2}=2025-270 x+9 x^{2}

Simplificamos para obtener la siguiente expresión.

7 x^{2}+14 x+16 y^{2}-1001=0

Esta expresión es la de una elipse. Para comprobar que nuestro cálculo es correcto, los focos de la elipse deben ser (-10,0) \text { y }(8,0) . Completamos cuadrados:

7 x^{2}+14 x+7-7+16 y^{2}-1001=0

7(x+1)^{2}+16 y^{2}-1008=0

El centro de la elipse es (-1,0) . Los focos son:

(-1+c, 0),(-1-c, 0)

El parámetro c se calcula como:

c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}

a \mathrm{y} b se extraen de llevar al término independiente a 1.

\frac{(x+1)^{2}}{12^{2}}+\frac{y^{2}}{(3 \sqrt{7})^{2}}=1

c=\sqrt{12^{2}-(3 \sqrt{7})^{2}}=9

Por lo tanto:

(-1+9,0),(-1-9,0) \rightarrow(8,0),(-10,0)

Queda de esta manera comprobada nuestra respuesta.

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 8: Puntos colineales

Especificar un tercer punto que sea colineal a A(-3,-2) \text { у } B(5,2) .

  1. C(9,2)
  2. C(9,3)
  3. C(9,4)
  4. C(9,5)

Solución:

Aunque el requerimiento del ejercicio es ambiguo, dos o más puntos son colineales si pertenecen a la misma recta. No es posible encontrar (solo con la información dada) un punto que sea colineal a A \text { у } B , porque hay infinitos puntos que pertenecen a la recta que los contiene.

En su lugar, construiremos la ecuación de la recta que pasa por A \text { у } B , como todas las opciones tienen como ordenada 9, sustituiremos en la recta este valor y compararemos el resultado con las abscisas de los puntos dados.

Ecuación de la recta para A \text { у } B .

y-y_{o}=m\left(x-x_{o}\right)

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{2-(-2)}{5-(-3)}=\frac{1}{2}

Escogemos como P_{o} \text { a } A .

y+2=\frac{1}{2}(x+3)

y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{2}

Sustituimos a x=9

y=\frac{1}{2}(9)-\frac{1}{2}=4

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 9: Posiciones entre rectas

Determinar la ecuación de la recta que es perpendicular a x+y+2=0 y que pasa por (1,0) .

  1. x+y-1=0
  2. x-y+1=0
  3. x-y-1=0
  4. x+y+1=0

Solución:

De los temas a fines sobre posiciones relativas entre rectas, sabemos que dos de ellas son perpendiculares si sus pendientes cumplen la siguiente propiedad:

m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}

Es decir, la pendiente de una de las rectas es igual a menos el inverso multiplicativo de la otra. La ecuación de la recta dada por el problema está en su forma general, de allí extraemos su pendiente con la siguiente igualdad:

m=-A \rightarrow m_{1}=-1

Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular a l_{1} debe tener una pendiente de:

m_{2}=-\frac{1}{-1}=1

Con el punto dado, calculamos la ecuación de l_{2} .

y-y_{o}=m\left(x-x_{o}\right) \rightarrow y=x-1

Finalmente.

l_{2}: x-y-1=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 10: Recta entre dos Puntos

Identificar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,-2) \text{ y }(3,0) .

  1. x-2 y-3=0
  2. 3 x-y+1=0
  3. 3 x-y+10=0
  4. 3 x-3 y+1=0

Solución:

Aunque el ejercicio no indica que ecuación de la recta debemos calcular, las opciones en los incisos señalan que es la ecuación general.

A x+B y+C=0

A=-m, B=1, C=-\left(y_{1}-m x_{1}\right)

Escogemos como punto referencial a (-1,-2) .

m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{0-(-2)}{3-(-1)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

Ahora, sustituimos en las ecuaciones los valores correspondientes.

A=-\frac{1}{2}

C=-\left(-2-\left(\frac{1}{2}\right)(-1)\right)=\frac{3}{2}

-\frac{1}{2} x+y+\frac{3}{2}=0

x-2 y-3=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la opción a).

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