Guía IPN Cálculo Diferencial del 21 al 30 resueltos

Prepararte para el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional no es algo que debes tomar a la ligera ni dejar de último momento, por eso, siempre invitamos a los aspirantes a prepararse para abordar cada una de las áreas que comprende esta prueba.

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Para que tengas más posibilidades de obtener una vacante como estudiante del IPN, es fundamental que logres una buena puntuación en este examen, la cual ha de ser igual o superior al mínimo exigido por la carrera de tu interés. En vista de esto, préstale atención a cada una de las partes de este examen.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Ahora bien, para que te familiarices mejor con la forma de este examen, es importante que conozcas la distribución de reactivos o preguntas que considera el Instituto Politécnico Nacional en su prueba de Admisión, la cual se separa en dos partes. La primera, que aborda preguntas de matemáticas y comunicación, y la segunda, con reactivos de Biología, Física y Química.

De esta manera, nos encontramos con un total de 130 preguntas, las cuales se distribuyen en diversas áreas de la manera que te mostramos a continuación:

• 50 preguntas de matemáticas.
• 40 preguntas de comunicación.
• 10 preguntas de biología.
• 15 preguntas de química.
• 15 preguntas de física.

Dicho lo anterior, damos paso a mostrarte la tercera parte de nuestra guía resuelta de reactivos de cálculo diferencial para el examen de admisión de la IPN:

Reactivo 21: Límites notables

Evaluar el siguiente límite: \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}-1\right)

1. 0
2. 1
3. \infty
4. No existe

Solución:

Antes de evaluar el límite, aplicaremos la propiedad del límite de una suma:

\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)

De esta forma, el problema quedaría:

\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}-1\right)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}-\lim _{x \rightarrow 0} 1

Con ambos límites por separado, podemos evaluar.

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}-\lim _{x \rightarrow 0} 1=\frac{0}{0}-1=\frac{0}{0}

El segundo límite se aplica sobre una constante, por tanto:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}-\lim _{x \rightarrow 0} 1=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}-1

Solo nos queda un solo límite que corresponde al límite notable:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1

¡Recuerda! Un límite notable nos ofrece un resultado que se cumple siempre para un caso particular, que no necesita demostración y que asumimos como cierto para simplificar la resolución de límites más complejos.

Sustituimos en el límite original.

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}-1=1-1=0

El límite de \frac{\sin x}{x}-1 cuando x tiende a cero es 0. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 22: Límites al Infinito

Calcular el siguiente límite:

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-6 x}\right)

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3

Solución:

Evaluamos a la función en el punto, es decir \infty :

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-6 x}\right)=\infty-\sqrt{\infty^{2}-6 \infty}=\infty-\infty

Este resultado es una indeterminación y necesitamos romperla. Comencemos por multiplicar y dividir por el conjugado de la función, es decir x+\sqrt{x^{2}-6 x} .

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(x-\sqrt{x^{2}-6 x}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}-6 x}\right)}{x+\sqrt{x^{2}-6 x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x^{2}+6 x}{x+\sqrt{x^{2}-6 x}}

Simplificamos.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-x^{2}+6 x}{x+\sqrt{x^{2}-6 x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x}{x+\sqrt{x^{2}-6 x}}

Si evaluamos la función nuevamente en el punto, nos queda otra indeterminación.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x}{x+\sqrt{x^{2}-6 x}}=\frac{6 \infty}{\infty+\sqrt{\infty^{2}-6 \infty}}=\frac{\infty}{\infty}

Intentemos ahora extraer factor común x^{2} de dentro del radicando.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x}{x+\sqrt{x^{2}-6 x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x}{x+x \sqrt{1-\frac{6}{x}}}

Simplificamos la x que es factor común en el denominador y en el denominador.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x}{x+x \sqrt{1-\frac{6}{x}}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6}{1+\sqrt{1-\frac{6}{x}}}

Evaluamos nuevamente a la función en el punto.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6}{1+\sqrt{1-\frac{6}{x}}}=\frac{6}{1+\sqrt{1-\frac{6}{\infty}}}=\frac{6}{1+\sqrt{1-0}}=\frac{6}{2}=3

Rota la indeterminación, el límite de   x-\sqrt{x^{2}-6 x} cuando x tiende a infinito es 3. Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 23: Límites al Infinito

Calcular el siguiente límite:

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5}{\sqrt{x^{3}+2 x^{4}}}

1. 3
2. 5
3. \frac{3}{\sqrt{2}}
4. \frac{5}{\sqrt{2}}

Solución:

Evaluamos el límite en el punto al que tiende la variable.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5}{\sqrt{x^{3}+2 x^{4}}}=\frac{3 \infty^{2}+5}{\sqrt{\infty^{3}+2 \infty^{4}}}=\frac{\infty}{\infty}

Se presenta una la indeterminación infinito sobre infinito, es necesario romper la indeterminación. En principio, no serviría multiplicar y dividir por ningún conjugado, intentemos extraer factor común x^{4} del radicando.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5}{\sqrt{x^{3}+2 x^{4}}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5}{x^{2} \sqrt{\frac{1}{x}+2}}

Simplificamos el factor x^{2} del denominador con el numerador.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}}+\frac{5}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x}+2}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3+\frac{5}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x}+2}}

Intentamos ahora evaluar el límite.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3+\frac{5}{\infty^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{\infty}+2}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3+0}{\sqrt{0+2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}

El límite de \frac{3 x^{2}+5}{\sqrt{x^{3}+2 x^{4}}} cuando x tiende a infinito es \frac{3}{\sqrt{2}} . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 24: Límites al Infinito

El número real ______ es el resultado del límite

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 e^{x}+2}{2 e^{x}+5}

1. 1
2. \frac{3}{2}
3. \frac{2}{5}
4. \frac{3}{5}

Solución:

Evaluamos el límite en el punto.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 e^{x}+2}{2 e^{x}+5}=\frac{3 e^{\infty}+2}{2 e^{\infty}+5}=\frac{\infty}{\infty}

Para romper la indeterminación, dividimos al numerador y al denominador por e^{x}

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{3 e^{x}+2}{e^{x}}}{\frac{2 e^{x}+5}{e^{x}}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{3 e^{x}}{e^{x}}+\frac{2}{e^{x}}}{\frac{2 e^{x}}{e^{x}}+\frac{5}{e^{x}}}

Simplificamos y evaluamos nuevamente en el punto.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3+\frac{2}{e^{x}}}{2+\frac{5}{e^{x}}}=\frac{3+\frac{2}{e^{\infty}}}{2+\frac{5}{e^{\infty}}}=\frac{3+0}{2+0}=\frac{3}{2}

El límite de  \frac{3 e^{x}+2}{2 e^{x}+5} cuando x tiende a infinito es   \frac{3}{2} Comparando con las opciones que ofrece el problema, la correcta es la b).

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Reactivo 25: Cambio de variable

Calcular el siguiente límite:

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)-3 \cos \left(\frac{1}{x}\right)+2}{\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1}

1. -1
2. 0
3. 1
4. \infty

Solución:

Evaluamos a la función en el punto.

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)-3 \cos \left(\frac{1}{x}\right)+2}{\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1}=\frac{\cos ^{2}\left(\frac{1}{\infty}\right)-3 \cos \left(\frac{1}{\infty}\right)+2}{\cos \left(\frac{1}{\infty}\right)-1}=\frac{\cos ^{2}(0)-3 \cos (0)+2}{\cos (0)-1}=\frac{0}{0}

Se presenta la indeterminación cero sobre cero. Para romperla, aplicaremos un cambio de variables. Diremos que \cos \left(\frac{1}{x}\right) será igual a w , de tal forma que:

Si w=\cos \left(\frac{1}{x}\right)

Cuando x \rightarrow \infty , \cos \left(\frac{1}{x}\right)=1 será equivalente a decir que w \rightarrow 1 , w=1 .

Sustituyendo en el límite:

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\cos ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)-3 \cos \left(\frac{1}{x}\right)+2}{\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1}=\lim _{w \rightarrow 1} \frac{w^{2}-3 w+2}{w-1}

Probamos evaluando a la función en el punto.

\lim _{w \rightarrow 1} \frac{w^{2}-3 w+2}{w-1}=\frac{1^{2}-3(1)+2}{1-1}=\frac{0}{0}

La indeterminación es la misma, por lo que nuestro cambio de variables es válido. Ten en cuenta que esto solo es válido para la función en el punto de evaluación y no para todos los reales. Es solo un truco matemático para simplificar la resolución.

Factorizamos al polinomio del numerador.

\lim _{w \rightarrow 1} \frac{w^{2}-3 w+2}{w-1}=\lim _{w \rightarrow 1} \frac{(w-2)(w-1)}{w-1}

Simplificamos los factores w-1 .

\lim _{w \rightarrow 1} \frac{(w-2)(w-1)}{w-1}=\lim _{w \rightarrow 1} w-2

Devolvemos el cambio de variables y evaluamos.

\lim _{x \rightarrow \infty} \cos \left(\frac{1}{x}\right)-2=\cos \left(\frac{1}{\infty}\right)-2=1-2=-1

El límite de \frac{\cos ^{2}\left(\frac{1}{x}\right)-3 \cos \left(\frac{1}{x}\right)+2}{\cos \left(\frac{1}{x}\right)-1} cuando x tiende a infinito es -1. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 26: Límite y gráfica de una función

Relacionar el límite de cada función en el punto dado con la gráfica correspondiente.

1. 1A, 2C, 3D, 4B
2. 1A, 2C, 3B, 4D
3. 1B, 2A, 3D, 4C
4. 1B, 2C, 3A, 4D

Solución:

Para resolver este problema, resolveremos cada uno de los límites de la columna izquierda, para luego relacionar su resultado con una gráfica en la columna derecha.

Límite 1

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-2 e^{-x}\right)

Simplificamos el exponente negativo.

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-2 e^{-x}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{2}{e^{x}}\right)

Evaluamos el límite en el punto dado.

\lim _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{2}{e^{x}}\right)=2-\frac{2}{e^{\infty}}=2-\frac{2}{\infty}=2-0=2

Observando las gráficas, la del inciso A es tiene forma exponencial y se acerca a 2 a medida que la variable incrementa su valor. Concluimos que 1A.

Límite 2

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3}{3 x+2}

Sin más para simplificar, se evalúa el límite en el punto dado.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3}{3 x+2}=\frac{3}{3 \infty+2}=0

La grafica del inciso C, decrece hacia cero desde el más infinito a medida que la variable aumenta su valor.

Además, la indeterminación de la variable ocurre del lado negativo de las x , característica que concuerda con la función en cuestión porque esta se indetermina en x=-\frac{2}{3} . Teniendo esto en cuenta, concluimos que 2C.

Límite 3

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^{2}}

Evaluamos el límite en el punto.

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^{2}}=\frac{1}{(2-2)^{2}}=+\infty

La grafica del inciso B tiende hacia más infinito en x=2 , en el punto y sus laterales igual que nuestra función (es fácil deducirlo porque la función nunca es negativa). Concluimos entonces que 3B.

Límite 4

\lim _{x \rightarrow 2} f(x), f(x)=\left\{\begin{array}{c} 5 e^{-(x-2)^{2}}-3 \text { si } x>2 \\ 2-\frac{1}{3} x \text { si } x<2 \end{array}\right.

Es claro que la gráfica de esta función es la del inciso D, porque es la única función a trozos. Además, si evaluamos sus límites laterales entorno a x=2 encontraremos que:

\lim _{x \rightarrow 2^{+}} 5 e^{-(x-2)^{2}}-3=2

\lim _{x \rightarrow 2^{-}} 2-\frac{1}{3} x=1

Valores en los que presenta la gráfica D en x=2 . Concluimos entonces 4D. Uniendo todas las soluciones: 1A, 2C, 3B, 4D. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 27: Continuidad de una Función a Trozos

¿En qué valores la siguiente función no es continua?

f(x)=\left\{\begin{array}{c} -1 \text { si } x \geq 0 \\ 1 \text { si } x<0 \end{array}\right.

1. Solo en cero
2. En ningún punto
3. Solo en los negativos
4. Es continua en todos los puntos

Solución:

Esta función es continua en todos los números reales, excepto en x=0 ya que es en ese punto cuando la función presenta una discontinuidad de salto finito, es decir en el entorno de x=0 la función vale 1 por la izquierda y -1 por la derecha.

Gráfica de la función.

Teniendo en cuenta el análisis anterior, la función es entonces discontinua solo en cero, por tanto la respuesta correcta es la a).

Reactivo 28: Continuidad en un Intervalo Abierto

¿Cuál de las siguientes gráficas no pertenece a una función continua en el intervalo (1,3) ?

Solución:

Recordemos que: para que una función sea continua en un intervalo abierto (como es nuestro caso), debe ser continua en cada punto de dicho intervalo pero no en los extremos.

Con esto en mente, si observamos las gráficas indicadas por el problema, la del inciso a) presenta una discontinuidad entre 2 y 3, valor que pertenece al intervalo (1,3) . El resto de funciones son continuas allí.

Concluimos finalmente que la respuesta correcta es la a).

Reactivo 29: Continuidad en un Intervalo Cerrado

La función f(x) definida en [0,1] es contínua en:

f(x)=\left\{\begin{array}{c} 1 \text { si } x \text { es racional } \\ -1 \text { si } x \text { es irracional } \end{array}\right.

1. Ningún punto
2. Los racionales
3. Los irracionales
4. Todo el intervalo

Solución:

Para analizar la continuidad de la función dada, es necesario estudiar su naturaleza. Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente de dos números naturales.

\frac{a}{b} \in Q \leftrightarrow a \text{ y } b \in N, b \neq 0

Por otra parte, los irracionales son números con decimales infinitos, números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números naturales.

Dicho esto, podemos demostrar fácilmente que entre dos racionales cualesquiera hay un irracional. Si r_{1} y r_{2} racionales tales que r_{1}<r_{2} e i es un irracional tal que 0<i<1 , entonces:

Multiplicamos la desigualdad 0<i<1 por r_{2}-r_{1} .

0<i\left(r_{2}-r_{1}\right)<r_{2}-r_{1}

Sumamos ahora r_{1} .

r_{1}<r_{1}+i\left(r_{2}-r_{1}\right)<r_{2}

Obtenemos que entre cualesquiera dos racionales, existe un irracional. No importa que tan cercanos estén los racionales, siempre habrá un irracional entre ellos.

Esto implica que si intentamos calcular los límites laterales de f(x) sobre cualquier racional o irracional del intervalo [0,1] , ambos límites serán distintos.

La discontinuidad ocurre infinitamente, pues existen infinitos racionales e irracionales entre [0,1] .

Concluimos entonces que la función no es continua en ningún punto. Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 30: Derivada por definición

El valor de \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} para f(x)=\frac{1}{x} es:

1. \frac{1}{x^{2}}
2. -\frac{1}{x^{2}}
3. -x^{-1}
4. -x^{-3}

Solución:

Aplicamos la definición de límite a la función dada, sustituyendo x por x+h dentro de la función para f(x+h) .

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \rightarrow \lim _{h \rightarrow o} \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}

\lim _{h \rightarrow o} \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-\frac{h}{x(x+h)}}{h}

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-\frac{h}{x(x+h)}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0}-\frac{1}{x(h+x)}

Evaluamos el límite.

\lim _{h \rightarrow o}-\frac{1}{x(h+x)}=-\frac{1}{x(0+x)}=-\frac{1}{x^{2}}

La derivada de f(x)=\frac{1}{x} es f^{\prime(x)}=-\frac{1}{x^{2}} . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).