Guía UNAM Matemáticas: Área 3 de las Ciencias Sociales Parte 1

¡Hola aspirante! En este tutorial vamos a resolver paso a paso los primeros 12 reactivos de matemáticas área 3, del 41 al 52, de la guía Ciencias Sociales como preparación al examen de ingreso a la UNAM.

¿Cómo estudiar la guía? Te aconsejo hacerlos por tu cuenta antes de mirar la solución. Es importante que estudies y comprendas cada uno de los temas que van para el examen, tu calificación depende del esfuerzo que dediques durante la preparación.

A continuación, te dejo un resumen con los puntos más importantes del examen UNAM.

Estructura del examen

La prueba de ingreso a la UNAM tiene una extensión de 120 reactivos, de los cuales 24 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 3 de Ciencias Sociales.

¿Aún no conoces todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 3, donde se indican las materias y la cantidad de reactivos correspondientes.

Estructura examen área 3.

De las 22 carreras ofertadas por la UNAM para el área 3, dos de ellas cuentan con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra que dependerán de la facultad a la que desees ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Muchos aspirantes consideran que estudiar matemáticas es solo aplicar fórmulas, dibujar gráficas y resolver muchos ejercicios, pero ese es el error principal.

No es relevante la cantidad de ejercicios resueltos, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer los conceptos y aplicarlos en cualquier situación.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas de forma correcta.

Temario matemáticas área 3

La siguiente lista contiene el temario de matemáticas para el área 3 Ciencias Sociales UNAM. Si organizas tu tiempo y comienzas desde ya, podrás estudiar sin problemas todos los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo clic en este enlace.

Guía matemáticas UNAM área 3 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de los primeros 12 reactivos de matemáticas, para la guía de la Universidad Nacional Autónoma de México del área 3 de las Ciencias Sociales.

Reactivo 41

Un estudiante debe obtener un promedio mínimo de 8 y calificaciones no menores a 7 en cada uno de los parciales. Si tiene las siguientes calificaciones en los primeros 3 parciales: 7.2, 8.5 y 7.9. ¿Cuál es la mínima calificación que deberá obtener en el último parcial para aprobar el curso?

1. 8.1
2. 8.2
3. 8.4
4. 8.9

Solución:

Esta situación es bastante común cuando queremos estimar que calificación mínima debemos obtener para mantener cierto promedio o, en casos más extremos, aprobar cierta materia complicada.

Para calcular la calificación mínima, debemos recordar la fórmula para calcular promedios:

P=\frac{\sum {c}_{i}}{n}

Donde n es el total de parciales y {c}_{i} es la nota de cada uno. El enunciado indica el promedio requerido P=8 , nos da las notas de las tres evaluaciones anteriores y nos pregunta cuánto debe ser la calificación en la última, es decir, en total son 4 evaluaciones n=4 .

8=\frac{7.2+8.5+7.9+{c}_{4}}{4}

Despejamos a {c}_{4} .

32-7.2-8.5-7.9={c}_{4}\to {c}_{4}=8.4

El estudiante debe obtener una calificación mínima de 8.4 en el cuarto examen parcial.

Seleccionamos como correcto al inciso c).

Reactivo 42

Dos números están en razón \frac{3}{7} si el menor de ellos es 189, ¿cuál es el valor del otro?

1. 525
2. 519
3. 441
4. 386

Solución:

Las razones no son más que el cociente entre dos números que se deja expresada en forma de fracción simplificada. Lo que debemos saber, es que si el numerador de la razón es menor que el denominador (como en el caso actual), significa que se divide un número menor entre uno mayor.

Teniendo en cuenta el análisis anterior, el número menor va en el numerador y el mayor en el denominador.

\frac{3}{7}=\frac{189}{x}

Despejamos a x .

x=\frac{7\times 189}{3}=441

El número mayor de la razón es igual a 441.

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 43

Al desarrollar {\left({x}^{2}-3y\right)}^{3} se obtiene:

1. {x}^{6}-9{x}^{5}y+27{x}^{4}{y}^{2}-27{y}^{3}
2. {x}^{6}+9{x}^{4}y-27{x}^{2}{y}^{2}+27{y}^{3}
3. {x}^{6}-9{x}^{4}y+27{x}^{2}{y}^{2}-27{y}^{3}
4. {x}^{6}-9{x}^{3}{y}^{2}+27{x}^{2}{y}^{3}-27{y}^{3}

Solución:

Para desarrollar el binomio al cubo tenemos dos opciones: ir aplicando producto de polinomios o utilizar el producto notable para el binomio al cubo. La segunda opción es la mejor, porque reduce el tiempo de solución, necesario durante el examen y, además, si estás haciendo los ejercicios es porque ya estudiaste los productos notables, por tanto, deberías saberlos de memoria.

Procedemos a aplicar producto notable.

{\left(a-b\right)}^{3}={a}^{3}-3{a}^{2}b+3a{b}^{2}-{b}^{3}

Nuestro trabajo es identificar a quien es igual a y b .

a={x}^{2};b=3y

Finalmente:

{\left({x}^{2}-3y\right)}^{3}={\left({x}^{2}\right)}^{3}-3{\left({x}^{2}\right)}^{2}\left(3y\right)+3\left({x}^{2}\right){\left(3y\right)}^{2}-{\left(3y\right)}^{3}

Simplificamos.

{\left({x}^{2}-3y\right)}^{3}={x}^{6}-9{x}^{4}y+27{x}^{2}{y}^{2}-27{y}^{3}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta está en la c).

Reactivo 44

¿Cuál es la factorización del trinomio {x}^{2}-11x+30 ?

1. \left(x+5\right)\left(x+6\right)
2. \left(x+1\right)\left(x+30\right)
3. \left(x-5\right)\left(x+6\right)
4. \left(x-5\right)\left(x-6\right)

Solución:

Para factorizar el polinomio de segundo grado, debemos encontrar sus raíces y expresar al polinomio como el producto de dichas raíces, similar a lo que aparece en los incisos. Para hacer esto tenemos varias opciones, una de ellas es aplicar la fórmula de segundo grado.

Esta última puede ser la primera que se te ocurra, pero no es la más versátil, cuando se trata de simplemente factorizar, la mejor opción es buscar dos números tales que sumados sean iguales al coeficiente b y que multiplicados sean iguales al coeficiente c .

{x}_{1}+{x}_{2}=b

{x}_{1}{x}_{2}=c

Para nosotros, dichos valores son -5 y -6.

-5-6=-11

\left(-5\right)\left(-6\right)=30

Por tanto:

{x}^{2}-11x+30=\left(x-5\right)\left(x-6\right)

Comparando con las opciones, seleccionamos como correcta la d).

Reactivo 45

¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación?

\frac{x}{2}+5=x+3

1. x=\frac{1}{2}
2. x=-2
3. x=2
4. x=4

Solución:

Simplemente debemos aplicar las reglas de las igualdades para obtener el valor de x . Comenzamos por agrupar en el miembro de la izquierda de la ecuación los términos con x y del otro los términos independientes.

\frac{x}{2}-x=3-5

Simplificamos.

-\frac{x}{2}=-2

Despejamos la x multiplicando ambos miembros por -2 .

\left(-2\right)\frac{x}{-2}=\left(-2\right)\left(-2\right)

x=4

La solución a la ecuación es x=4 .

Seleccionamos la opción d) como la respuesta correcta.

Reactivo 46

Al resolver 3-\frac{x}{x+2}=7 , ¿cuál es el valor de x ?

1. -\frac{8}{5}
2. -\frac{5}{8}
3. \frac{5}{8}
4. \frac{8}{5}

Solución:

Comenzamos por dejar en el miembro de la derecha el término fraccionario con x solo.

-\frac{x}{x+2}=4

Multiplicamos ambos miembros por -\left(x+2\right) .

x=-4\left(x+2\right)

Aplicamos propiedad distributiva.

x=-4x-8

Pasamos al primer miembro el término -4x .

x+4x=-8

Simplificamos y despejamos.

5x=-8

x=-\frac{8}{5}

Para que se cumpla la igualdad, la variable x debe ser igual a -\frac{8}{5} .

Concluimos indicando al inciso a) como la respuesta correcta.

Reactivo 47

¿Cuál es el intervalo que representa el conjunto solución de -x\ge 5 ?

1. \left[-5,\infty \right)
2. \left(-\infty , -5\right)
3. \left(-\infty , -5\right]
4. \left(-5, \infty \right)

Solución:

Para resolver inecuaciones, debemos seguir las reglas de las desigualdades, similares a las de las igualdades, pero con la diferencia que, si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Solo debemos multiplicar ambos lados por -1, cambiamos inmediatamente el sentido de la desigualdad.

\left(-x\right)\left(-1\right)\le \left(5\right)\left(-1\right)

x\le -5

El conjunto solución de la inecuación son todos los valores de x menores o iguales que -5. Expresado en notación de intervalo quedaría:

x\in \left(-\infty , -5\right]

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 48

Es el determinante principal asociado al siguiente sistema.

\left\{\begin{array}{c}10x-5y=-5\\ 4x+y=-5\end{array}\right.

1. \left|\begin{array}{cc}-5& 5\\ -5& 1\end{array}\right|
2. \left|\begin{array}{cc}10& -5\\ 4& -5\end{array}\right|
3. \left|\begin{array}{cc}-5& -5\\ 4& 1\end{array}\right|
4. \left|\begin{array}{cc}10& -5\\ 4& 1\end{array}\right|

Solución:

Como sabemos, existen diferentes maneras de resolver sistemas de ecuaciones lineales y, entre ellas, existe el método de los determinantes o la regla de Cramer la cual dice que:

El valor de cada incógnita es igual al cociente del determinante de la incógnita y el determinante del sistema.

En este caso nos interesa el determinante del sistema, el cuál se aplica sobre la matriz conformada por los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, para nosotros: 10, -5, 4 y 1, por tanto:

{\mathrm{\Delta }}_{s}=\left|\begin{array}{cc}10& -5\\ 4& 1\end{array}\right|

Comparando con las opciones, la respuesta correcta se encuentra en el inciso d).

Reactivo 49

Obtén el dominio y el rango de la siguiente función.

y=\frac{-5}{-\sqrt{x+2}}

1. \begin{array}{c}D:x>-2\\ R:y>0\end{array}
2. \begin{array}{c}D:x\ge -2\\ R:y\ge 0\end{array}
3. \begin{array}{c}D:x>-2\\ R:y\ge 0\end{array}
4. \begin{array}{c}D:x<-2\\ R:y\le 0\end{array}

Solución:

Dividiremos la solución del ejercicio en dos partes. En la primera, encontraremos el dominio de la función dada y, en la segunda, calcularemos la inversa de la función y posteriormente el rango.

Cálculo del dominio de la función.

Primero, simplificamos el signo menos del numerador con el que se encuentra en el denominador.

y=\frac{5}{\sqrt{x+2}}

Ahora, para que la función exista, su denominador debe ser distinto de cero.

\sqrt{x+2}\ne 0

Sabemos que una función racional da valores mayores o iguales a cero, a nosotros solo nos interesa que sean mayores. Para que una función racional esté definida su radicando debe ser mayor o igual a cero, como solo nos interesan los mayores a cero, decimos que:

x+2>0

Finalmente:

x>-2

El dominio de la función son todos los valores de x mayores a -2.

D:x>-2

Cálculo del rango de la función.

Normalmente es necesario calcular la inversa de la función, estudiar su conjunto solución y de allí encontrar el rango, pero, debido a la naturaleza de la función \frac{5}{\sqrt{x+2}} sabemos que los valores que saldrán de ella serán siempre positivos y distintos de cero, por tanto, el rango de la función es:

R:y>0

Finalmente:

\begin{array}{c}D:x>-2\\ R:y>0\end{array}

Esto lo podemos comprobar gráficamente:

Vemos como la función existe para valores mayores que x y que las imágenes son siempre mayores que y .

Concluimos indicando como correcta la opción a).

Reactivo 50

¿Cuál es la gráfica de f\left(x\right)=\left|x\right| con x\in \left[-3, 3\right] ?

1. 
2. 
3. 
4. 

Solución:

Para responder la pregunta, debemos recordar la definición de la función valor absoluto:

f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}x si x\ge 0\\ -x si x<0 \end{array}\right.

Es decir, si nos encontramos del lado negativo del eje x , la función viene descrita por una recta de pendiente negativa {f}^{-}\left(x\right)=-x , por otro lado, si nos encontramos desde el cero en adelante, entonces la función viene descrita por una recta de pendiente positiva {f}^{+}\left(x\right)=x .

Teniendo en cuenta esto, sabemos que entre \left[-3, 0\right) entra en juego -x y para \left[0, 3\right] entra en juego x . Si graficamos ambas rectas, obtenemos una gráfica en “v”.

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 51

¿Cuál es el valor de y en x=1 Si y=5{x}^{4}+3x ?

1. 23
2. 9
3. 12
4. 8

Solución:

En el ejercicio, únicamente debemos sustituir el lugar de la x por el número 1.

y\left(x=1\right)=5{\left(1\right)}^{4}+3\left(1\right)=5+3=8

y\left(x=1\right)=8

La función vale 8 cuando x es igual a 1.

La respuesta correcta es el inciso d).

Reactivo 52

Si 2\pi  radianes equivalen a 360°, ¿cuánto equivale un ángulo de \frac{7}{8}\pi  radianes?

1. 315°
2. 145° 30’
3. 270°
4. 157° 30’

Solución:

Solo debemos aplicar una regla de tres directa para obtener el equivalente en grados.

\begin{array}{c}2\pi \to 360°\\ \frac{7}{8}\pi \to x\end{array}

Despejando:

x=\frac{\frac{7}{8}\pi \times 360°}{2\pi }=157.5°

Debemos convertir los decimales en minutos. Un grado hexadecimal equivale a 60 minutos, por tanto, medio grado hexadecimal equivale a 30 minutos:

157.5°=157° 30\text{'}

La respuesta correcta es el inciso d).