¡Continuamos aspirante! Vamos con la solución de la segunda parte de los reactivos de matemáticas área 2, del 56 al 65, en la guía de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud correspondiente al examen de ingreso a la Universidad Nacional Autónoma de México.
El siguiente resumen contiene los puntos clave de la prueba de ingreso UNAM:
- Desarrollo: UNAM
- Área 2: Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud
- Materia: Matemáticas
- Reactivos: 120
- Tipo: Opción múltiple
- Duración: 3 horas
- Modalidades: Presencial
Las matemáticas representan un pilar importante en el desarrollo de cualquier carrera universitaria. Date el tiempo de comprender cada tema, lo necesitarás incluso estudiando la carrera.
Guía matemáticas UNAM área 2 resuelta
Continuamos resolviendo los siguientes 10 reactivos de matemáticas para el área 2 de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud como preparación al examen de ingreso a la Universidad Nacional Autónoma de México.
Curso UNAM
Reactivo 56
Encuentra las coordenadas del punto medio entre los puntos P\left(\mathrm{0,2}\right) \mathrm{y} Q\left(\mathrm{4,6}\right) .
- \mathrm{2,3}
- \left(\mathrm{2,4}\right)
- \left(\mathrm{3,3}\right)
- \left(\mathrm{3,4}\right)
Solución:
El punto medio M de un segmento con extremos P \mathrm{y} Q , es aquel que lo divide en dos partes iguales. Las coordenadas de dicho punto se calculan mediante la siguiente expresión:
{M}_{x}=\frac{{P}_{x}+{Q}_{x}}{2}
{M}_{y}=\frac{{P}_{y}+{Q}_{y}}{2}
Sustituimos las coordenadas de P y Q .
{M}_{x}=\frac{0+4}{2}=2
{M}_{y}=\frac{2+6}{2}=4
Las coordenadas del punto medio entre P\left(\mathrm{0,2}\right) \mathrm{y} Q\left(\mathrm{4,6}\right) son \left(\mathrm{2,4}\right) .
Concluimos el problema seleccionando como correcta a la opción b).
Reactivo 57
La pendiente de la recta 3x+6y-1=0 es:
- -3
- -\frac{1}{2}
- \frac{1}{2}
- 3
Solución:
Para calcular la pendiente de la recta, podemos simplemente despejar la y de la ecuación y el coeficiente de la x corresponderá a la pendiente de la recta.
3x+6y-1=0\to 6y=1-3x
y=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}x
La pendiente de la recta es m=-\frac{1}{2} .
La respuesta correcta es la opción b).
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Reactivo 58
Un triángulo está conformado por los vértices P\left(-7, 1\right) , Q\left(9, 3\right) y R\left(3, 5\right) ¿Cuál es la ecuación de la mediana que para por el vértice P ?
- x-8y+15=0
- 3x-13y+34=0
- 3x-y+22=0
- 2x-5y+19=0
Solución:
Las medianas de un triángulo, son segmentos de rectas que unen el punto medio de cualquiera de sus vértices con el vértice opuesto. En este caso, el punto medio que necesitamos es que se encuentra en el lado QR y el vértice opuesto es P .
Comenzamos calculando el punto medio del lado QR .
M\left(\frac{{x}_{Q}+{x}_{R}}{2}, \frac{{y}_{Q}+{y}_{R}}{2}\right)
Sustituimos las coordenadas:
M\left(\frac{9+3}{2}, \frac{3+5}{2}\right)=M\left(6, 4\right)
Tenemos los dos puntos para construir la ecuación de la recta: M\left(6, 4\right) y P\left(-7, 1\right) . Calculamos la pendiente:
m=\frac{1-4}{-7-6}=\frac{3}{13}
Utilizamos el punto P para sustituir en la ecuación punto pendiente.
y-{y}_{o}=m\left(x-{x}_{o}\right)\to y-1=\frac{3}{13}\left(x+7\right)
13y-13=3x+21\to 3x-13y+34=0
Finalmente:
3x-13y+34=0
Seleccionamos como respuesta correcta la opción b).
Reactivo 59
Obtén las coordenadas del centro C y el valor del radio r para la circunferencia.
{x}^{2}+{y}^{2}+6x-4y-12=0
- C\left(-3, 2\right); r=2\sqrt{3}
- C\left(3, -2\right); r=5
- C\left(3, -2\right); r=2\sqrt{3}
- C\left(-3, 2\right); r=5
Solución:
Para obtener las coordenadas del centro y la magnitud del radio de la circunferencia, es necesario completar cuadrados tanto para x como para y hasta llevar la ecuación a su forma ordinaria. Comenzamos por agrupar términos.
{x}^{2}+6x+{y}^{2}-4y=12
Al completar cuadrados debemos hacer parecer la expresión al desarrollo de un binomio al cuadrado.
{\left(x\pm b\right)}^{2}={x}^{2}\pm 2bx+{b}^{2}
Por tanto, expresamos a los coeficientes de x y y como el producto de 2 por otro número.
{x}^{2}+2\bullet 3\bullet x+{y}^{2}-2\bullet 2\bullet y=12
De esta manera, sabemos que debemos sumar en ambos miembros de la igualdad el cuadrado de 3 y el cuadrado de 2.
{x}^{2}+2\bullet 3\bullet x+9+{y}^{2}-2\bullet 2\bullet y+4=12+9+4
{x}^{2}+6x+9+{y}^{2}-4y+4=12+9+4
Completando cuadrados quedaría:
{x}^{2}+6x+9={\left(x+3\right)}^{2}
{y}^{2}-4y+4={\left(y-2\right)}^{2}
Sustituimos los binomios cuadrados equivalentes.
{\left(x+3\right)}^{2}+{\left(y-2\right)}^{2}=25
Finalmente, extraemos el valor del centro C\left(h, k\right) y del radio r .
C\left(h, k\right)=C\left(-3, 2\right)
r=5
La respuesta correcta del problema es la opción d).
Reactivo 60
Determina la ecuación de la parábola con directriz x+3=0 , vértice en el origen y eje focal que coincide con el eje x .
- {x}^{2}-12y=0
- {x}^{2}+12y=0
- {y}^{2}+12y=0
- {y}^{2}-12x=0
Solución:
Para encontrar la ecuación de la parábola, debemos analizar todo lo que dice el enunciado, de tal forma que podamos extraer los datos necesarios y de forma correcta. Comencemos por identificar cuál de las dos variables es la que irá al cuadrado.
El enunciado dice que el eje focal coincide con el eje x , por tanto, quien va elevada al cuadrado es la y .
{\left(y-k\right)}^{2}=4p\left(x-h\right)
Por otra parte, también se indica que el vértice se encuentra en el origen, por tanto \left(h, k\right)=\left(0, 0\right) .
{y}^{2}=4px
Nos queda calcular el lado recto de la parábola p . Sabemos que la distancia entre la recta directriz y el vértice es igual al lado recto.
El enunciado nos dice que la directriz es x=-3 , ya que el eje focal se encuentra sobre el eje x y el vértice se encuentra en el origen, por tanto:
p=0-\left(-3\right)=3
Sustituimos:
{y}^{2}=4\left(3\right)x\to {y}^{2}=12x
Si graficamos la parábola obtenemos que:
{y}^{2}-12x=0
Comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es el inciso d).
Reactivo 61
Dada la ecuación de la elipse \frac{{x}^{2}}{100}+\frac{{y}^{2}}{75}=1 determina su excentricidad.
- \frac{3}{4}
- \frac{2}{3}
- \frac{3}{5}
- \frac{1}{2}
Solución:
En las cónicas, la excentricidad es un parámetro que mide las características de su curvatura. Para el caso de la elipse, una excentricidad cercana a cero indica que los lados a y b son casi iguales y que la elipse se asemeja a una circunferencia. Por otro lado, una excentricidad cercana a 1 establece que la elipse es bastante chata, el lado a es significativamente mayor a b .
La excentricidad e de la elipse se calcula como:
e=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}
Recordemos que a es el lado mayor y b el lado menor. Estos parámetros se extraen de la ecuación de la elipse dada por el enunciado.
{a}^{2}=100\to a=10
{b}^{2}=75
Sustituimos.
e=\frac{\sqrt{100-75}}{10}=\frac{1}{2}
La excentricidad es igual a un medio.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es el inciso d).
Reactivo 62
Obtén el valor del parámetro a , de una hipérbola cuya ecuación es \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 , b es igual a 5 y la distancia entre sus focos es de 26.
- a=12 \mathrm{m}
- a=13 \mathrm{m}
- a=5 \mathrm{m}
- a=10 \mathrm{m}
Solución:
En una hipérbola, la distancia entre los focos d\left({F}_{1}, {F}_{2}\right) es igual a dos veces el parámetro c de dicha cónica.
d\left({F}_{1}, {F}_{2}\right)=2c
Por otra parte, el parámetro c se relaciona con los parámetros a y b de la siguiente forma:
{c}^{2}={b}^{2}+{a}^{2}
Despejando a de la expresión anterior obtenemos:
a=\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}
Calculamos c de la ecuación de la distancia focal.
c=\frac{d\left({F}_{1}, {F}_{2}\right)}{2}=\frac{26}{2}=13
Sustituimos.
a=\sqrt{{13}^{2}-{5}^{2}}=12
Esto lo comprobamos gráficamente, sabiendo que el parámetro a es la distancia entre el centro de la hipérbola y cualquiera de sus vértices.
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 63
Dada la ecuación general de segundo grado con dos variables A{x}^{2}+Bxy+C{y}^{2}+Dx+Ey+F=0 , si B=0 , se tiene que:
- La cónica pasa por el origen del marco de referencia
- Los ejes de simetría de la cónica son paralelos a los ejes coordenados
- Los ejes de simetría de la cónica no son paralelos a los ejes coordenados
- La cónica está centrada en el origen del marco de referencia
Solución:
La ecuación general de segundo grado permite describir a todas las cónicas, dicha representación corresponde a una u otra cónica según el valor que tomen los coeficientes indicados en letras mayúsculas.
Si nos tomáramos el tiempo de demostrar cada una de las ecuaciones ordinarias de cada cónica, nos daremos cuenta que la posibilidad de que éstas aparezcan situadas en cualquier punto del plano coordenado \left(h, k\right) distinto al origen del mismo, se debe a una traslación de ejes.
Todas las cónicas poseen un “sistema de coordenadas” que se encuentra centrado en su centro (para el caso de las cónicas centrales) o en su vértice (para las cónicas no centrales). Cuando \left(h, k\right) es igual a cero, dicho sistema coordenado coincide con el xy , si no, entonces la cónica puede estar en cualquier parte del plano según indiquen h y k .
Ahora, dichas cónicas son las que se describen a partir de la EGSG con el coeficiente B=0 , es decir, de la forma:
A{x}^{2}+C{y}^{2}+Dx+Ey+F=0
Aún luego de estas desplazados los ejes de la cónica, si B=0 dichos ejes siguen siendo paralelos al sistema de referencia xy . Si B\ne 0 , los ejes de la cónica rotan determinado ángulo respecto del sistema de referencia xy .
Con todo este análisis, concluimos indicando como respuesta correcta la opción b).
Reactivo 64
El \underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}\left(2{x}^{2}+x+1\right) es:
- -\infty
- - 2
- 0
- +\infty
Solución:
El primer paso para resolver cualquier límite, es evaluar la función en el valor que estamos haciendo tender a la variable, en este caso -\infty .
\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}\left(2{x}^{2}+x+1\right)=2{\left(-\infty \right)}^{2}+\left(-\infty \right)+1=\infty -\infty
Esto de acá es una forma indeterminada. Comencemos por extraer factor común {x}^{2} .
\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}\left(2{x}^{2}+x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}{x}^{2}\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}\right)
Evaluamos.
\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}{x}^{2}\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}\right)={\left(-\infty \right)}^{2}\left(2+\frac{1}{-\infty }+\frac{1}{{\left(-\infty \right)}^{2}}\right)=\infty \left(2+0+0\right)=\infty
Finalmente:
\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}\left(2{x}^{2}+x+1\right)=\infty
Este límite también pudo ser resuelto con una de sus propiedades. Establece que el límite al infinito de cualquier polinomio es igual a más o menos infinito según el signo del coeficiente de grado mayor. La respuesta correcta es la opción d).
Reactivo 65
La función f\left(x\right)=\left|x\right| es derivable en todo punto de su dominio, excepto en:
- -2
- -1
- 0
- 2
Solución:
Para responder el ejercicio, debemos recordar cuál es la condición de diferenciabilidad que debe cumplir una función real para que la misma sea diferenciable en un punto x={x}_{o} . Básicamente, {f}^{\text{'}} debe existir y ser continua en dicho punto.
Lo anterior podemos resumirlo como:
\left\{\begin{array}{c}{f}^{\text{'}}\left({x}_{o}\right) \in y {x}_{o}\in dom\left({f}^{\text{'}}\right) \\ \underset{x\to {x}_{o}^{+}}{\mathrm{lim}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=L\\ \underset{x\to {x}_{o}^{-}}{\mathrm{lim}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=L\end{array}\right.
En este caso, la función valor absoluto es una función a trozos descrita como:
f\left(x\right)=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{c}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.
Derivamos la función a trozos:
{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}1, x\ge 0\\ -1, x<0\end{array}\right.
Podemos observar que si calculamos los límites laterales de {f}^{\text{'}} para x=0 , obtenemos resultados distintos:
{L}_{d}=\underset{x\to {0}^{+}}{\mathrm{lim}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=1
{L}_{i}=\underset{x\to {0}^{-}}{\mathrm{lim}}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-1
Los límites laterales son diferentes, no se cumplen las condiciones de diferenciabilidad y, por tanto, la función valor absoluto no es diferenciable en x=0 . Concluimos indicando como respuesta correcta la opción c).
