Guía UNAM Matemáticas: Área 2 Cs Biológicas Químicas y Salud Parte 1

¡Nos vemos de nuevo aspirante! En este tutorial estaremos resolviendo los primeros 10 reactivos de matemáticas área 2, del 46 al 55, que se encuentran en la guía de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud de cara al examen de ingreso UNAM.

GUIA-AREA-2-MATEMATICAS

¿Cómo estudiar la guía UNAM? Te aconsejo desarrollarlos por tu cuenta antes de checar la solución. Es importante que estudies y comprendas cada uno de los temas del examen, tu calificación es proporcional al esfuerzo que hayas dedicado al prepararte.

A continuación, tienes un resumen de los puntos más importantes sobre el examen de ingreso UNAM.

  • Desarrollo: UNAM
  • Área 2: Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud
  • Materia: Matemáticas
  • Reactivos: 120
  • Tipo: Opción múltiple
  • Duración: 3 horas
  • Modalidades: Presencial

Las carreras con mayor porcentaje de rechazo de la UNAM pertenecen al área 2. Asegúrate de estudiar muy bien los temas de cada asignatura.

Estructura del examen

El examen a la Universidad Nacional Autónoma de México se compone de 120 reactivos, de los cuales 24 pertenecen a matemáticas para el área 2 Ciencias Químicas, Biológicas y de la Salud.

¿Aún no conoces todos los detalles del ingreso a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM para el área 2, con el total de reactivos por asignatura que deberás resolver.

Estructura examen área 2.

Temas Reactivos
Español 18
Matemáticas 24
Física 12
Química 13
Biología 13
Historia universal 10
Historia de México 10
Literatura 10
Geografía 10
Total 120
Médico Cirujano del área 2 en la UNAM, es una de las carreras más demandadas y la segunda con más aciertos mínimos.

De las 130 carreras que oferta la Universidad Nacional Autónoma de México, 31 de ellas pertenecen al área 2 de Ciencias Químicas, Biológicas y de la Salud de las cuales, 9 poseen modalidad de ingreso indirecto.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Aunque la carrera que deseas ingresar pertenece al área 2, la asignatura de matemáticas es determinante tanto para la prueba de ingreso como para el resto de la carrera. Gracias a las matemáticas, podemos representar al mundo que nos rodea mediante modelos fáciles de estudiar, con la posibilidad de extender nuestra percepcion de la naturaleza.

La capacidad de análisis y abstracción que nos brindan las matemáticas son aplicables a cualquier situación y transversales a todas las ciencias exactas y humanas. Por esta razón, te dejo algunos consejos que debes tener en cuenta a la hora de estudiar matemáticas.

  • Selecciona tu bibliografía. En la guía unam área 2 se recomienda bibliografía de consulta para matemáticas. No es necesario leerlas todas, pero algunos temas se explican mejor en unos textos que en otros. Selecciona los que sean de tu agrado.
  • Presta atención a la teoría. Las propiedades y los teoremas son las herramientas que usan las matemáticas para llegar a cualquier resultado. Hay problemas cuya solución rápida se da a través de un teorema.
  • Apóyate en otro libro si un tema es complejo de entender. Los autores suelen enfocarse en determinados aspectos a la hora de escribir sus textos, por esta razón, suelen desbordar demasiados detalles que pueden confundirnos al estudiar.
  • Practica con ejercicios de forma inteligente. Resolver problemas intentando cualquier cosa no es la mejor forma correcta de practicar tus conocimientos. Analiza el problema, comprende lo que te solicita, identifica las herramientas matemáticas para resolverlo y crea en tu cabeza un plan sistemático para resolverlo. Si no funciona, regresa al inicio y pregúntate ¿qué hice mal? ¿hay un concepto que no apliqué correctamente?

Temario matemáticas área 2

La lista contiene el temario de matemáticas para el área 2 de la UNAM. Es extenso, pero si planificas tus sesiones de estudio podrás cubrir todo el contenido. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo click en este enlace.

  1. Operaciones con números reales, complejos y expresiones algebraicas 
    1. Números reales
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
    2. Números complejos
      1. Suma y resta
      2. Multiplicación 
    3. Expresiones algebraicas
      1. Suma y resta 
      2. Multiplicación y división 
      3. Raíces y potencias con exponente racional 
      4. Operaciones con radicales
  2. Productos notables y factorización
    1. Binomio de Newton a+bn, n ∈N
    2. Teorema del residuo y del factor 
    3. Simplificación de fracciones algebraicas 
    4. Operaciones con fracciones algebraicas
  3. Ecuaciones
    1. Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad 
    2. Ecuaciones de primer grado 
    3. Ecuaciones de segundo grado
  4. Desigualdades
    1. Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades
  5. Sistemas de ecuaciones 
    1. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
      1. Métodos de solución 
    2. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
      1. Métodos de solución (Regla de Cramer)
  6. Funciones algebraicas
    1. Dominio, contradominio y regla de correspondencia 
    2. Rango o imagen 
    3. Gráfica 
    4. Implícitas y explícitas 
    5. Crecientes y decrecientes 
    6. Continuas y discontinuas
    7. Álgebra de funciones
  7. Trigonometría
    1. Trigonometría básica
      1. Medida de un ángulo (conversión de grados a radianes y de radianes a grados) 
      2. Razones trigonométricas 
      3. Resolución de triángulos rectángulos 
      4. Ley de los Senos y Ley de los Cosenos 
      5. Resolución de triángulos oblicuángulos
      6. Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante. Fórmulas de reducción 
    2. Funciones trigonométricas
      1. El círculo trigonométrico 
      2. Funciones trigonométricas directas
        1. Dominio y rango 
        2. Periodo y amplitud 
        3. Desfasamiento 
        4. Asíntotas de la gráfica
  8. Funciones exponenciales y logarítmicas
    1. Dominio y rango 
    2. Gráficas y asíntotas
  9. Recta
    1. Distancia entre dos puntos 
    2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada 
    3. Pendiente de una recta 
    4. Formas de la ecuación de la recta y su gráfica 
    5. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad 
    6. Distancia de un punto a una recta 
    7. Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)
  10. Circunferencia
    1. Circunferencia como lugar geométrico
    2. Forma ordinaria (canónica) y general de la ecuación de la circunferencia con centro en el origen
    3. Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) en las formas ordinaria y general 
    4. Elementos de una circunferencia
  11. Parábola
    1. Parábola como lugar geométrico 
    2. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los ejes coordenados 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    4. Elementos de una parábola
  12. Elipse
    1. Elipse como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una elipse
  13. Hipérbola
    1. Hipérbola como lugar geométrico 
    2. Relación entre los parámetros de la hipérbola a, b y c 
    3. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre alguno de los ejes coordenados 
    4. Formas ordinaria y general de la ecuación de la hipérbola con centro fuera del origen y eje focal paralelo a alguno de los ejes coordenados 
    5. Elementos de una hipérbola
  14. Ecuación general de segundo grado
    1. Las cónicas 
    2. Ecuación general de segundo grado 
    3. Criterios para identificar a la cónica que representa una ecuación de segundo grado 
    4. Traslación de ejes
  15. Límites
    1. Concepto intuitivo 
    2. Definición formal 
    3. Teoremas sobre límites 
    4. Obtención de límites
    5. Formas indeterminadas 
    6. Continuidad en un punto y en un intervalo
  16. La derivada
    1. Definición de derivada y sus notaciones 
    2. Obtención de derivadas 
    3. Regla de la cadena 
    4. Derivada de funciones implícitas 
    5. Derivadas sucesivas de una función 
    6. Interpretación geométrica y física 
    7. Ecuaciones de la tangente y de la normal a una curva 
    8. Cálculo de velocidad y aceleración de un móvil 
    9. Máximos y mínimos relativos de una función 
    10. Máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado 
    11. Puntos de inflexión y de concavidad en una curva 
    12. Problemas de la vida cotidiana
  17. La integral
    1. Función integrable en un intervalo cerrado 
    2. Teoremas que justifican las propiedades de la integral de una función 
    3. Integral inmediata 
    4. Tabla de fórmulas de integración 
    5. Métodos de integración 
    6. Integral definida y su notación

Guía matemáticas UNAM área 2 resuelta

Comenzamos con la solución paso a paso de los primeros 10 reactivos de matemáticas, para la guía UNAM del área 2 de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud.

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Reactivo 46

El valor de la siguiente operación es:

3\left[{2}^{-1}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+{2}^{0}

  1. \frac{25}{2}
  2. 9
  3. 7
  4. \frac{1}{2}

Solución:

En este caso, debemos aplicar correctamente las propiedades de las operaciones aritméticas básicas y respetar el orden de solución de los signos de agrupación. Comenzamos por el interior de los corchetes.

Deshacemos los paréntesis en su interior y aplicamos la propiedad del exponente negativo.

3\left[{2}^{-1}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+{2}^{0}=3\left[{2}^{-1}+\frac{3}{2}\right]+{2}^{0}=3\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right]+{2}^{0}

Aplicamos la suma de fracciones con igual denominador y simplificamos.

3\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right]+{2}^{0}=3\frac{4}{2}+{2}^{0}=3\left(2\right)+{2}^{0}

Resolvemos el dos elevado a cero y luego el producto 3\left(2\right) .

3\left(2\right)+{2}^{0}=3\left(2\right)+1=6+1=7

Finalmente:

3\left[{2}^{-1}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+{2}^{0}=7

Comparando nuestro resultado con las opciones, concluimos seleccionando como correcta la c).

Reactivo 47

Al simplificar \frac{{x}^{2}-5x+6}{2ax-6a} se obtiene:

  1. \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{2a}
  2. \frac{\left(x-3\right)}{2a\left(x-2\right)}
  3. \frac{\left(x-2\right)}{2a}
  4. \frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{2a}

Solución:

Para encontrar la forma simplificada de la expresión, debemos hacer dos cosas: factorizar el polinomio de segundo grado en el numerador y extraer factor común a en el denominador. Comencemos por factorizar el polinomio de segundo grado.

Buscamos dos números que sumados den -5 y multiplicados 6. Estos son -3 y -2.

-3-2=-5

\left(-3\right)\left(-2\right)=6

Factorizamos el polinomio:

\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2ax-6a}

Extraemos factor común 2a del denominador.

\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2ax-6a}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2ax-2a\left(3\right)}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2a\left(x-3\right)}

Simplificamos:

\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2a\left(x-3\right)}=\frac{\left(x-2\right)}{2a}

Finalmente:

\frac{{x}^{2}-5x+6}{2ax-6a}=\frac{\left(x-2\right)}{2a}

Concluimos seleccionando como respuesta correcta la opción c).

Reactivo 48

Al resolver 3x+2=4 ¿Cuál es el valor de x ?

  1. x=\frac{2}{3}
  2. x=\frac{3}{6}
  3. x=\frac{3}{2}
  4. x=\frac{6}{3}

Solución:

Para calcular el valor de x , debemos aplicar las propiedades de la igualdad hasta dejar sola a la variable en el miembro de la izquierda. Comenzamos por restar 2 en ambos miembros para quitar el +2 del primer miembro.

3x+2-2=4-2\to 3x=2

Ahora, dividimos ambos miembros por 3 para simplificar el 3 que multiplica a la variable.

\frac{3x}{3}=\frac{2}{3}\to x=\frac{2}{3}

El valor de x que satisface la ecuación dada es \frac{2}{3} .

Comparando con las opciones, concluimos escogiendo como correcta la a).

Reactivo 49

Obtén los valores de x , al resolver {x}^{2}+3x+2=0 .

  1. {x}_{1}=1;{x}_{2}=2
  2. {x}_{1}=2;{x}_{2}=3
  3. {x}_{1}=-1;{x}_{2}=-2
  4. {x}_{1}=-3;{x}_{2}=2

Solución:

El primer recurso que podríamos pensar para encontrar las soluciones a la ecuación de segundo grado, es emplear la fórmula de segundo grado, pero vale la pena utilizar un truco que permite factorizar el trinomio de forma más rápida.

Si los coeficientes de la ecuación cuadrática son a , b y c , debemos buscar dos números que sumados (o restados) sean iguales a b y que multiplicados sean iguales a c . En este caso b=3 y c=2 , por tanto, el 2 y el 1 cumplen con la condición descrita:

2+1=b\to 2+1=3

\left(2\right)\left(1\right)=c\to \left(2\right)\left(1\right)=2

Factorizamos a la ecuación de segundo grado como:

{x}^{2}+3x+2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)

Igualamos a cero:

\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0

Esta ecuación será igual a cero cuando alguno de los dos factores se anule.

x+1=0\to {x}_{1}=-1

x+2=0\to {x}_{2}=-2

Finalmente:

{x}_{1}=-1;{x}_{2}=-2

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 50

Resuelve la siguiente expresión.

-2x+6\ge 16

  1. x<-5
  2. x\ge 5
  3. x\le -5
  4. x>5

Solución:

Para encontrar el conjunto solución de cualquier inecuación, es necesario tener presente las propiedades de las desigualdades, muy similares a las propiedades de las igualdades, con la diferencia de que, si se multiplica o se divide por un número negativo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad. Comenzamos por restar 6 en ambos miembros.

-2x+6-6\ge 16-6\to -2x\ge 10

Dividimos por -2. Tengamos en cuenta que es necesario cambiar el sentido de la desigualdad.

-\frac{2x}{-2}\le \frac{10}{-2}\to x\le -5

El conjunto solución de la desigualdad son todos los valores de x menores o iguales a -5.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción c).

Reactivo 51

Soluciona el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{c}5x+2y-z=-7\\ x-2y+2z=0\\ 3y+z=17\end{array}\right.

  1. x=-2,y=3,z=5
  2. x=2,y=4,z=-5
  3. x=-2,y=4,z=5
  4. x=2,y=3,z=-5

Solución:

Para resolver el sistema de ecuaciones 3×3 del enunciado, podemos recurrir a los métodos: por sustitución, por igualación, por reducción o emplear la regla de Cramer.

En esa ocasión, emplearemos sustitución. Despejamos a z de la tercera ecuación, el resultado lo reemplazamos en 1 y 2 para obtener un sistema 2×2 más chico.

Despejando a z .

3y+z=17\to z=17-3y

Sustituyendo en 1.

5x+2y-\left(17-3y\right)=-7

5x+2y-17+3y=-7

5x+5y=17-7

5x+5y=10

Dividimos entre 5.

x+y=2

Sustituyendo z en 2.

x-2y+2\left(17-3y\right)=0

x-2y+34-6y=0

x-8y=-34

Nuevo sistema:

\left\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x-8y=-34\end{array}\right.

Despejamos a x de x+y=2 .

x+y=2\to x=2-y

Sustituimos en x-8y=-34 .

2-y-8y=-34

-9y=-36

\therefore y=4

Sustituimos este resultado en x=2-y .

x=2-4=-2

\therefore x=-2

Por último, para obtener a z sustituimos el valor de y en z=17-3y .

z=17-3\left(4\right)=5

\therefore z=5

La solución al SEL es:

x=-2;y=4;z=5

Comparando con los incisos, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 52

¿Cuál de las siguientes funciones tienen un comportamiento creciente?

  1. f\left(x\right)=-3x
  2. f\left(x\right)={3}^{-x}
  3. f\left(x\right)=\frac{3}{x}
  4. f\left(x\right)={x}^{3}

Solución:

Cuando hablamos de que una función sea creciente o decreciente, podemos centrarnos en estudiar esta característica para un intervalo cerrado de x o para todo el dominio de la variable. Debido a que el enunciado no especifica un intervalo, procedemos a estudiar el comportamiento de las funciones para todo su dominio.

Por otra parte, es necesario recordar que una función es creciente si para incrementos de x , las imágenes de f también crecen.

Función a.

f\left(x\right)=-3x

Esta función es una línea recta que pasa por el origen y con pendiente negativa, es decir, es una función que decrece linealmente.

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Función b.

f\left(x\right)={3}^{-x}

La función del inciso b es de tipo potencial con exponente negativo, es decir, que mientras más grande se haga x más cercano a cero estará la imagen de la función. Se trata de una función decreciente para todo su dominio.

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Función c.

f\left(x\right)=\frac{3}{x}

Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en x=0 , por lo que su dominio está definido por el conjunto x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,\infty \right) . En ambos conjuntos, la función es decreciente en el primero decrece desde cero hasta menos infinito y en el segundo conjunto desde más infinito hasta cero.

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Función d.

f\left(x\right)={x}^{3}

Por descartes, esta debería ser la respuesta correcta, pero si la analizamos detenidamente, es una función cuyo dominio es todos los reales y que crece a medida que crece x en todo su dominio.

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Concluimos indicando que la función del inciso d) es la respuesta correcta al ejercicio.

Reactivo 53

¿A cuánto equivale 45° en radianes?

  1. \frac{1}{4}\pi
  2. \frac{2}{3}\pi
  3. \frac{3}{4}\pi
  4. \frac{4}{3}\pi

Solución:

Para encontrar el equivalente en radianes del ángulo dado en grados, debemos emplear la relación lineal que dice que 180° es igual a \pi  radianes, de esta manera:

180°\to \pi 

45°\to x

Aplicamos regla de tres directa y despejamos el valor de x .

x=\frac{45° \pi }{180°}=\frac{\pi }{4}

Cuarenta y cinco grados equivalen a pi cuartos radianes.

Comparando con las opciones, concluimos que la correcta es la a).

Reactivo 54

Calcula el valor del coseno para el ángulo de 150° en el siguiente círculo trigonométrico.

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  1. -\frac{1}{2}
  2. \frac{1}{2}
  3. -\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. \frac{\sqrt{3}}{2}

Solución:

Para calcular el valor del coseno de 150°, podemos calcular el coseno de su ángulo suplementario y escribimos el resultado con signo negativo. Debemos hacer esto último porque 150° queda en el segundo cuadrante, región en la que el coseno es negativo.

El ángulo suplementario a 150° es 30°, calculamos el coseno de 30° y luego le cambiamos el signo.

\mathrm{cos}150°=-\mathrm{cos}30°

El coseno de 30° es notable y tiene el valor de \frac{\sqrt{3}}{2} , finalmente:

\mathrm{cos}150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Comparando con las opciones, concluimos indicando como correcta la c).

Reactivo 55

¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical de la función f\left(x\right)=2\mathrm{log}\left(x-3\right) ?

  1. x=3
  2. y=-3
  3. x=-3
  4. y=3

Solución:

Las asíntotas verticales de cualquier función, corresponden a los valores de la variable independiente que hacen que la función se indetermina, es decir, que pase a ver más o menos infinito. Cualquier función logarítmica existe siempre y cuando el argumento de la misma sea mayor que cero, por tanto, la asíntota vertical ocurre cuando el argumento es igual a cero.

x-3=0\to x=3

De forma gráfica esto queda:

3-guía-unam-matematica-area-2

Concluimos seleccionando al inciso a) como la respuesta correcta al ejercicio.

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