¡Hola de nuevo, aspirante! Vamos a resolver la tercera y última parte de nuestro examen simulacro de la Guía de EXANI II, por el módulo de Aritmética, desde el reactivo 41 hasta el 50.
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Curso Exani II 2024
Reactivo 41
Josué contabiliza las horas que estudia para un examen y luego lo contrasta con la nota final obtenida. Para la prueba de ayer, estudió unas 8 horas y obtuvo 8.5 de calificación. ¿Cuánto obtendría Josué si estudia 9 horas para el siguiente examen?
- 9.5
- 9
- 8
Solución:
Aplicando una lógica simple, sabemos que mientras mayor tiempo se estudie un tema, mejor será su comprensión y mayor será la calificación obtenida en el examen. Por tanto, aplicamos una regla de tres lineal.
8\mathrm{ }\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\to 8.5\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}
9\mathrm{ }\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}\to x\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}
Obtenemos:
x=\frac{\left(9\right)\left(8.5\right)}{8}=9.56 \mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{s}
Si Josué estudia por 9 horas, obtendrá una calificación de 9.56.
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 42
Exprese el número decimal 0.375 en forma de fracción.
- \frac{1}{3}
- \frac{3}{75}
- \frac{3}{8}
Solución:
Iniciamos multiplicando y dividiendo al número por una potencia de 10 con exponente igual a la cantidad de decimales del número. En este caso, el número tiene 3 cifras decimales, por tanto, multiplicamos y dividimos por {10}^{3}=1000 .
0.375\cdot \frac{1000}{1000}=\frac{375}{1000}
Ambos números son divisibles entre 5.
\frac{375}{1000}=\frac{75}{200}
De nuevo divisibles entre 5.
\frac{75}{200}=\frac{15}{40}
Nuevamente simplificamos por 5.
\frac{15}{40}=\frac{3}{8}
Finalmente:
0.375=\frac{3}{8}
La respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 43
Dos amigos rentan una piscina para el fin de semana, uno de ellos paga \frac{5}{12} partes del costo total. Si el otro amigo pagó 700 pesos, ¿cuántos pesos pagó el primer amigo?
- 500 pesos
- 600 pesos
- 800 pesos
Solución:
Iniciamos estableciendo la relación del primer amigo respecto del pago total.
\frac{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{5}{12}
Por otra parte, el pago del primer amigo junto al pago del segundo, suman el total del importe.
\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}
El segundo amigo aportó 700$.
\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}+700=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}
Despejamos de la primera relación el costo total.
\frac{\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{5}{12}\to \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}=\frac{12}{5}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}
Sustituimos.
\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}+700=\frac{12}{5}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}
Finalmente:
\frac{12}{5}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}-\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}=700
\frac{7}{5}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}=700\to \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{o}=500\mathrm{\$}
El aporte del primer amigo es igual a 500 pesos.
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 44
Un grupo de albañiles conformado por 10 hombres, debe terminar una estructura en 15 días. Surgen algunos problemas y pasados 10 días solo tienen listo el 45% de la obra. ¿Cuántos obreros extra se deben contratar para culminar el trabajo en el tiempo estipulado?
- 40 hombres
- 25 hombres
- 15 hombres
Solución:
Debido a que tenemos tres variables: cantidad de hombres, tiempo y porcentaje de la construcción, debemos emplear una regla de tres compuesta.
La incógnita es la cantidad de obreros extra que se deben contratar para terminar el 55% restante de la construcción en los 5 días restantes. Debemos establecer el tipo de relación entre las otras dos variables y la incógnita.
Tiempo y cantidad de obreros. A mayor cantidad de obreros, menor tiempo tomará realizar la obra. Relación inversa.
Porcentaje de la obra y cantidad de obreros. A mayor cantidad de obreros, mayor porcentaje de la obra se cubre al mismo tiempo. Relación directa.
\frac{x}{10}=\left(\frac{55}{45}\right)\left(\frac{10}{5}\right)\to x=10\left(\frac{55}{45}\right)\left(\frac{10}{5}\right)
x=24.4 \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\approx 25 \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
Si ya hay 10 hombres en la obra, hay que contratar 15 hombres más.
La respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 45
Un escritor se asocia con una editorial para publicar masivamente su nueva obra. El acuerdo con la casa editorial es 60% para el autor y 40% para la editorial, de lo recaudado por cada ejemplar vendido. Si cada uno tiene un precio de 150 pesos, ¿cuánto dinero recibe el autor?
- 60 pesos
- 100 pesos
- 90 pesos
Solución:
Debido a que el autor recibe el 60% por cada ejemplar vendido, debemos multiplicar el precio de venta por 0.6 para obtener la ganancia del autor.
\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}=\left(0.6\right)\left(150\right)=90 \mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}
El autor recibe 90 pesos por cada ejemplar vendido.
La respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 46
Dada la siguiente progresión aritmética, determine el término {a}_{1} y el valor de d .
-3, 1, 5, 9, \dots
- {a}_{1}=-1, d=4
- {a}_{1}=-3, d=3
- {a}_{1}=-3, d=4
Solución:
En toda progresión aritmética, tenemos al término inicial {a}_{1} (o {a}_{0} si la progresión inicia para n\ge 0 ) y a la diferencia entre términos consecutivos d . Al primer elemento lo encontramos por inspección y corresponde a -3 .
{a}_{1}=-3
Al segundo elemento lo encontramos restando a términos consecutivos.
d={a}_{2}-{a}_{1}=1-\left(-3\right)=4
Finalmente:
{a}_{1}=-3, d=4
Examinando las opciones, concluimos que la respuesta correcta es la c).
Reactivo 47
Para una progresión aritmética, sólo se conocen dos de sus términos {a}_{1}=2 y {a}_{3}=12 . Calcula el término general de dicha progresión.
- {a}_{n}=2+5\left(n-1\right)
- {a}_{n}=1+2\left(n-1\right)
- {a}_{n}=5+2\left(n-1\right)
Solución:
Examinando a los incisos, sabemos que la progresión debe empezar en n=1 , por tanto, el término {a}_{1}=2 es el primero de la progresión aritmética.
{a}_{n}={a}_{1}+d\left(n-1\right)\to {a}_{n}=2+d\left(n-1\right)
La diferencia d se obtiene restando a dos términos consecutivos, pero nos falta el término {a}_{2} . En su lugar, tenemos al término {a}_{3} cuyo n=3 . Sustituyendo estos valores en el término general, podemos calcular a d .
{a}_{3}=12=2+d\left(3-1\right)\to 12=2+2d
Despejamos.
d=\frac{12-2}{2}=5
Finalmente:
{a}_{n}=2+5\left(n-1\right)
Concluimos que la respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 48
Para preparar sus famosos tacos al pastor, el señor José utiliza 2 cebollas, 20 gramos de cilantro, 250 gramos de piña, medio kilogramo de lomo de cerdo y 4 limones. En total, el señor José logra sacar 10 tacos de esta receta.
El precio de los ingredientes en el mercado local es: 4 cebollas por 120 pesos, 50 gramos de cilantro por 20 pesos, medio kilogramo de piña en 10 pesos, el kilogramo de lomo de cerdo en 280 pesos y 5 limones por 10 pesos.
¿En cuánto debería vender el señor José sus tacos para obtener una ganancia mínima del 25%?
- 27 pesos por taco
- 28 pesos por taco
- 1 pesos por taco
Solución:
Iniciamos encontrando las razones entre precio y cantidad de alimento para cada producto.
\mathrm{C}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}=\frac{120\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{4 \mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}}=30\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}}
\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{o}=\frac{20\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{50 \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}}=\frac{2}{5}\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}
\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{ñ}\mathrm{a}=\frac{10\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{0.5 \mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}}=20\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}
\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}=\frac{280\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{1 \mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}=280\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}
\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}=\frac{10\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{5 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}}=2\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{ó}\mathrm{n}}
Ahora, calculamos el costo de los tacos con las cantidades adquiridas.
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}=2\mathrm{ }\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}\cdot 30\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{s}}+20\mathrm{ }\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\cdot \frac{2}{5}\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}+0.25 \mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\cdot 20\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}+0.5 \mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\cdot 280\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{o}}+4\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{s}\cdot 2\frac{\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{ó}\mathrm{n}}
\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}=218.5\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{s}
Dividimos entre el total de tacos para obtener el precio por taco.
\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}=\frac{221\mathrm{ }\$}{10}=22.1\$
Adicionamos el 25% de ganancia para obtener el precio de venta por taco.
\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{ }\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}=22.1\cdot 1.25=27.6\mathrm{\$}
Comparando con los incisos, la respuesta correcta es el b).
Reactivo 49
Complete la siguiente progresión aritmética.
-\frac{1}{2}, ,\frac{5}{6}, ,\frac{13}{6},\dots
- \frac{1}{6} y \frac{3}{2}
- \frac{1}{3} y \frac{1}{2}
- \frac{1}{6} y \frac{1}{2}
Solución:
A partir de la progresión aritmética, sabemos que {a}_{1}=-\frac{1}{2} . No es posible conocer la diferencia porque no contamos con términos consecutivos, pero, podemos despejar a d mediante el término general.
{a}_{n}=-\frac{1}{2}+d\left(n-1\right)
Sustituimos al término n=3\to {a}_{3}=\frac{5}{6} .
\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}+d\left(3-1\right)\to \frac{5}{6}+\frac{1}{2}=2d
2d=\frac{4}{3}\to d=\frac{2}{3}
Con esto, obtenemos al término n=2 y n=4 .
{a}_{2}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\left(2-1\right)=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{1}{6}
{a}_{4}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\left(4-1\right)=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}
Completando la progresión obtenemos:
-\frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{5}{6},\frac{3}{2},\frac{13}{6},\dots
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 50
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
{\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{2\frac{1}{2}-3}
- \frac{1}{2}
- \frac{2}{3}
- \frac{3}{2}
Solución:
Iniciamos simplificando al exponente de la potencia.
{\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{2\frac{1}{2}-3}={\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{2+\frac{1}{2}-3}={\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{\frac{5}{2}-3}={\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}
Ahora, simplificamos las fracciones mixtas de la base.
{\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(2+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(\frac{8}{2}\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(4\right)}^{-\frac{1}{2}}
Eliminamos el signo negativo del exponente.
{\left(4\right)}^{-\frac{1}{2}}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}
Aplicamos raíz cuadrada.
{\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}
Finalmente:
{\left(2\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}\right)}^{2\frac{1}{2}-3}=\frac{1}{2}
La respuesta correcta es el inciso a).
