Los Números Reales: propiedades, ejemplos y ejercicios resueltos

Las propiedades de los números reales son un campo numérico con miles de años de antigüedad pero solo a mediados del siglo pasado, los matemáticos entendieron sus fundamentos y la forma en la que está construido.

numeros naturales y sus propiedades

Con frecuencia, haces uso de los números reales para dar vida a tu día. Cuando pagas el metro, compras tus golosinas favoritas y al pensar en cualquier cantidad.

Tienen una importancia tan gigantesca, que las matemáticas tal como las conocemos hoy dependen enormemente de ellos.

Los números reales y sus propiedades

Seguro te estarás preguntando ¿Por qué llamarlos números reales? ¿A caso existen números de los que no puedo hacer una imagen mental?

Ambas preguntas tienen una respuesta similar, ya que el nombre de reales permite distinguirlos del conjunto numérico compuesto por √-1 conocidos como números imaginarios.

En esta guía, aprenderás a identificar sus propiedades y entenderás como utilizarlas a tu favor para resolver problemas matemáticos más complejos.

El conjunto de los números reales

Se encuentra compuesto por 4  sub conjuntos numéricos enumerados a continuación:

  • Números naturales
  • Números enteros
  • Números racionales
  • Números irracionales

Vamos a ver conocer cada uno de ellos.

Números naturales

Los Números naturales son los números más antiguos que ha utilizado el hombre y también los más simples. Nacen de la necesidad de contar y cuantificar objetos. Se caracterizan por siempre ser positivos y su símbolo es ℕ.

Ejemplos de números naturales son:

ℕ = {0, 1, 2, 3,…}

Números enteros

Los Números enteros están compuestos por el conjunto de números naturales, sus opuestos negativos y el cero.

Tienen lugar al momento de realizar operaciones del estilo 4 – 6, donde el resultado ya no pertenece a los naturales, dando paso a los números negativos.

En su representación, los números positivos quedan del lado derecho, al centro el cero y a la izquierda los negativos. Entendiendo que los números negativos son menores que el cero. El símbolo para los números enteros es Z.

Ejemplo de números enteros:

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Los números enteros suelen emplearse como referencia a todas aquellas cantidades (positivas y negativas) que no poseen números decimales.

Por ejemplo: estudiantes en un aula de clase, el número de elementos químicos en la tabla periódica o la temperatura bajo cero en invierno.

Números racionales

Los Números racionales son todos aquellos números representados por el cociente de dos números enteros.

Los números racionales se escriben como fracciones cuando tienes la necesidad de representar cocientes inexactos o con una cantidad de decimales cíclica o finita.

Una fracción o numero racional está compuesta por tres elementos: un numerador, una operador de cociente (/, : o ÷) y un denominador. El símbolo para representar los números racionales es Q.

Ejemplos de números racionales:

Q = {…, -3:4, -1/2, 0,…, 33÷4,…}

Números irracionales

Los Números irracionales son el último campo numérico que compone a los reales.

Los irracionales son cantidades que no pueden ser expresadas como el cociente entre dos números enteros, también se llama irracional a todo numero con infinitos decimales o con decimales no periódicos.

Otra forma de decir que un número es irracional, es indicar que no pertenece a los racionales. El símbolo de los números irracionales es I. A su vez, los números irracionales se encuentran clasificados en dos grupos:

  • Números algebraicos: aquellos obtenidos al resolver una ecuación algebraica, por ejemplo x^{2}-1=0
  • Numero trascendentes: son números irracionales con decimales infinitos y que provienen de las llamadas funciones trascendentales. Algunos ejemplos de números trascendentales son π y e

Ejemplos de números irracionales:

I = {…, -√2, -sin(30°),…. ,  0,… , π,…}

Números reales

Los Números reales son  el conjunto numérico compuesto por I, Q, Z y N.

Propiedades de los números reales

En los números reales existen dos operaciones básicas: la suma y la multiplicación. De ellas se extiende la resta y división como operaciones opuestas de la suma y la multiplicación respectivamente.

Propiedad conmutativa de la suma: el orden de los sumandos no altera el producto. Ejemplo:

a+b=b+a

2+3=3+2=5

Propiedad asociativa de la suma: dados tres o más sumandos, se pueden agrupar de cualquier forma sin que se altere el resultado. Ejemplo:

a+b+c=a+b+c=a+(b+c)

2+3-6=2+3-6=2+3-6=-1

Propiedad conmutativa de la multiplicación: el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo:

a*b=b*a

2*3=3*2=6

Propiedad asociativa de la multiplicación: dados tres o más factores, se pueden agrupar de cualquier forma sin que se altere el resultado. Ejemplo:

a*b*c=a*b*c=a*(b*c)

2*3*6=2*3*6=2*3*6=36

Propiedad distributiva: es una propiedad derivada de la suma y la multiplicación. Dados tres números a, b y c el producto de a por la suma b con c es igual a la suma de los productos ab y ac. Ejemplo:

a*(b+c)=a*b+a*c

2*(3+6)=2*3+2*6=18

Elemento neutro de la suma y la multiplicación:

  • El elemento neutro de la suma, es aquel número que sumado con otro da como resultado al segundo número. En la suma es el cero. Ejemplo:

a+N_{s}=a | N_{s}=0

2+0=2

  • El elemento neutro del producto, es aquel número que multiplicado con otro da como resultado al segundo número. En la multiplicación es el uno. Ejemplo:

a*N_{m}=a | N_{m}=1

2*1=2

Ejercicio selecciona la propiedad correcta

En la siguiente igualdad  3 \sqrt{5}+3\sqrt{7}=3(\sqrt{5}+\sqrt{7}) se ejemplifica la propiedad ___________ de los números reales.

  1. Asociativa
  2. Distributiva
  3. Conmutativa
  4. Neutro aditiva

Solución:

Si comparas la igualdad con las propiedades vistas en el apartado anterior, queda claro de inmediato que la respuesta correcta es la b) Propiedad Distributiva.

¿Por qué es Distributiva? Si examinas la igualdad con atención y recuerdas la forma de la propiedad distributiva: a*(b+c)=a*b+a*c te darás cuenta que el número 3 juega el papel de a, 5 seria b y 7 la letra c.

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