Guía UAM CBI Ciencias básicas e ingeniería | Matemáticas Parte 3

¡Seguimos con la tercera parte! En este post vamos a resolver los reactivos del 33 al 42 de la tercera parte en la guía de matemáticas UAM para las divisiones de Ciencias Básicas e Ingeniería y Ciencias Naturales e Ingeniería.

GUIA-UAM-CBI-PARTE-3-1

Parte II Parte IV

Si aún no resuelves los reactivos por tu cuenta, hazlo y luego regresa. Utiliza este material como consulta o para salir de dudas.

Guía UAM Matemáticas Parte 3 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de la tercera parte de los reactivos de matemáticas para las divisiones de CBI y CNI.

Los reactivos se han dividido en secciones de 10 para que tomes un descanso entre grupos. Esto último es importante para que puedas sentar los conocimientos adquiridos.

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Reactivo 33: Porcentajes y proporciones

Si el 55% de los habitantes de la ciudad tiene automóvil y las 2/5 partes de ellos no lo utilizan el fin de semana ¿Qué porcentaje de los habitantes no utiliza auto el fin de semana?

  1. 45%
  2. 88%
  3. 22%
  4. 33%
  5. 67%

Solución:

Ya que dos quintas partes (2/5) de los habitantes que tienen automóvil no lo utilizan el fin de semana, podemos calcular el porcentaje de habitantes con auto que no lo utilizan el fin de semana multiplicando 2/5 por 55%.

P=55\%\bullet \frac{2}{5}=22\%

El 22% de los habitantes tienen automóvil y no lo utilizan el fin de semana.

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la C.

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Reactivo 34: Integral indefinida

Calcula la integral:

\int \left(5{x}^{4}-3{x}^{-4}+1\right)dx

  1. {x}^{5}+{x}^{-3}+x+C
  2. 20{x}^{3}+12{x}^{-5}+C
  3. 5{x}^{5}-3{x}^{-3}+x+C
  4. 20{x}^{3}-12{x}^{-5}+C
  5. {x}^{4}+\frac{3}{5}{x}^{-5}+x+C

Solución:

Para calcular la primitiva de la función integrando, debemos decidir con qué método de integración comenzar en base a las características de la misma.

En este caso, se trata de una función cuyos términos son: un monomio de cuarto grado, una función fracción y un término independiente, por tanto no será necesario recurrir a un método específico. Separaremos la integral en 3 y luego aplicamos las fórmulas de integración directa.

Propiedad de la integral de la suma.

\int \left(5{x}^{4}-3{x}^{-4}+1\right)dx=\int 5{x}^{4}dx-\int 3{x}^{-4}dx+\int dx

Aplicamos la fórmula de integral de una potencia e integral del diferencial.

\int 5{x}^{4}dx-\int 3{x}^{-4}dx+\int dx=\frac{5{x}^{4+1}}{4+1}-\frac{3{x}^{-4+1}}{-4+1}+x+C

=\frac{5}{5}{x}^{5}+\frac{3}{3}{x}^{-3}+x+C

={x}^{5}+{x}^{-3}+x+C

Concluimos que:

\int \left(5{x}^{4}-3{x}^{-4}+1\right)dx={x}^{5}+{x}^{-3}+x+C

Comparando con las opciones, seleccionamos a la A como la respuesta correcta.

El temario específico lo puedes consultar ingresando a la guía UAM CBI y CNI 2022.

Reactivo 35: Porcentajes y proporciones

¿Qué tanto por ciento de 80\frac{1}{3}    es 20\frac{1}{12} ?

  1. 10%
  2. 25%
  3. 15%
  4. 20%
  5. 30%

Solución:

Para calcular el porcentaje, debemos hacer el cociente de 20\frac{1}{12}   sobre 80\frac{1}{3}   y luego multiplicarlo por 100%, es decir aplicar la definición de porcentaje:

\%=\frac{{N}_{\%}}{N}*100\%

Pero antes, debemos decidir si vamos utilizar las fracciones mixtas o en su forma pura. En este caso, lo haremos en fracciones puras y por ende, debemos transformarlas.

20\frac{1}{12}=20+\frac{1}{12}=\frac{20\bullet 12+1}{21}=\frac{241}{12}

80\frac{1}{3}=80+\frac{1}{3}=\frac{80\bullet 3+1}{3}=\frac{241}{3}

Ahora, procedemos a sustituir la fórmula de porcentaje. \frac{241}{12}   va en el numerador y \frac{241}{3}   en el denominador.

\%=\frac{\frac{241}{12}}{\frac{241}{3}}*100=25\%

Concluimos que: 20\frac{1}{12}=\frac{241}{12}   representa el 25% de 80\frac{1}{3}=\frac{241}{3} .

Comparando con las opciones, escogemos como respuesta correcta a la B.

Reactivo 36: Porcentajes

Un banco ofrece el 5% de interés semestral ¿Cuánto esperas tener en este banco en un año, si depositaste $1 000.00 y no retiraste los intereses?

  1. $1 050.00
  2. $1 102.50
  3. $1 100.00
  4. $1 210.50
  5. $1. 100.50

Solución:

El 5% de intereses semestral implica que cada seis meses, el saldo en la cuenta bancaria aumenta un 5%, si la proyección se realiza para un año en los primeros 6 meses se obtiene un 5% del saldo, es decir:

\$1000.00*105\%=\$1050.00

Al finalizar el segundo semestre del año, se obtiene el otro 5% en intereses. Debemos calcular el 105% del saldo acumulado que, como no hubo ningún retiro y suponemos tampoco otro ingreso externo se mantiene en $1 050.00.

\$1050.00*105\%=\$1102.5

Comparando con las opciones, escogemos a B como la respuesta correcta.

Reactivo 37: Valor numérico de una expresión

Calcula el valor numérico de la expresión \frac{3{m}^{2}}{\sqrt{2n}} , cuando m=-3   y n=2 .

  1. \frac{27}{2}
  2. \frac{9}{4}
  3. -\frac{27}{2}
  4. \frac{9}{2}
  5. \frac{12}{2}

Solución:

Primero, sustituimos el valor numérico de m   y n   en la expresión dada.

\frac{3{\left(-3\right)}^{2}}{\sqrt{2\left(2\right)}}

Calculamos el cuadrado de -3 y resolvemos el producto dentro de la raíz.

\frac{3{\left(-3\right)}^{2}}{\sqrt{2\left(2\right)}}=\frac{3\bullet 9}{\sqrt{4}}

Por último, simplificamos el producto en el numerador y resolvemos la raíz del denominador.

\frac{3\bullet 9}{\sqrt{4}}=\frac{27}{2}

Comparando nuestro resultado con los incisos, seleccionamos como correcto al A.

Reactivo 38: Desigualdades

Si x   es un entero negativo ¿Cómo se ordenan j, k, l   de menor a mayor?

j=1-x k=x-1 l=(1-x)+(x-1) 

  1. k<j<l
  2. k<l<j
  3. l<j<k
  4. j<k<l
  5. l<k<j

Solución:

Analizaremos cada expresión para determinar el signo y luego comparar a las variables entre sí.

j=1-x

Ya que x   es negativo, si se multiplica por -1 el resultado será un número positivo que se suma con el 1, por tanto: j>0 .

k=x-1

Como x   es negativo, si se le resta 1 el resultado será un número más negativo, por tanto k<0 .

l=(1-x)+(x-1)

Extraemos factor común menos del segundo término.

l=\left(1-x\right)-(1-x)

El resultado de restar dos números iguales es cero, por tanto:

l=0

Podemos concluir que: k   es un número negativo, j   es positivo y l   es igual a cero. Ordenados de forma creciente quedarían: k\to l\to j . Expresado como una desigualdad:

k<l<j

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la opción B.

Reactivo 39: Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (mcm) de los números 30, 20 y 50 es ________.

  1. 10
  2. 50
  3. 20
  4. 300
  5. 30 000

Solución:

Para calcular el mcm de un conjunto de números, debemos descomponerlos en factores y realizar el producto de aquellos factores de potencia mayor.

Descomponiendo en factores al 30:

30=2\bullet 5\bullet 3

Descomponiendo en factores al 20:

20={2}^{2}\bullet 5

Descomponemos en factores al 50:

50=2\bullet {5}^{2}

En este caso, los factores de mayor potencia son: {2}^{2}, {5}^{2}   y 3, por tanto el mcm es:

mcm\left(30, 20, 50\right)={2}^{2}\bullet {5}^{2}\bullet 3=300

Finalizamos seleccionando como respuesta correcta al inciso D.

Reactivo 40: Orden de las operaciones

Al eliminar los paréntesis en la expresión -\left[\right(a+b)-(2a-b\left)\right]-(2a-b)   el resultado es ________.

  1. -a+b
  2. a-2b
  3. -a-b
  4. a-b
  5. -a+2b

Solución:

Para deshacer los corchetes y paréntesis en la expresión, debemos aplicar distributiva del signo que se encuentra a la izquierda del término. En el primero, deshacemos los corchetes multiplicando el menos por los elementos internos.

-\left[\left(a+b\right)-\left(2a-b\right)\right]-\left(2a-b\right)=-\left(a+b\right)+\left(2a-b\right)-\left(2a-b\right)

Podríamos directamente hacer lo mismo con los paréntesis pero, el segundo y tercer término son iguales pero con signos diferentes, por tanto su resta es igual a cero.

-\left(a+b\right)+\left(2a-b\right)-\left(2a-b\right)=-\left(a+b\right)

Luego de esta simplificación, podemos deshacer los paréntesis aplicando propiedad distributiva con el signo menos.

-\left(a+b\right)=-a-b

Comparando nuestro resultado con las opciones, escogemos como respuesta correcta a la C.

Reactivo 41: Gráfica de una parábola

La gráfica de la parábola definida por la ecuación y={x}^{2}-3x-18   está representada en la opción ______.

Solución:

Para determinar la gráfica que representa a la parábola y={x}^{2}-3x-18   debemos identificar dos cosas: hacia donde abre y cuáles son sus puntos de corte. El sentido nos lo da el signo del término cuadrático, en este caso es positivo y por ende, abre paralela al eje y   y hacia arriba.

Esto reduce la respuesta a las opciones D y E. Los puntos de corte con el eje x   se calculan igualando a cero la ecuación de la parábola.

{x}^{2}-3x-18=0

Resolvemos aplicando la fórmula de segundo grado.

x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

Con:

a=1, b=-3, c=-18

Sustituimos y resolvemos.

x=\frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^{2}-4\left(1\right)\left(-18\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{3\pm \sqrt{81}}{2}

{x}_{1}=\frac{3+9}{2}=6

{x}_{2}=\frac{3-9}{2}=-3

Concluimos que: la parábola debe abrir hacia arriba y cortar en x=-3   y x=6 .

Comparando con las gráficas de los incisos, nuestro resultado concuerda con el del inciso D.

Reactivo 42: Operaciones con potencias

El valor que se obtiene de {\left[{\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{-3}   es __________.

  1. \frac{1}{4}
  2. \frac{1}{8}
  3. 4
  4. 8
  5. 2

Solución:

Para encontrar el valor de la expresión, debemos aplicar primero la propiedad de potencia de una potencia, luego la del exponente negativo y por último evaluar el exponente.

Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.

{\left[{\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{-3}={\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}*-3}={\left(\frac{2}{8}\right)}^{-\frac{3}{2}} 

Exponente negativo: se cambia de signo el exponente y se invierte de lugar al numerador y denominador de la base.

{\left(\frac{2}{8}\right)}^{-\frac{3}{2}}={\left(\frac{8}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}

Antes de continuar, podemos simplificar la fracción.

{\left(\frac{8}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(4\right)}^{3/2}

Por último, escribimos al exponente racional como raíz y potencia.

{\left(4\right)}^{3/2}=\sqrt{{4}^{3}}

Resolvemos la potencia y luego la raíz.

\sqrt{{4}^{3}}=\sqrt{64}=8

Concluimos que:

El valor que se obtiene de {\left[{\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{-3}   es 8.

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la D.

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