Guía IPN Cálculo Diferencial reactivos 11 al 20 resueltos

El cálculo Diferencial es uno de los componentes claves de la lista de reactivos que componen el examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional. Debido a esto, además de su grado de complejidad, queremos acompañarte en tu preparación, razón por la que hemos preparado esta guía de reactivos resueltos dividida en 5 partes.

CALCULO-DIFERENCIAL (2) guia ipn resuelta

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Ten presente que esta es una de las áreas con mayor grado de exigencia o dificultad que encontrarás en este examen, razón por la que siempre recomendamos estudiar muy bien todos los temas de cálculo.

Debido a esto, recuerda que el cálculo es uno de los componentes más complicados del área de las matemáticas, por lo que si consideras que no tienes un buen dominio de los componentes básicos, le dediques un tiempo a repasar las otras áreas de matemáticas que componen este examen.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Con respecto al examen de admisión del Instituto Politécnico Nacional, debes saber que este se desglosa en dos partes importantes. La primera se enfoca en todo lo referente a matemáticas y comunicación, mientras que la segunda, verás reactivos inherentes a áreas de Física, Biología y Química.

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Dicho esto, acá te dejamos con un listado desglosado de la cantidad de preguntas o reactivos que verás en cada área:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Sin más que añadir al respecto, a continuación te dejamos con la segunda parte de nuestra guía resuelta de cálculo diferencial del IPN:

Reactivo 11: Inecuaciones con valor absoluto

El intervalo _____________ es la solución de la desigualdad: \left|\frac{3}{4} x-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{3}

  1. \left(\frac{2}{9}, \frac{10}{9}\right)
  2. \left(-\frac{2}{9}, \frac{10}{9}\right)
  3. \left(-\frac{10}{9}, \frac{2}{9}\right)
  4. \left(-\frac{10}{9},-\frac{2}{9}\right)

Solución:

Para calcular el conjunto solución de la inecuación, se aplica la definición de módulo cuando el símbolo de desigualdad es menor que.

|x|<a \rightarrow-a<x<a

Llevando esto al problema, se deshace el valor absoluto quedando la inecuación como:

\left|\frac{3}{4} x-\frac{1}{2}\right|<\frac{1}{3} \rightarrow-\frac{1}{3}<\frac{3}{4} x-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}

Ahora, se puede calcular el conjunto solución para x aplicando las propiedades de las desigualdades.

-\frac{1}{3}<\frac{3}{4} x-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}

Se suma en todos los miembros \frac{1}{2} .

-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}<\frac{3}{4} x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}<\frac{1}{3}+\frac{1}{2}

\frac{1}{6}<\frac{3}{4} x<\frac{5}{6}

Se divide en todos los miembros por \frac{3}{4} .

\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}<\frac{\frac{3}{4} x}{\frac{3}{4}}<\frac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{4}}

\frac{2}{9}<x<\frac{10}{9}

El conjunto solución son todos los números reales comprendidos entre \frac{2}{9} \text{ y } \frac{10}{9} . Expresado en notación de intervalo queda:

x \in\left(\frac{2}{9}, \frac{10}{9}\right)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 12: Problemas con inecuaciones

Determinar el intervalo de números reales cuya distancia al punto 1/2 es menor o igual que 3/2:

  1. [1,2]
  2. [-1,2]
  3. \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]
  4. \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]

Solución:

En este caso, se nos pide calcular el conjunto de números que respecto a \frac{1}{2} , su distancia es menor o igual que \frac{3}{2} . Recordemos que la distancia entre dos números cualesquiera en una recta real se mide a través de su diferencia, por tanto:

x-\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}

Se utiliza el símbolo \leq que establece la relación menor o igual. Ahora, las distancias son siempre positivas, por lo que es necesario aplicar valor absoluto para que dicha condición se cumpla. La inecuación quedaría entonces:

\left|x-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{3}{2}

En una recta real, esto se podría dibujar de la siguiente forma:

Donde a \text { y } b son los extremos el intervalo de solución.

Se trata de una inecuación con valor absoluto. Para resolverla, es necesario aplicar la definición de módulo en forma de desigualdad.

\left|x-\frac{1}{2}\right| \leq \frac{3}{2} \rightarrow-\frac{3}{2} \leq x-\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}

Se suma en todos los miembros \frac{1}{2} .

-\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \leq x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2}+\frac{1}{2}

-1 \leq x \leq 2

El conjunto solución son todos los números desde -1 hasta el 2 incluidos. Expresado en notación de desigualdad queda:

x \in[-1,2]

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 13: Problemas con inecuaciones

Determinar mediante desigualdades el conjunto de números reales cuya distancia a 1/3 es mayor que 5/2.

  1. x<\frac{1}{3} \text { o } x>\frac{5}{2}
  2. x<-\frac{1}{3} \text { o } x>\frac{5}{2}
  3. x<\frac{13}{6} \text { o } x>\frac{17}{6}
  4. x<-\frac{13}{6} \text { o } x>\frac{17}{6}

Solución:

Debemos calcular el conjunto de números reales cuya distancia medida desde 1/3 es mayor que 5/2. La distancia entre dos números, medida sobre una recta numérica es simplemente la resta de ambos, por tanto:

x-\frac{1}{3}>\frac{5}{2}

Como las distancias son siempre positivas, se aplica valor absoluto a la resta de ambas cantidades:

\left|x-\frac{1}{3}\right|>\frac{5}{2}

Dibujado sobre una recta real, la relación seria:

Donde a \text { y } b son los extremos interiores del intervalo, es decir, donde la distancia es exactamente 5/2.

Aplicamos la definición de valor absoluto cuando el símbolo de desigualdad es mayor que.

|x|>a \rightarrow x<-a, x>a

\left|x-\frac{1}{3}\right|>\frac{5}{2} \rightarrow x-\frac{1}{3}<-\frac{5}{2}, x-\frac{1}{3}>\frac{5}{2}

Resolvemos ambas inecuaciones en simultáneo aplicando las propiedades para las desigualdades.

x-\frac{1}{3}<-\frac{5}{2} \quad x-\frac{1}{3}>\frac{5}{2}

Se suma \frac{1}{3} en ambas inecuaciones.

x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}<\frac{1}{3}-\frac{5}{2} \quad x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}>\frac{1}{3}+\frac{5}{2}

x<-\frac{13}{6} \quad x>\frac{17}{6}

El conjunto solución son todos los números menores que -\frac{13}{6} o todos los números mayores que \frac{17}{6} . Expresado en notación de inecuación quedaría como:

x \in\left(-\infty,-\frac{13}{6}\right) \cup\left(\frac{17}{6}, \infty\right)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 14: Extremos de un Intervalo con Inecuaciones

Encontrar los números a y b, para poder expresar el intervalo (1,2) como solución de una desigualdad con valor absoluto de la forma: |x-a|<b

  1. a=\frac{3}{2}, b=\frac{1}{2}
  2. a=-\frac{3}{2}, b=\frac{1}{2}
  3. a=2, b=1
  4. a=1, b=2

Solución:

Primero, aplicaremos la definición de valor absoluto para una desigualdad con símbolo menor que. A partir de ello, buscaremos formar un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (a \text{ y } b) para calcular sus valores y resolver el problema.

|x-a|<b \rightarrow-b<x-a<b

Aplicando la propiedad c>a, c<b \rightarrow a<c<b partimos la desigualdad en dos inecuaciones lineales.

-b<x-a<b \rightarrow x-a>-b, x-a<b

Resolvemos aplicando las propiedades de las desigualdades.

x-a+a>-b+a \quad x-a+a<b+a

x>a-b \quad x<b+a

Según este resultado, el intervalo solución es:

x \in(a-b, a+b)

Igualando ambos extremos al intervalo (1,2) dado por el problema queda que:

\left\{\begin{array}{l} a-b=1 \\ a+b=2 \end{array}\right.

Al resolver el pequeño sistema de ecuaciones (aplicando cualquier método conocido por el estudiante) los valores para  y  son:

a=\frac{3}{2} y b=\frac{1}{2}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

 

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Reactivo 15: Dominio de una función

El dominio de la función f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} es:

  1. (-\infty, 1) \cup(-1,+\infty)
  2. (+\infty, 1) \cup(-1,-\infty)
  3. (-\infty,-1) \cup(1,+\infty)
  4. Todos los números reales

Solución:

Para calcular el dominio de cualquier función, basta con estudiar individualmente el conjunto de valores reales que aceptan cada una de las partes que la componen, la intersección de todos esos conjuntos será el dominio de la función original.

Para nuestro caso, la función tiene un único componente en el denominador. Para que una función racional exista, su denominador debe ser diferente de cero, por tanto:

\sqrt{x^{2}-1} \neq 0

Además, para que el radical con índice par igual a 2 exista, el radicando debe ser mayor o igual que cero. Como el resultado del radical es directamente el denominador de la función total, necesitamos que no se haga cero, es decir, que el radicando sea mayor que cero.

S 1:\left\{x \mid x^{2}-1>0\right\}

Con esta única condición, podemos calcular el dominio de la función total.

\operatorname{Dom}(f)=S 1

x^{2}-1>0

Sumamos en ambos miembros 1.

x^{2}-1+1>1

x^{2}>1

Aplicamos raíz cuadrada.

\sqrt{x^{2}}>1

\sqrt{x^{2}} es equivalente al valor absoluto de x , por tanto.

|x|>1

Resolvemos aplicando la definición de valor absoluto para desigualdades.

|x|>1 \rightarrow x<-1, x>1

x<-1 \quad x>1

Uniendo ambas soluciones en notación de intervalos concluimos que:

\text { S1: } \forall x \in(-\infty,-1) \cup(1, \infty)

Entonces:

\operatorname{Dom}(f)=\forall x \in(-\infty,-1) \cup(1, \infty)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 16: Dominio de una función

Expresar el dominio de la función f(x)=\frac{\sqrt{4 x-2 x^{2}}}{x-2} en forma de intervalo.

  1. [0,2]
  2. (-2,0]
  3. (-\infty, 0] \cup(2, \infty)
  4. (-\infty,-2) \cup(0, \infty)

Solución:

Como se mencionó en el problema anterior, el dominio de una función no es más que la intersección de los dominios de cada una de las funciones que conforman a la función original.

S=\bigcap_{i=1}^{n} S_{i}

Donde S_{i} es el dominio de la i-ésima función

En este caso, f(x) es una función racional con funciones en el numerador y el denominador. La función numerador es radical, por lo que su radicando debe ser mayor o igual que cero.

S_{1}=\left\{\sqrt{4 x-2 x^{2}} \in R \mid 4 x-2 x^{2} \geq 0\right\}

La función denominador es lineal, la única restricción que tiene es que debe ser distinta de cero.

S_{2}=\{x-2 \in R \mid x-2 \neq 0\}

Resolvemos para S_{1} .

4 x-2 x^{2} \geq 0

2 x(2-x) \geq 0 \rightarrow x(2-x) \geq 0

Para que la desigualdad se cumpla:

x \geq 0 \text{ y } 2-x \geq 0 \text { o } x \leq 0 \text{ y }  2-x \leq 0

x \geq 0 \text { y } x \leq 2 \text { o } x \leq 0 \text { y } x \geq 2

Intersectando y uniendo queda:

S_{1}=x \in[0,2]

Resolvemos para S_{2} .

x-2 \neq 0 \rightarrow x \neq 2

S_{2}=x \in R-\{2\}

Intersectamos ambos dominios para determinar, finalmente, el de la función original.

S=S_{1} \cap S_{2}=[0,2] \cap R-\{2\}

S=x \in[0,2)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 17: Límite de una Función

Calcular el siguiente límite: \lim _{x \rightarrow-1} \frac{4-\sqrt{7-9 x}}{3 x+3}

  1. -\frac{3}{8}
  2. -\frac{4}{3}
  3. \frac{4}{3}
  4. \frac{3}{8}

Solución:

Para resolver límites de funciones de manera algebraica, se puede seguir el siguiente procedimiento:

  1. Se evalúa a la función en el valor al que tiende la variable. En este caso -1
  2. Verifica el resultado
    • Si es un número real, infinito o menos infinito ese es el valor del límite de la función en ese punto
    • Si se presenta alguna de las formas indeterminadas: \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \cdot \infty, 0^{0}, \text { etc } aplicar artificios matemáticos hasta deshacerla
    • Si los límites laterales son distintos o el resultado sale de los reales, se dice que el límite no existe

Comencemos por evaluar el límite dado:

\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4-\sqrt{7-9 x}}{3 x+3}=\frac{4-\sqrt{7-9(-1)}}{3(-1)+3}=\frac{4-4}{-3+3}=\frac{0}{0}

Se presenta una indeterminación \frac{0}{0} , es necesario romperla aplicando artificios matemáticos. Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador, es decir 4+\sqrt{7-9 x} .

\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4-\sqrt{7-9 x}}{3 x+3} \cdot \frac{4+\sqrt{7-9 x}}{4+\sqrt{7-9 x}}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(4-\sqrt{7-9 x})(4+\sqrt{7-9 x})}{(3 x+3)(4+\sqrt{7-9 x})}

Simplificamos el numerador.

\lim _{x \rightarrow-1} \frac{4^{2}-(\sqrt{7-9 x})^{2}}{(3 x+3)(4+\sqrt{7-9 x})}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{16-7+9 x}{(3 x+3)(4+\sqrt{7-9 x})}

\lim _{x \rightarrow-1} \frac{9+9 x}{(3 x+3)(4+\sqrt{7-9 x})}

Se extraen factor común 9 y 3.

\lim _{x \rightarrow-1} \frac{9(1+x)}{3(x+1)(4+\sqrt{7-9 x})}=3 \lim _{x \rightarrow-1} \frac{(1+x)}{(x+1)(4+\sqrt{7-9 x})}

Simplificamos los factores 1+x .

3 \lim _{x \rightarrow-1} \frac{1}{4+\sqrt{7-9 x}}

Llegados a este punto, sustituimos x=-1 en la función para comprobar si se ha roto la indeterminación.

3 \lim _{x \rightarrow-1} \frac{1}{4+\sqrt{7-9 x}}=\frac{3}{4+\sqrt{7-9(-1)}}=\frac{3}{8}

En efecto, el límite de la función en el punto existe y vale \frac{3}{8} . Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 18: Límite de una Función

Calcular el valor del siguiente límite: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. No existe

Solución:

En este caso, el numerador es la función módulo de la variable x , función que está definida de la siguiente forma:

|x|=\left\{\begin{array}{c} x \text { si } x \geq 0 \\ -x \text { si } x<0 \end{array}\right.

Por esta razón, la función de nuestro límite es también una función a trozos:

\frac{|x|}{x}=\left\{\begin{array}{c} \frac{x}{x}=1 \text { si } x>0 \\ -\frac{x}{x}=-1 \text { si } x<0 \end{array}\right.

Ya que el límite hace tender a la variable en el punto en el que es discontinua, debemos recurrir a los límites laterales. De esta manera, el límite existirá si los laterales existen, son iguales entre ellos e iguales a la función en dicho punto.

Límite por la izquierda:

L_{i}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x}=-1

Límite por la derecha:

L_{d}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1

Los límites laterales son diferentes, por lo tanto, el límite de la función en x=0 no existe. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la opción d).

Reactivo 19: Límite de una Función a Trozos

Determinar el \lim _{x \rightarrow 2} f(x) para la función f definida por:

f(x)=\left\{\begin{array}{c} -x, x \geq 2 \\ x, x<2 \end{array}\right.

  1. No existe
  2. 3
  3. -\infty
  4. \infty

Solución:

Como la función que se nos pide evaluar está definida a trozos y dicho punto de evaluación es el mismo en el que ocurre el cambio, es necesario acudir a los límites laterales. Si los límites laterales de la función en x=2 son iguales, el límite total existe, sino no posee límite en dicho punto.

Límite por la izquierda:

L_{i}=\lim _{x \rightarrow 2^{-}} x=2

Límite por la derecha:

L_{d}=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}-x=-2

Ya que L_{i} \neq L_{d} concluimos que el límite de la función cuando x tiende a 2 no existe. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 20: Cálculo de Limites

Calcular el siguiente límite:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x-2}{x^{2}}

  1. -1
  2. 0
  3. 3
  4. No existe

Solución:

Comenzamos por evaluar a la función en el punto:

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x-2}{x^{2}}=\frac{2 \cos 0-2}{0^{2}}=\frac{0}{0}

Presenta una indeterminación en el punto, procedemos a romperla. Extraemos al 2 factor común en el numerador y multiplicamos por su conjugado, es decir \cos x+1 .

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x-2}{x^{2}}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-1)(\cos x+1)}{x^{2}(\cos x+1)}

=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ^{2} x-1}{x^{2}(\cos x+1)}

Se extrae ahora factor común -1 del numerador.

=-2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{2} x}{x^{2}(\cos x+1)}

Sustituimos 1-\cos ^{2} x por \sin ^{2} x , a partir de la identidad pitagórica.

=-2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2}(\cos x+1)}

Separamos el límite en tres factores para aplicar el límite notable \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 .

=-2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x+1}

Evaluamos finalmente.

=-2(1) \cdot(1) \cdot \frac{1}{1+1}=-\frac{2}{2}=-1

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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