¡Nos vemos de nuevo aspirante! Para esta segunda parte del simulacro de Probabilidad y Estadística, vamos a resolver los reactivos del 31 al 40 de cara al examen de ingreso EXANI II diseñado por CENEVAL.
Si has llegado hasta aquí, sabrás que debes resolverlos por tu cuenta antes de entrar a mirar la respuesta. Estudia cada tema sin dejar escapar ningún detalle.
Ejercicios de Probabilidad y Estadística
Continuamos con la segunda parte del simulacro de Probabilidad y Estadística para EXANI II. Al culminar estos 10 reactivos, analiza el procedimiento y busca posibles mejoras para acortar el tiempo.
Curso Exani II 2024
Reactivo 31
Calcule la media y la moda del conjunto de datos referentes a la prueba de admisión a cierta universidad internacional, expresados en la siguiente tabla.
- \stackrel{-}{x}=5.3 {M}_{o}=6
- \stackrel{-}{x}=5 {M}_{o}=6
- \stackrel{-}{x}=3 {M}_{o}=6
Solución:
El problema nos pide calcular las medidas de tendencia central del conjunto de datos expresados en la tabla de frecuencias. Lo primero que debemos identificar, es que los datos se encuentren o no agrupados. De esto último dependerá el uso de una u otra fórmula para los cálculos.
Los datos se encuentran agrupados.
Cálculo de la media aritmética.
Se determina como la sumatoria de las frecuencias absolutas multiplicadas por el dato en cuestión, dividido por el número de datos.
\stackrel{-}{x}=\frac{\sum {x}_{i}{f}_{i}}{n}
Sustituimos.
\stackrel{-}{x}=\frac{\left(1\right)\left(2\right)+\left(2\right)\left(2\right)+\left(3\right)\left(4\right)+\left(4\right)\left(5\right)+\left(5\right)\left(8\right)+\left(6\right)\left(9\right)+\left(7\right)\left(3\right)+\left(8\right)\left(4\right)+\left(9\right)\left(3\right)}{40}
\stackrel{-}{x}=\frac{212}{40}=5.3
Cálculo de la moda.
Para datos desagrupados, la moda es el evento que más se repite o, dicho en términos de la frecuencia, es el que posee la frecuencia absoluta mayor. En la tabla de datos, el valor con mayor frecuencia absoluta es el 6.
{M}_{o}=6
Comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es la a).
Reactivo 32
Se ha tomado la altura de los jugadores del equipo de fútbol de una secundaria y se han representado a continuación.
164, 168, 171, 174, 175, 176, 179, 179, 181, 183
¿Cuál es la mediana del conjunto de datos?
- 175.5
- 176
- 177
Solución:
Para calcular la mediana de un conjunto de datos, primero debemos identificar si se trata de datos agrupados o desagrupados. En este caso, las alturas de los jugadores se indican ordenadas de forma creciente, por tanto, están desagrupadas.
Ahora, identificamos si el conjunto de datos es par o impar. En este caso tenemos 10 datos, el cálculo se realiza tomando el promedio de los datos centrales, es decir, 175 y 176.
{M}_{e}=\frac{175+176}{2}=175.5
La mediana del conjunto de datos es 175.5.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la a).
Reactivo 33
Se ha aplicado una prueba de 100 preguntas para medir la capacidad de razonamiento matemático a dos grupos de estudiantes, obteniendo los siguientes resultados.
¿Cuál de los grupos presenta la mayor dispersión?
- El grupo A
- El grupo B
- Ambos grupos
Solución:
El problema no especifica cómo vamos a determinar qué grupo es más disperso que otro, podemos recurrir a cualquiera de las medidas de dispersión: rango, varianza y desviación estándar. Aunque el rango permite, de alguna forma indicar la dispersión, solo involucra a los extremos e ignora al resto de valores. Mediremos el nivel de dispersión empleando la varianza.
{s}^{2}=\frac{\sum {f}_{i}{\left({x}_{i}-\stackrel{-}{x}\right)}^{2}}{\sum {f}_{i}}
Calculamos la media de cada grupo de datos.
Grupo A.
{\stackrel{-}{x}}_{A}=\frac{46+48+49+50+50+51+52+54}{8}=50
Grupo B.
{\stackrel{-}{x}}_{B}=\frac{10+18+30+50+50+70+82+90}{8}=50
Calculamos la diferencia entre los datos y la media.
Calculamos la varianza para cada grupo de datos.
{s}_{A}^{2}=\frac{42}{8}=5.25
{s}_{B}^{2}=\frac{6048}{8}=756
Concluimos que los datos del grupo B son más dispersos que los del grupo A.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la b).
Reactivo 34
Complete correctamente la siguiente frase.
Se denomina ______ al conjunto de valores que divide una serie de datos en cuatro partes iguales.
- Cuartiles
- Quintiles
- Deciles
Solución:
En estadística, cuando nos referimos a dividir un conjunto de datos en partes iguales, hacemos referencia a los parámetros de posición o localización estadística. Existen distintas formas de dividir al conjunto de datos, pero las más utilizadas son:
- Cuartiles
- Quintiles
- Deciles
- Percentiles
Los cuartiles, son 3 valores que dividen a una serie de datos en 4 partes, los quintiles son 4 valores que dividen a la serie en 5 grupos, los deciles son 9 que dividen al grupo en 10 y los percentiles son 99 datos, que dividen a la serie en 100 partes iguales.
Teniendo en cuenta lo anterior y contrastando con lo indicado en la frase, no quedan dudas que se trata de la definición de cuartiles.
Se denomina cuartiles al conjunto de valores que divide una serie de datos en cuatro partes iguales.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la a).
Reactivo 35
A partir de la siguiente tabla estadística de distribución de frecuencias, calcule el cuartil 3 de la serie de datos.
- 5.5
- 5.4
- 5.337
Solución:
Para calcular a los cuartiles, podemos hacer uso de la fórmula para calcular con los percentiles, haciendo alusión a las siguientes igualdades:
{P}_{25}={Q}_{1}, {P}_{50}={Q}_{2}, {P}_{75}={Q}_{3}
La ecuación de los percentiles es:
{P}_{i}={L}_{i}+c\frac{\frac{p}{100}N-{F}_{i}}{{f}_{i}}
- {P}_{p} es el percentil buscado
- {L}_{i} es el límite inferior de la clase que contiene al percentil
- c es la amplitud del intervalo
- N es el número total de datos
- {F}_{i} es la frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior
- {f}_{i} es la frecuencia absoluta de la clase
Antes, identificamos la clase que debe contener al percentil 75.
{F}_{p}=75\frac{180}{100}=135
Dicha clase debe tener una frecuencia acumulada mayor o igual que 135, observando la tabla:
{F}_{p}=135\to \left[5.2, 5.4\right)
{L}_{i}=5.2, c=0.2, N=180, {F}_{i}=111, {f}_{i}=35
Sustituimos.
{P}_{75}={Q}_{3}=5.2+\left(0.2\right)\frac{\frac{75}{100}180-111}{35}=5.337
El cuartil tercero es igual a:
{Q}_{3}=5.337
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).
Reactivo 36
Dado el experimento aleatorio de extraer 2 veces a 4 bolas: rojo, azul, amarillo y verde, sin reposición de una caja, ¿cuál es el espacio muestral del experimento? Tenga en cuenta que en la caja solo hay 4 bolas.
- S=\left\{RAZ,RV,RAM,AZR\right\}
- S=\left\{RAZ,RV,RAM,AZR,AZV,AZAM,VR,\right\}
- S=\left\{RAZ,RV,RAM,AZR,AZV,AZAM,VR,VAZ,VAM,AMR,AMAZ,AMV\right\}
Solución:
Para construir el espacio muestral de un experimento con más de 3 posibilidades, es recomendable utilizar algún tipo de representación gráfica para evitar confusiones. En este caso, emplearemos un diagrama de árbol.
Para la primera extracción, las posibilidades son:
Para la segunda extracción:
El espacio muestral del experimento sería:
S=\left\{RAZ,RV,RAM,AZR,AZV,AZAM,VR,VAZ,VAM,AMR,AMAZ,AMV\right\}
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).
Reactivo 37
El experimento aleatorio de lanzar al aire dos dados regulares se clasifica como:
- Compuesto
- Elementales
- Imposibles
Solución:
Para saber cómo clarificar los eventos que se presentan en el experimento, debemos recordar qué tipos de eventos existen.
Elementales. Aquellos formados por un único resultado.
Compuestos. Aquellos formados por dos o más sucesos.
Imposibles. Sucesos que nunca ocurren.
En base a esto, los posibles resultados que obtendremos al lanzar un par de dados al aire sería compuesto, ya que, si hacemos las cuentas, tendríamos 36 posibles resultados. Concluimos indicando como respuesta correcta la opción a).
Reactivo 38
Represente mediante un diagrama de Venn los siguientes sucesos.
A=\left\{3, 5, 7, 11, \right\}
B=\left\{5, 10\right\}
Solución:
Los diagramas de Venn permiten visualizar las relaciones de intersección y unión, entre otras cosas, para conjuntos de objetos. En este caso, los conjuntos son A y B , y los objetos son los números dentro de ellos.
Vemos como el número 5 queda en la intersección de los conjuntos, y el resto en las regiones propias de A y B . Concluimos que la respuesta correcta es la opción a).
Reactivo 39
Dados los sucesos D=\left\{1, 3, 5, 6\right\} y A=\left\{1, 2, 5\right\} , determine la diferencia D-A .
- D-A=\left\{2, 3, 6\right\}
- D-A=\left\{-2, 3, 6\right\}
- D-A=\left\{3, 6\right\}
Solución:
Diferente a como se realizaría una resta o suma algebraica común, la sustracción de conjuntos consta en suprimir elementos de uno que no están en el otro, salvando colocar en el resultado alguno de los elementos con “signo negativo”.
Lo anterior sería un garrafal error conceptual por lo dicho al principio: no restamos algebraicamente, solo se colocan los elementos de D que no están en A .
D-A=\left\{1, 3, 5, 6\right\}-\left\{1, 2, 5\right\}
Los elementos de D que no están en A son: 3 y 6.
D-A=\left\{3, 6\right\}
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).
Reactivo 40
Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Si A es el suceso de obtener solo múltiplos de 3, ¿cuál es el opuesto de dicho conjunto?
- \left\{2, 6\right\}
- \left\{\varnothing \right\}
- \left\{1, 2, 4, 5\right\}
Solución:
Primero debemos establecer dos cosas:
- Qué es un conjunto opuesto
- El espacio muestral del experimento de lanzar un dado
Un conjunto A´ es opuesto a otro conjunto A , sí dado un conjunto universo U se cumple que:
A=U-{A}^{\text{'}}
Dicho de otra forma, son todos los elementos que pertenecen al conjunto universo que no están en {A}^{\text{'}} . Por otro lado, el espacio muestral de lanzar un dado, son todos los posibles resultados, es decir:
U=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}
De este conjunto, los múltiplos de 3 son:
A=\left\{3, 6\right\}
Ahora, el opuesto a este conjunto es:
U-A=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}-\left\{3, 6\right\}=\left\{1, 2, 4, 5\right\}
Es decir, el resto de números que no son múltiplos de 3.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la c).
