¡Llegamos a la última parte aspirante! Vamos con la solución de la segunda parte de los reactivos de matemáticas área 4, en este caso del 52 al 62, de la guía de las Humanidades y de las Artes como preparación al examen de ingreso a la UNAM.
El siguiente resumen indica los puntos clave el examen UNAM:
- Desarrollo: UNAM
- Área 4: Humanidades y de las Artes
- Materia: Matemáticas
- Reactivos: 120
- Tipo: Opción múltiple
- Duración: 3 horas
- Modalidades: Presencial
¡Felicidades por llegar hasta aquí aspirante! Matemáticas muchas veces se entiende como una asignatura de fórmulas y despejes, en ella yacen los modelos para comprender el mundo que nos rodea.
Guía matemáticas UNAM área 4 resuelta
Vamos con los últimos 11 ejercicios de matemáticas de la guía del Área 4 de las Humanidades y de las Artes de la UNAM. Recuerda tomar descansos entre grupos de ejercicios, esto también forma parte del proceso de aprendizaje.
Curso UNAM
Reactivo 52
Determina el valor del lado p del siguiente triángulo.
Considere:
\mathrm{sin}\left(40°\right)=0.64
\mathrm{sin}\left(100°\right)=0.98
\mathrm{cos}\left(40°\right)=0.76
\mathrm{cos}\left(100°\right)=0.17
- 16.10 \mathrm{m}
- 13.05 \mathrm{m}
- 18.34 \mathrm{m}
- 30.64 \mathrm{m}
Solución:
Para calcular el lado desconocido p debemos aplicar alguna de las leyes o teoremas que relacionan los lados y los ángulos en un triángulo obtuso. Debido a que solo conocemos un lado, su ángulo opuesto y el ángulo opuesto al lado desconocido, debemos aplicar la Ley de los senos.
\frac{\mathrm{sin}100°}{20}=\frac{\mathrm{sin}40°}{p}
Despejamos a p .
p=20\frac{\mathrm{sin}40°}{\mathrm{sin}100°}
Sustituimos los valores del seno de 100° y 40°.
p=20\frac{0.64}{0.98}=13.06
La respuesta correcta se encuentra en el inciso b).
Otros aspirantes también leyeron:
Reactivo 53
Determina el dominio de la función y=\mathrm{log}\left(x-2\right) .
- \left(2, \infty \right)
- \left[2, \infty \right)
- \left(-\infty , 2\right)
- \left(-\infty , 2\right]
Solución:
Como indicamos en reactivos anteriores, el estudio del dominio de una función consta en encontrar el conjunto de valores finitos de x que arrojan resultados finitos para y . Esto lo conseguimos estudiando las restricciones de la función.
Al tratarse de un logaritmo, su restricción es que el argumento sea mayor que cero.
x-2>0
Despejando obtenemos:
x>2
Expresado en notación de conjunto:
x\in \left(2, \infty \right)
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la a).
Reactivo 54
¿Cuál es la recta que es asíntota a la fusión y={\mathrm{log}}_{4}\left(x-2\right) ?
- y=2
- y=2x
- x=2
- x=0
Solución:
Recordemos que las asíntotas de una función son rectas a las que una función se aproxima infinitamente pero nunca llega a ser igual a algún valor de dicha recta, dicho de otra manera, la distancia entre la recta y la función tiende a cero.
Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas. La función logaritmo base 4 dada por el enunciado y, en general, todas las funciones logarítmicas, posee una asíntota vertical en el punto donde su argumento se hace igual a cero. Para el caso de y={\mathrm{log}}_{4}\left(x-2\right) dicha asíntota es:
x-2=0\to x=2
De forma gráfica:
La respuesta correcta es la opción c).
Reactivo 55
Selecciona las coordenadas del punto medio entre P\left(8, -4\right) y Q\left(-9, 7\right) .
- \left(-0.5, 1.5\right)
- \left(0.5, 1.5\right)
- \left(-1.5, 0.5\right)
- \left(-1.5, -0.5\right)
Solución:
El punto medio M de un segmento con extremos P \mathrm{y} Q , es aquel que lo divide en dos partes iguales. Las coordenadas de dicho punto se calculan mediante la siguiente expresión:
{M}_{x}=\frac{{P}_{x}+{Q}_{x}}{2}
{M}_{y}=\frac{{P}_{y}+{Q}_{y}}{2}
Sustituimos las coordenadas de P y Q .
{M}_{x}=\frac{8-9}{2}=-0.5
{M}_{y}=\frac{-4+7}{2}=1.5
Las coordenadas del punto medio entre P\left(8, -4\right) y Q\left(-9, 7\right) son \left(-0.5, 1.5\right) .
Comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es la a).
Reactivo 56
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P\left(5, 2\right) y es paralela a la recta que pasa por los puntos Q\left(2, -6\right) y R\left(-1, 3\right) ?
- y=-2x-9
- y=-4x+3
- y=-5x-11
- y=-3x+17
Solución:
Para calcular la ecuación de dicha recta, debemos apoyarnos en los otros dos puntos por los que pasa la recta perpendicular Q\left(2, -6\right) y R\left(-1, 3\right) para determinar la pendiente. Recordemos que la condición de perpendicularidad entre rectas es que las pendientes deben ser iguales.
m=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{3+6}{-1-2}=-3
Ahora, usamos el punto P\left(5, 2\right) y la pendiente m=-3 para obtener la ecuación de la recta.
y-{y}_{o}=m\left(x-{x}_{o}\right)
Sustituimos.
y-2=-3\left(x-5\right)
y=-3x+17
De forma gráfica:
La respuesta correcta se encuentra en el inciso d).
Reactivo 57
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y radio igual a 4?
- {x}^{2}+{y}^{2}+16=0
- {x}^{2}+{y}^{2}-16=0
- {x}^{2}+{y}^{2}-4=0
- {x}^{2}+{y}^{2}+4=0
Solución:
Para encontrar la ecuación general de la circunferencia debemos tener dos cosas de la misma: centro y radio, parámetros que nos ofrece el enunciado.
C\left(0, 0\right);r=4
Ahora, sustituimos estos valores en la ecuación ordinaria de la circunferencia.
{\left(x-h\right)}^{2}+{\left(y-k\right)}^{2}={r}^{2}
{\left(x-0\right)}^{2}+{\left(y-0\right)}^{2}={4}^{2}
{x}^{2}+{y}^{2}=16
Paramos el 16 al primer miembro.
{x}^{2}+{y}^{2}-16=0
De forma gráfica:
La respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 58
¿Cuál es el centro y el radio de la siguiente circunferencia?
{\left(x+3\right)}^{2}+{\left(y-2\right)}^{2}=36
- C\left(3, 2\right);r=6
- C\left(3, 2\right);r=36
- C\left(-3, 2\right);r=6
- C\left(-3, 2\right);r=36
Solución:
Partiendo de la forma base de la ecuación ordinaria de la circunferencia {\left(x-h\right)}^{2}+{\left(y-k\right)}^{2}={r}^{2} , y examinando la indicada por el ejercicio, podemos realizar las siguientes igualaciones:
-h=3; -k=-2; {r}^{2}=36
Simplificamos cada igualdad.
h=-3;k=2;r=6
Ordenando los datos obtenidos:
C\left(-3, 2\right);r=6
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 59
Un objeto es lanzado describiendo la parábola {\left(x-4\right)}^{2}=12\left(y-3\right) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice y el foco?
- V\left(-4, -3\right), F\left(-4, -6\right)
- V\left(3, 4\right), F\left(6, 4\right)
- V\left(4, 3\right), F\left(4, 6\right)
- V\left(-3, -4\right), F\left(-6, -4\right)
Solución:
La ecuación indicada por el enunciado corresponde a una parábola con eje focal paralelo al eje y , vértice en el punto \left(4, 3\right) y lado recto igual a 4p=12 . Además, sabemos que la distancia entre el vértice y el foco de una parábola es igual al lado recto p a lo largo del eje focal, por tanto:
F\left(h, k+p\right)
Podemos despejar a p .
p=\frac{12}{4}\to p=3
Sustituimos las coordenadas del foco.
F\left(4, 3+3\right)\to F\left(4, 6\right)
Finalmente:
V\left(4, 3\right);F\left(4, 6\right)
La respuesta correcta está en el inciso c).
Reactivo 60
Determina las coordenadas de los focos de una elipse cuya ecuación es 9{x}^{2}+{y}^{2}=9 .
- {F}_{1}=\left(-\sqrt{8},0\right);{F}_{2}=\left(\sqrt{8},0\right)
- {F}_{1}=\left(-\sqrt{10},0\right);{F}_{2}=\left(\sqrt{10},0\right)
- {F}_{1}=\left(0,-\sqrt{8}\right);{F}_{2}=\left(0,\sqrt{8}\right)
- {\mathrm{F}}_{1}=\left(0,-\sqrt{10}\right);{\mathrm{F}}_{2}=\left(0,\sqrt{10}\right)
Solución:
Primero, debemos expresar a la elipse en su forma ordinaria para identificar si se trata de una con eje focal paralelo al eje x o al eje y .
{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1
En este caso:
a=3;b=1
Es una elipse con eje focal paralelo al eje y . A partir de esto, sabemos que las coordenadas de los focos deben ser: {F}_{1}\left(h, k+c\right) y {F}_{2}\left(h, k-c\right) . Examinando la ecuación ordinaria que hemos obtenido el centro tiene coordenadas C\left(0, 0\right) y el parámetro c se calcula como:
c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}
Sustituimos los valores.
c=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{8}
Sustituyendo finalmente en las coordenadas de los focos:
{F}_{1}\left(0,\sqrt{8}\right) y {F}_{2}\left(0,-\sqrt{8}\right)
Comparando con los incisos (aunque estén cambiados de lugar, es indistinto), la respuesta correcta se encuentra en el c).
Reactivo 61
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la
- suma de sus distancias a dos puntos fijos es un valor variable.
- diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es un valor constante.
- suma de sus distancias a dos puntos fijos es un valor constante.
- diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es un valor variable.
Solución:
La definición analítica de una hipérbola, es el punto cuyo valor absoluto de la diferencia de las distancias respecto a los focos, es igual a una constante y menor que la distancia entre los focos.
\left|\left|{F}_{1}P\right|-\left|{F}_{2}P\right|\right|=2a
\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|<2a
Ahora, dichos focos son puntos fijos, por tanto, teniendo en cuenta lo enunciado y examinando los incisos, concluimos que la respuesta correcta se encuentra en el b).
Diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es un valor constante.
Reactivo 62
¿Qué tipo de cónica representa la ecuación {y}^{2}+4x+2y+16=0 ?
- Parábola con vértice en el origen
- Elipse con centro fuera del origen
- Elipse con centro en el origen
- Parábola con vértice fuera del origen
Solución:
Con solo inspeccionar la ecuación, es fácil darse cuenta que se trata de una parábola, con eje focal paralelo a las x y con vértice fuera del origen porque están presente otros términos además de {y}^{2} y x .
Podemos comprobar nuestra suposición aplicando competición de cuadrados sobre la variable que está elevada al cuadrado, en este caso y .
{y}^{2}+4x+2y+16=0
Agrupamos las variables por miembro.
{y}^{2}+2y+16=-4x
Completamos cuadrado sumando y restando 1 del lado de las y .
{y}^{2}+2y+1-1+16=-4x
{y}^{2}+2y+1+15=-4x
Pasamos el 15 al segundo miembro y aplicamos producto notable.
{y}^{2}+2y+1=-4x-15
{\left(y+1\right)}^{2}=-4\left(x+\frac{15}{4}\right)
Es una parábola que abre paralela al eje x , con dirección hacia la izquierda y vértice en \left(-\frac{15}{4},-1\right) fuera del origen.
Comparando con los incisos, la respuesta correcta es el d).
