Vamos con la solución de la segunda y última parte de los reactivos de matemáticas área 3, del 53 al 64, en la guía de las Ciencias Sociales como preparación al examen de ingreso a la UNAM.
El siguiente resumen indica los puntos clave el examen UNAM:
- Desarrollo: UNAM
- Área 3: Ciencias Sociales
- Materia: Matemáticas
- Reactivos: 120
- Tipo: Opción múltiple
- Duración: 3 horas
- Modalidades: Presencial
¡Felicidades por llegar hasta aquí aspirante! Matemáticas muchas veces se entiende como una asignatura de fórmulas y despejes, pero en ella encontramos los modelos para comprender el mundo que nos rodea.
Guía matemáticas UNAM área 3 resuelta
Vamos con los últimos 12 ejercicios de matemáticas de la guía del Área 3 de las Ciencias Sociales de la UNAM. Recuerda tomar descansos entre grupos de ejercicios, esto también forma parte del proceso de aprendizaje.
Curso UNAM
Reactivo 53
Considerando la imagen, ¿cuál de las siguientes expresiones se obtiene de la Ley de los Senos?
- \frac{\mathrm{sen}A}{a}=\frac{\mathrm{sen}B}{b}
- \frac{\mathrm{sen}A}{b}=\frac{\mathrm{sen}B}{a}
- \frac{\mathrm{sen}A}{c}=\frac{\mathrm{sen}B}{a}
- \frac{\mathrm{sen}B}{c}=\frac{\mathrm{sen}A}{b}
Solución:
La ley de los senos es una relación trigonométrica que establece que el cociente entre el seno de cualquiera de los ángulos internos a un triángulo y su lado opuesto es igual para los tres ángulos y lados opuestos. La definición operación de la Ley de los Senos según el triángulo de la imagen es:
\frac{\mathrm{sen}A}{a}=\frac{\mathrm{sen}B}{b}=\frac{\mathrm{sen}C}{c}
Examinando los incisos, la única igualdad que corresponde con la Ley de Senos es la de la opción a).
\frac{\mathrm{sen}A}{a}=\frac{\mathrm{sen}B}{b}
Concluimos que la respuesta correcta es la opción a).
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Reactivo 54
¿Cuál es el dominio de la siguiente función?
f\left(x\right)=\mathrm{log}\left(x-1\right)
- x\le 1
- x<1
- x>1
- x\ge 1
Solución:
Como sabemos, para encontrar el dominio de una función, debemos establecer una desigualdad que indique el conjunto de valores posible que puede o debe tomar el argumento de la función en cuestión. En este caso tenemos una función logaritmo base 10, cuya única restricción es que el argumento sea mayor que cero:
x-1>0
Resolviendo la sencilla inecuación.
x>1
De forma gráfica:
La respuesta correcta se encuentra en el inciso c).
Reactivo 55
¿Cuál es la recta que es asíntota a la fusión y={\mathrm{log}}_{4}\left(x-2\right) ?
- y=2
- y=2x
- x=2
- x=0
Solución:
Recordemos que las asíntotas de una función son rectas a las que una función se aproxima infinitamente pero nunca llega a ser igual a algún valor de dicha recta, dicho de otra manera, la distancia entre la recta y la función tiende a cero.
Existen tres tipos de asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas. La función logaritmo base 4 dada por el enunciado y, en general, todas las funciones logarítmicas, posee una asíntota vertical en el punto donde su argumento se hace igual a cero. Para el caso de y={\mathrm{log}}_{4}\left(x-2\right) dicha asíntota es:
x-2=0\to x=2
De forma gráfica:
La respuesta correcta es la opción c).
Reactivo 56
¿Cuál es la distancia entre los puntos A\left(-7, -2\right) y B\left(2, 7\right) ?
- 162
- \sqrt{50}
- \sqrt{162}
- 50
Solución:
Para calcular la distancia entre dos puntos en el plano, empleamos la siguiente ecuación derivada del Teorema de Pitágoras.
d\left(A, B\right)=\sqrt{{\left({x}_{a}-{x}_{b}\right)}^{2}+{\left({y}_{a}-{y}_{b}\right)}^{2}}
Solo debemos sustituir las coordenadas correspondientes en la ecuación y calcular el valor numérico.
d\left(A, B\right)=\sqrt{{\left(-7-2\right)}^{2}+{\left(-2-7\right)}^{2}}=\sqrt{81+81}
d\left(A, B\right)=\sqrt{162}=12.7279
Podemos verificar este resultado de forma gráfica.
La respuesta correcta es la opción c).
Reactivo 57
Calcula la pendiente de la recta cuya función es 2y-4x+3=0 .
- -2
- -\frac{1}{2}
- \frac{3}{2}
- 2
Solución:
Para encontrar la pendiente de la recta, debemos simplemente despejar a la variable y , el término final que acompañe a la variable x corresponderá con la pendiente. Comenzamos por dejar a la y sola en el miembro de la izquierda.
2y=4x-3
y=2x-\frac{3}{2}
La pendiente de la recta es m=2 .
La respuesta correcta es la opción d).
Reactivo 58
¿Qué ecuación describe la siguiente gráfica?
- y=x-\frac{1}{2}
- y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}
- y=-\frac{1}{2}x-1
- y=\frac{x}{2}-1
Solución:
Para determinar la ecuación de la recta mostrada en la gráfica, supondremos que la distancia entre líneas en los ejes incrementa de 1 en 1. Comenzamos por identificar los puntos de corte con los ejes coordenados.
Corte con el eje x : \left(2, 0\right) .
Corte con el eje y : \left(0, -1\right) .
Ya que tenemos los puntos de corte, podemos utilizar la ecuación canónica de la recta.
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1
Donde a y b son los cortes con el eje x y y respectivamente. Sustituimos.
\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1
\frac{x}{2}-y=1
Despejamos la y .
y=\frac{x}{2}-1
La respuesta correcta es la opción d).
Reactivo 59
Ecuación que corresponde a una circunferencia de radio r=\sqrt{2} y centro en C\left(0, 0\right) .
- {x}^{2}-{y}^{2}=2\sqrt{2}
- {x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{2}
- {x}^{2}+{y}^{2}=4
- {x}^{2}+{y}^{2}=2
Solución:
Para encontrar la ecuación de la circunferencia, partimos de su forma ordinaria:
{\left(x-h\right)}^{2}+{\left(y-k\right)}^{2}={r}^{2}
Donde h y k corresponde a las coordenadas del centro y r el radio. Sustituimos los datos en la ecuación ordinaria.
{\left(x-0\right)}^{2}+{\left(y-0\right)}^{2}={\left(\sqrt{2}\right)}^{2}
{x}^{2}+{y}^{2}=2
De forma gráfica, la circunferencia quedaría:
La respuesta correcta es la opción d).
Reactivo 60
Determina el centro y el radio de la circunferencia expresada por la ecuación:
(x+4{)}^{2}+(y-6{)}^{2}=49- C\left(-4, 6\right)\text{ y }r=7
- C\left(4,-6\right)\text{ y }r=7
- C\left(-\mathrm{4,6}\right)\text{ y }r=49
- C\left(4,-6\right)\text{ y }r=49
Solución:
Teniendo en cuenta la forma de la ecuación ordinaria de la circunferencia:
{\left(x-h\right)}^{2}+{\left(y-k\right)}^{2}={r}^{2}
Podemos identificar rápidamente cada uno de los parámetros solicitados por el enunciado.
h=-4;k=6;r=\sqrt{49}=7
Por tanto:
C\left(-4, 6\right) y r=7
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 61
La expresión x=4{y}^{2}+8y+2 geométricamente representa una
- Circunferencia
- Hipérbola
- Elipse
- Parábola
Solución:
De forma casi evidente, la ecuación indicada en el enunciado es una parábola con eje focal paralelo al eje x , otra forma de verlo, es que solo una de las variables está al cuadrado y no existe el término xy responsable de rotaciones.
Ahora, para demostrar que es una parábola tenemos dos opciones: graficar algunos puntos o aplicar competición de cuadrados hasta llegar a la expresión más reducida que, evidentemente, será una parábola.
Nos iremos por la vía de graficar algunos puntos. Es la forma más rápida y que puedes replicar fácilmente en el examen. La segunda no es demasiado complicada, pero a veces las factorizaciones pueden costar un poco de visualizar.
Vamos a sustituir los valores de y=\left\{-2, -1, 0, 1, 2\right\} para obtener los valores de x respectivos y luego graficar.
{y}_{1}=-2\to {x}_{1}=4{\left(-2\right)}^{2}+8\left(-2\right)+2=2
{y}_{2}=-1\to {x}_{2}=4{\left(-1\right)}^{2}+8\left(-1\right)+2=-2
{y}_{3}=0\to {x}_{3}=4{\left(0\right)}^{2}+8\left(0\right)+2=2
{y}_{4}=1\to {x}_{4}=4{\left(1\right)}^{2}+8\left(1\right)+2=14
{y}_{5}=2\to {x}_{5}=4{\left(2\right)}^{2}+8\left(2\right)+2=34
Graficamos.
La respuesta correcta es la opción d).
Reactivo 62
Determina las coordenadas de los focos de una elipse cuya ecuación es 9{x}^{2}+{y}^{2}=9 .
- {F}_{1}=\left(-\sqrt{8},0\right);{F}_{2}=\left(\sqrt{8},0\right)
- {F}_{1}=\left(-\sqrt{10},0\right);{F}_{2}=\left(\sqrt{10},0\right)
- {F}_{1}=\left(0,-\sqrt{8}\right);{F}_{2}=\left(0,\sqrt{8}\right)
- {\mathrm{F}}_{1}=\left(0,-\sqrt{10}\right);{\mathrm{F}}_{2}=\left(0,\sqrt{10}\right)
Solución:
Primero, debemos expresar a la elipse en su forma ordinaria para identificar si se trata de una con eje focal paralelo al eje x o al eje y .
{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1
En este caso:
a=3;b=1
Es una elipse con eje focal paralelo al eje y . A partir de esto, sabemos que las coordenadas de los focos deben ser: {F}_{1}\left(h, k+c\right) y {F}_{2}\left(h, k-c\right) . Examinando la ecuación ordinaria que hemos obtenido el centro tiene coordenadas C\left(0, 0\right) y el parámetro c se calcula como:
c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}
Sustituimos los valores.
c=\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{8}
Sustituyendo finalmente en las coordenadas de los focos:
{F}_{1}\left(0,\sqrt{8}\right) y {F}_{2}\left(0,-\sqrt{8}\right)
Comparando con los incisos (aunque estén cambiados de lugar, es indistinto), la respuesta correcta se encuentra en el c).
Reactivo 63
¿Cuál podría ser la ecuación que corresponde a la siguiente gráfica?
- {x}^{2}+{y}^{2}=-1
- {y}^{2}+{x}^{2}=1
- {x}^{2}-{y}^{2}=1
- {x}^{2}-{y}^{2}=-1
Solución:
La gráfica del ejercicio nos está mostrando una hipérbola con eje focal sobre el eje x y centrada en el origen.
\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1
Solo nos queda encontrar el valor de a y b . Por definición, a es la distancia que hay entre cualquiera de los vértices y el centro de la hipérbola, en este caso a=1 . Sustituimos debajo de la x .
{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{b}=1
No tenemos más datos para encontrar al parámetro b , pero ya sabemos cuál es la forma que debe tener la ecuación de la hipérbola. Comparándola con los incisos, la única que concuerda es la c), ya que nuestra otra opción (el inciso d) {x}^{2}-{y}^{2}=-1 puede simplificarse para obtener {y}^{2}-{x}^{2}=1 , la cuál es una hipérbola con eje focal en y .
Concluimos indicando a c) como la respuesta correcta.
Reactivo 64
Al trasladar la circunferencia {x}^{2}+{y}^{2}-36=0 al centro C\left(-2, 4\right) ¿Cuál sería su ecuación?
- (x-4{)}^{2}+(y+16{)}^{2}=36
- (x+4{)}^{2}+(y-16{)}^{2}=36
- (x+2{)}^{2}+(y-4{)}^{2}=36
- (x-2{)}^{2}+(y+4{)}^{2}=36
Solución:
La circunferencia dada tiene como centro el origen y posee un radio igual a 6 unidades. Para trasladarla, simplemente volvemos a construir la ecuación ordinaria de la circunferencia de radio 6, pero sustituyendo en las coordenadas del centro los valores indicados por el enunciado.
{\left(x+2\right)}^{2}+{\left(y-4\right)}^{2}=36
De forma gráfica quedaría como:
La respuesta correcta es la opción c).
