Guía UNAM Matemáticas: Área 2 Cs Biológicas Químicas y Salud Parte 1

¡Nos vemos de nuevo aspirante! En este tutorial estaremos resolviendo los primeros 10 reactivos de matemáticas área 2, del 46 al 55, que se encuentran en la guía de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud de cara al examen de ingreso UNAM.

¿Cómo estudiar la guía UNAM? Te aconsejo desarrollarlos por tu cuenta antes de checar la solución. Es importante que estudies y comprendas cada uno de los temas del examen, tu calificación es proporcional al esfuerzo que hayas dedicado al prepararte.

A continuación, tienes un resumen de los puntos más importantes sobre el examen de ingreso UNAM.

Estructura del examen

El examen a la Universidad Nacional Autónoma de México se compone de 120 reactivos, de los cuales 24 pertenecen a matemáticas para el área 2 Ciencias Químicas, Biológicas y de la Salud.

¿Aún no conoces todos los detalles del ingreso a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM para el área 2, con el total de reactivos por asignatura que deberás resolver.

Estructura examen área 2.

De las 130 carreras que oferta la Universidad Nacional Autónoma de México, 31 de ellas pertenecen al área 2 de Ciencias Químicas, Biológicas y de la Salud de las cuales, 9 poseen modalidad de ingreso indirecto.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Aunque la carrera que deseas ingresar pertenece al área 2, la asignatura de matemáticas es determinante tanto para la prueba de ingreso como para el resto de la carrera. Gracias a las matemáticas, podemos representar al mundo que nos rodea mediante modelos fáciles de estudiar, con la posibilidad de extender nuestra percepcion de la naturaleza.

La capacidad de análisis y abstracción que nos brindan las matemáticas son aplicables a cualquier situación y transversales a todas las ciencias exactas y humanas. Por esta razón, te dejo algunos consejos que debes tener en cuenta a la hora de estudiar matemáticas.

Temario matemáticas área 2

La lista contiene el temario de matemáticas para el área 2 de la UNAM. Es extenso, pero si planificas tus sesiones de estudio podrás cubrir todo el contenido. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo click en este enlace.

Guía matemáticas UNAM área 2 resuelta

Comenzamos con la solución paso a paso de los primeros 10 reactivos de matemáticas, para la guía UNAM del área 2 de Ciencias Biológicas, Químicas y de la Salud.

Reactivo 46

El valor de la siguiente operación es:

3\left[{2}^{-1}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+{2}^{0}

1. \frac{25}{2}
2. 9
3. 7
4. \frac{1}{2}

Solución:

En este caso, debemos aplicar correctamente las propiedades de las operaciones aritméticas básicas y respetar el orden de solución de los signos de agrupación. Comenzamos por el interior de los corchetes.

Deshacemos los paréntesis en su interior y aplicamos la propiedad del exponente negativo.

3\left[{2}^{-1}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+{2}^{0}=3\left[{2}^{-1}+\frac{3}{2}\right]+{2}^{0}=3\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right]+{2}^{0}

Aplicamos la suma de fracciones con igual denominador y simplificamos.

3\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right]+{2}^{0}=3\frac{4}{2}+{2}^{0}=3\left(2\right)+{2}^{0}

Resolvemos el dos elevado a cero y luego el producto 3\left(2\right) .

3\left(2\right)+{2}^{0}=3\left(2\right)+1=6+1=7

Finalmente:

3\left[{2}^{-1}-\left(-\frac{3}{2}\right)\right]+{2}^{0}=7

Comparando nuestro resultado con las opciones, concluimos seleccionando como correcta la c).

Reactivo 47

Al simplificar \frac{{x}^{2}-5x+6}{2ax-6a} se obtiene:

1. \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{2a}
2. \frac{\left(x-3\right)}{2a\left(x-2\right)}
3. \frac{\left(x-2\right)}{2a}
4. \frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{2a}

Solución:

Para encontrar la forma simplificada de la expresión, debemos hacer dos cosas: factorizar el polinomio de segundo grado en el numerador y extraer factor común a en el denominador. Comencemos por factorizar el polinomio de segundo grado.

Buscamos dos números que sumados den -5 y multiplicados 6. Estos son -3 y -2.

-3-2=-5

\left(-3\right)\left(-2\right)=6

Factorizamos el polinomio:

\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2ax-6a}

Extraemos factor común 2a del denominador.

\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2ax-6a}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2ax-2a\left(3\right)}=\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2a\left(x-3\right)}

Simplificamos:

\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{2a\left(x-3\right)}=\frac{\left(x-2\right)}{2a}

Finalmente:

\frac{{x}^{2}-5x+6}{2ax-6a}=\frac{\left(x-2\right)}{2a}

Concluimos seleccionando como respuesta correcta la opción c).

Reactivo 48

Al resolver 3x+2=4 ¿Cuál es el valor de x ?

1. x=\frac{2}{3}
2. x=\frac{3}{6}
3. x=\frac{3}{2}
4. x=\frac{6}{3}

Solución:

Para calcular el valor de x , debemos aplicar las propiedades de la igualdad hasta dejar sola a la variable en el miembro de la izquierda. Comenzamos por restar 2 en ambos miembros para quitar el +2 del primer miembro.

3x+2-2=4-2\to 3x=2

Ahora, dividimos ambos miembros por 3 para simplificar el 3 que multiplica a la variable.

\frac{3x}{3}=\frac{2}{3}\to x=\frac{2}{3}

El valor de x que satisface la ecuación dada es \frac{2}{3} .

Comparando con las opciones, concluimos escogiendo como correcta la a).

Reactivo 49

Obtén los valores de x , al resolver {x}^{2}+3x+2=0 .

1. {x}_{1}=1;{x}_{2}=2
2. {x}_{1}=2;{x}_{2}=3
3. {x}_{1}=-1;{x}_{2}=-2
4. {x}_{1}=-3;{x}_{2}=2

Solución:

El primer recurso que podríamos pensar para encontrar las soluciones a la ecuación de segundo grado, es emplear la fórmula de segundo grado, pero vale la pena utilizar un truco que permite factorizar el trinomio de forma más rápida.

Si los coeficientes de la ecuación cuadrática son a , b y c , debemos buscar dos números que sumados (o restados) sean iguales a b y que multiplicados sean iguales a c . En este caso b=3 y c=2 , por tanto, el 2 y el 1 cumplen con la condición descrita:

2+1=b\to 2+1=3

\left(2\right)\left(1\right)=c\to \left(2\right)\left(1\right)=2

Factorizamos a la ecuación de segundo grado como:

{x}^{2}+3x+2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)

Igualamos a cero:

\left(x+1\right)\left(x+2\right)=0

Esta ecuación será igual a cero cuando alguno de los dos factores se anule.

x+1=0\to {x}_{1}=-1

x+2=0\to {x}_{2}=-2

Finalmente:

{x}_{1}=-1;{x}_{2}=-2

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 50

Resuelve la siguiente expresión.

-2x+6\ge 16

1. x<-5
2. x\ge 5
3. x\le -5
4. x>5

Solución:

Para encontrar el conjunto solución de cualquier inecuación, es necesario tener presente las propiedades de las desigualdades, muy similares a las propiedades de las igualdades, con la diferencia de que, si se multiplica o se divide por un número negativo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad. Comenzamos por restar 6 en ambos miembros.

-2x+6-6\ge 16-6\to -2x\ge 10

Dividimos por -2. Tengamos en cuenta que es necesario cambiar el sentido de la desigualdad.

-\frac{2x}{-2}\le \frac{10}{-2}\to x\le -5

El conjunto solución de la desigualdad son todos los valores de x menores o iguales a -5.

Seleccionamos como respuesta correcta la opción c).

Reactivo 51

Soluciona el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{c}5x+2y-z=-7\\ x-2y+2z=0\\ 3y+z=17\end{array}\right.

1. x=-2,y=3,z=5
2. x=2,y=4,z=-5
3. x=-2,y=4,z=5
4. x=2,y=3,z=-5

Solución:

Para resolver el sistema de ecuaciones 3×3 del enunciado, podemos recurrir a los métodos: por sustitución, por igualación, por reducción o emplear la regla de Cramer.

En esa ocasión, emplearemos sustitución. Despejamos a z de la tercera ecuación, el resultado lo reemplazamos en 1 y 2 para obtener un sistema 2×2 más chico.

Despejando a z .

3y+z=17\to z=17-3y

Sustituyendo en 1.

5x+2y-\left(17-3y\right)=-7

5x+2y-17+3y=-7

5x+5y=17-7

5x+5y=10

Dividimos entre 5.

x+y=2

Sustituyendo z en 2.

x-2y+2\left(17-3y\right)=0

x-2y+34-6y=0

x-8y=-34

Nuevo sistema:

\left\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x-8y=-34\end{array}\right.

Despejamos a x de x+y=2 .

x+y=2\to x=2-y

Sustituimos en x-8y=-34 .

2-y-8y=-34

-9y=-36

\therefore y=4

Sustituimos este resultado en x=2-y .

x=2-4=-2

\therefore x=-2

Por último, para obtener a z sustituimos el valor de y en z=17-3y .

z=17-3\left(4\right)=5

\therefore z=5

La solución al SEL es:

x=-2;y=4;z=5

Comparando con los incisos, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 52

¿Cuál de las siguientes funciones tienen un comportamiento creciente?

1. f\left(x\right)=-3x
2. f\left(x\right)={3}^{-x}
3. f\left(x\right)=\frac{3}{x}
4. f\left(x\right)={x}^{3}

Solución:

Cuando hablamos de que una función sea creciente o decreciente, podemos centrarnos en estudiar esta característica para un intervalo cerrado de x o para todo el dominio de la variable. Debido a que el enunciado no especifica un intervalo, procedemos a estudiar el comportamiento de las funciones para todo su dominio.

Por otra parte, es necesario recordar que una función es creciente si para incrementos de x , las imágenes de f también crecen.

Función a.

f\left(x\right)=-3x

Esta función es una línea recta que pasa por el origen y con pendiente negativa, es decir, es una función que decrece linealmente.

Función b.

f\left(x\right)={3}^{-x}

La función del inciso b es de tipo potencial con exponente negativo, es decir, que mientras más grande se haga x más cercano a cero estará la imagen de la función. Se trata de una función decreciente para todo su dominio.

Función c.

f\left(x\right)=\frac{3}{x}

Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en x=0 , por lo que su dominio está definido por el conjunto x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,\infty \right) . En ambos conjuntos, la función es decreciente en el primero decrece desde cero hasta menos infinito y en el segundo conjunto desde más infinito hasta cero.

Función d.

f\left(x\right)={x}^{3}

Por descartes, esta debería ser la respuesta correcta, pero si la analizamos detenidamente, es una función cuyo dominio es todos los reales y que crece a medida que crece x en todo su dominio.

Concluimos indicando que la función del inciso d) es la respuesta correcta al ejercicio.

Reactivo 53

¿A cuánto equivale 45° en radianes?

1. \frac{1}{4}\pi
2. \frac{2}{3}\pi
3. \frac{3}{4}\pi
4. \frac{4}{3}\pi

Solución:

Para encontrar el equivalente en radianes del ángulo dado en grados, debemos emplear la relación lineal que dice que 180° es igual a \pi  radianes, de esta manera:

180°\to \pi 

45°\to x

Aplicamos regla de tres directa y despejamos el valor de x .

x=\frac{45° \pi }{180°}=\frac{\pi }{4}

Cuarenta y cinco grados equivalen a pi cuartos radianes.

Comparando con las opciones, concluimos que la correcta es la a).

Reactivo 54

Calcula el valor del coseno para el ángulo de 150° en el siguiente círculo trigonométrico.

1. -\frac{1}{2}
2. \frac{1}{2}
3. -\frac{\sqrt{3}}{2}
4. \frac{\sqrt{3}}{2}

Solución:

Para calcular el valor del coseno de 150°, podemos calcular el coseno de su ángulo suplementario y escribimos el resultado con signo negativo. Debemos hacer esto último porque 150° queda en el segundo cuadrante, región en la que el coseno es negativo.

El ángulo suplementario a 150° es 30°, calculamos el coseno de 30° y luego le cambiamos el signo.

\mathrm{cos}150°=-\mathrm{cos}30°

El coseno de 30° es notable y tiene el valor de \frac{\sqrt{3}}{2} , finalmente:

\mathrm{cos}150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}

Comparando con las opciones, concluimos indicando como correcta la c).

Reactivo 55

¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical de la función f\left(x\right)=2\mathrm{log}\left(x-3\right) ?

1. x=3
2. y=-3
3. x=-3
4. y=3

Solución:

Las asíntotas verticales de cualquier función, corresponden a los valores de la variable independiente que hacen que la función se indetermina, es decir, que pase a ver más o menos infinito. Cualquier función logarítmica existe siempre y cuando el argumento de la misma sea mayor que cero, por tanto, la asíntota vertical ocurre cuando el argumento es igual a cero.

x-3=0\to x=3

De forma gráfica esto queda:

Concluimos seleccionando al inciso a) como la respuesta correcta al ejercicio.