Guía UNAM Matemáticas: Área 1 Ciencias Físico-Matemáticas Parte 1

¡Hola aspirante! En este post estaremos resolviendo paso a paso los primeros 10 reactivos de matemáticas, del 47 al 56, correspondientes a la guía área 1 de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías, como preparación antes del examen de ingreso a la UNAM.

¿Cómo estudiar la guía UNAM? Comienza por estudiar el temario de matemáticas UNAM área 1, luego que domines el contenido ven y resuelve los ejercicios sin mirar la solución.

A continuación, te dejo un breve resumen con los puntos más importantes del examen de ingreso a la UNAM.

Estructura del examen

La prueba de ingreso a la Universidad Nacional Autónoma de México tiene una extensión de 120 ejercicios, de los cuales 26 pertenecen a la asignatura de matemáticas para el área 1 Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías.

¿Aún no conoces todos los detalles del examen a la UNAM?

En la siguiente tabla, encontrarás la estructura del examen a la UNAM por el área 1, donde se indican las asignaturas y la cantidad de reactivos correspondientes a resolver.

Estructura examen área 1.

De las 39 carreras ofertadas por la UNAM para el área 1, nueve de ellas cuentan con modalidad de ingreso indirecto, es decir, deberás cumplir una serie de requisitos extra que dependerán de la facultad a la que desees ingresar.

¿Cómo estudiar matemáticas?

Si estás saliendo del bachillerato, probablemente sea común para ti estudiar matemáticas resolviendo montones de ejercicios y leyendo unos pocos apuntes, pero la realidad de las matemáticas en la universidad está (por mucho) lejos de eso.

Desde ahora, no es relevante la cantidad de ejercicios resueltos en tu cuaderno, lo realmente valioso será tu capacidad para analizar los problemas, abstraer en tu mente los conceptos y aplicarlos sobre las situaciones planteadas en los enunciados.

Los siguientes consejos te permitirán estudiar matemáticas manteniendo presente lo anterior.

Temario matemáticas área 1

En la siguiente lista tienes el temario de matemáticas para el área 1 de Ciencias Físico Matemáticas UNAM. Puede parecer extenso, pero si organizas tu tiempo podrás cubrir cada uno de los temas. Puedes acceder a mayor información sobre el examen y la convocatoria UNAM haciendo click en este enlace.

Guía matemáticas UNAM área 1 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de los primeros 10 reactivos de matemáticas, para la guía UNAM del área de Ciencias Físico Matemáticas e Ingenierías.

 

Reactivo 47

Simplifica la expresión \frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{a}^{2}+b} .

1. \sqrt{{\left({a}^{2}+b\right)}^{6}}
2. {\left({a}^{2}+b\right)}^{-1/2}
3. \sqrt{{a}^{2}+b}
4. a+{b}^{1/2}

Solución:

Para resolver este ejercicio, debemos aplicar correctamente las propiedades de los exponentes. Identificamos que tanto en el numerador como en el denominador está presente el binomio {a}^{2}+b , por lo tanto, debemos aplicar la propiedad de cociente de potencias de igual base.

\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{a}^{2}+b}=\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{\left({a}^{2}+b\right)}^{1}}={\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}-1} 

\therefore {\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{1}{2}} 

Convertimos el exponente racional a radical mediante la propiedad que lleva el mismo nombre.

{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{{a}^{2}+b}

Finalmente:

\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}} }{{a}^{2}+b}=\sqrt{{a}^{2}+b}

Concluimos seleccionando como correcta la opción c).

Reactivo 48

Al simplificar la expresión algebraica -3x-\left[-2\left(4x-3\right)-\left(9-x\right)\right] se obtiene:

1. 6x+3
2. 4x+3
3. 10x+3
4. 6x+12

Solución:

Determinar la simplificación de la expresión algebraica indicada por el enunciado, pasa por identificar términos semejantes y aplicar correctamente las leyes de los signos. Comencemos por resolver el interior de los corchetes.

-3x-\left[-2\left(4x-3\right)-\left(9-x\right)\right]=-3x-\left[-8x+6-9+x\right]

Operamos los términos semejantes dentro de los corchetes.

-3x-\left[-8x+x+6-9\right]=-3x-\left[-7x-3\right]

Deshacemos los corchetes.

-3x-\left[-7x-3\right]=-3x+7x+3=4x+3

Finalmente:

-3x-\left[-2\left(4x-3\right)-\left(9-x\right)\right]=4x+3

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción b).

Reactivo 49

Desarrolla el siguiente binomio.

{\left(x-y\right)}^{2}

1. {x}^{2}-{y}^{2}
2. {x}^{2}-xy+{y}^{2}
3. {x}^{2}-2xy+{y}^{2}
4. {x}^{2}+2xy+{y}^{2}

Solución:

Para desarrollar correctamente el binomio elevado al cuadrado, debemos separar la potencia en factores.

{\left(x-y\right)}^{2}=\left(x-y\right)\left(x-y\right)

Ahora, multiplicamos cada término del primer factor con cada término del segundo.

\left(x-y\right)\left(x-y\right)=x\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)

Desarrollamos.

x\left(x-y\right)-y\left(x-y\right)={x}^{2}-xy-yx+{y}^{2}={x}^{2}-xy-xy+{y}^{2}

\therefore {x}^{2}-2xy+{y}^{2}

Finalmente:

{\left(x-y\right)}^{2}={x}^{2}-2xy+{y}^{2}

Indicamos como respuesta correcta al inciso c).

Reactivo 50

Simplifica la siguiente fracción.

\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}

1. x-5
2. -x+5
3. -x+8
4. x-8

Solución:

Para simplificar la fracción, debemos factorizar el trinomio del numerador. Debido a que se trata de un polinomio de segundo grado, tenemos varias alternativas para calcular sus factores primos, primero extraemos como factor común menos.

\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}=-\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}

Ahora, intentamos buscando dos números que sumados den +3 y que multiplicados sean -40 . Estas dos cantidades son +8 y -5 , por tanto:

-\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}=-\frac{\left(x-5\right)\left(x+8\right)}{x+8}

Simplificamos x+8 .

-\frac{\left(x-5\right)\left(x+8\right)}{x+8}=-\left(x-5\right)=-x+5

Finalmente:

\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}=-x+5

Comparando con las opciones del problema, concluimos que la respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 51

La expresión 2x+3=7 es una:

1. Inecuación
2. Desigualdad
3. Ecuación
4. Identidad

Solución:

Para responder la pregunta, debemos entender primero qué es una igualdad y que es una identidad; queda claro que no es necesario indagar en inecuación o en desigualdad, porque la conexión entre los miembros es a través de un signo igual.

Sabemos que una identidad es una igualdad que conecta dos objetos matemáticos que parecen diferentes, pero que representan el mismo resultado sin importar los valores de las variables en ella. Es decir, siempre valen igual.

Por otro lado, una ecuación es una igualdad matemática que solo se cumple para determinados valores de la o las variables en juego.

Lo anterior puede comprenderse mejor con un par de ejemplos. La igualdad {\mathrm{sin}}^{2}x+{\mathrm{cos}}^{2}x=1 es una identidad, porque no importa el valor que tome x , el resultado siempre será 1. Esto lo vemos mejor en la siguiente imagen.

Ahora, un ejemplo claro de ecuación se presenta cuando tomamos un polinomio de segundo grado (o cualquier otro polinomio de grado n ) y lo igualamos a cero, en dicho caso la igualdad se cumple, como máximo, para 2 valores de x .

Teniendo todo esto en cuenta y examinando la igualdad indicada por el enunciado, concluimos entonces que la misma es una ecuación, porque la igualdad solo se cumple para un solo valor de la variable x=2 . Seleccionamos como correcta la opción c).

Reactivo 52

Las soluciones de la ecuación 4{x}^{2}+16x+15=0 son:

1. {x}_{1}=-\frac{3}{2};{x}_{2}=-\frac{5}{2}
2. {x}_{1}=3;{x}_{2}=-\frac{5}{2}
3. {x}_{1}=\frac{3}{2};{x}_{2}=\frac{5}{2}
4. {x}_{1}=-\frac{3}{4};{x}_{2}=5

Solución:

Para calcular las raíces del polinomio indicado, debemos aplicar la fórmula de segundo grado:

x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

Donde a, b y c son los factores de cada uno de los términos.

a=4;b=16;c=15

Sustituimos en la fórmula de segundo grado:

x=\frac{-16\pm \sqrt{{16}^{2}-4\left(4\right)\left(15\right)}}{2\left(4\right)}

Resolvemos.

x=\frac{-16\pm \sqrt{256-240}}{8}=\frac{-16\pm \sqrt{16}}{8}=\frac{-16\pm 4}{8}

Obtenemos las dos soluciones:

{x}_{1}=\frac{-16+4}{8}=-\frac{3}{2}

{x}_{2}=\frac{-16-4}{8}=-\frac{5}{2}

Finalmente:

{x}_{1}=-\frac{3}{2};{x}_{2}=-\frac{5}{2}

Concluimos el ejercicio indicando como respuesta correcta la opción a).

Reactivo 53

Al resolver -2x+6\ge 16 ¿Cuál es el valor de x ?

1. x<-5
2. x\ge 5
3. x\le -5
4. x>5

Solución:

Para resolver la inecuación, debemos aplicar las reglas de las desigualdades; las cuales son similares a las leyes de las igualdades, pero con la particularidad de que tenemos que revisar el sentido de la desigualdad si multiplicamos o dividimos por un número negativo. Comencemos por pasar a restar 6 en ambos miembros.

-2x+6-6\ge 16-6\to -2x\ge 10

Ahora, dividimos ambos miembros por -2 , esto forzará un cambio en el sentido de la desigualdad.

-\frac{2x}{-2}\le \frac{10}{-2}\to x\le -5

El conjunto solución de la inecuación es: todas las x que sean menores o iguales que -5 .

Concluimos indicando que la respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 54

A partir del siguiente sistema de ecuaciones obtén el valor de x .

\left\{\begin{array}{c}5x-4y=19\\ 7x+3y=18\end{array}\right.

1. x=-3
2. x=-1
3. x=1
4. x=3

Solución:

En este caso, podemos aplicar cualquier método de solución para sistemas de ecuaciones lineales. Debido a que nos solicitan solo el valor de x , será más versátil emplear el método por sustitución, en el cuál obtendremos una expresión que solo depende de x .

Despejamos a y de la primera ecuación.

5x-4y=19\to 4y=5x-19

\therefore y=\frac{5x-19}{4}

Sustituimos en la segunda ecuación.

7x+3\left(\frac{5x-19}{4}\right)=18

28x+3\left(5x-19\right)=72

28x+15x-57=72

Despejamos a x .

43x=129\to x=3

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción d).

Reactivo 55

La función de la siguiente gráfica está dada por:

1. f\left(x\right)=-\sqrt{8x-16}
2. f\left(x\right)=+\sqrt{8x-16}
3. f\left(x\right)=-\sqrt{-8x-16}
4. f\left(x\right)=+\sqrt{-8x-16}

Solución:

Para encontrar la expresión correcta que describe la curva mostrada en la figura, debemos saber identificar qué curva es la que vemos. Si recordamos las secciones cónicas, la imagen parece mostrar la mitad de una parábola con eje focal sobre el eje x , esto quiere decir que la variable y es quien se encuentra elevada al cuadrado.

{\left(y-{y}_{o}\right)}^{2}=4p\left(x-{x}_{o}\right)

Ahora, las coordenadas del vértice de la elipse deben ser \left({x}_{o}, 0\right) ya que el mismo se encuentra sobre el eje y . La ecuación quedaría:

{y}^{2}=4p\left(x-{x}_{o}\right)

Si despejamos la y nos quedan dos soluciones: una que corresponde a la parte positiva y otra a la parte negativa de la parábola, teniendo como eje de simetría el eje x .

Con este análisis, descartamos los incisos b y d. Ahora, queda claro que la respuesta correcta no puede ser el inciso c porque la x está negativa, esto puede demostrarse estudiante rápidamente el dominio de dicha función.

f\left(x\right)=-\sqrt{-8x-16}\to -8x-16\ge 0

\therefore x\le -2

Es decir, la curva del inciso c existe para x negativos menores a -2, mientras que la imagen del enunciado deja claro que la función debe existir para x positivos mayores a cierto valor. Esto se cumple en la función del inciso a).

Concluimos indicando como respuesta correcta la opción a).

Reactivo 56

En términos de \mathrm{sin}x y \mathrm{cos}x , \mathrm{tan}x es igual a:

1. \frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}
2. \frac{\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x}
3. \frac{2\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}
4. \frac{2\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x}

Solución:

Las identidades trigonométricas fundamentales se deducen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo, generalmente uno representado dentro de la circunferencia unitaria.

La tangente del ángulo viene dada por el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

\mathrm{tan}\alpha =\frac{CO}{CA}

Además, el coseno y el seno de alfa se pueden escribir como:

  \mathrm{sin}\alpha =\frac{CO}{H}; \mathrm{cos}\alpha =\frac{CA}{H}

Despejamos CO y CA.

CO=H\mathrm{sin}\alpha ;CA=H\mathrm{cos}\alpha 

Sustituimos en la identidad de la tangente:

\mathrm{tan}\alpha =\frac{H\mathrm{sin}\alpha }{H\mathrm{cos}\alpha }=\frac{\mathrm{sin}\alpha }{\mathrm{cos}\alpha }

Finalmente:

\mathrm{tan}x=\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}

Concluimos indicando como correcta la opción a).