Continuamos resolviendo los reactivos del 31 al 40, de la cuarta parte del simulador de matemáticas (segunda versión)como preparación al examen de ingreso IPN en el área de Ingeniería y Ciencias Físico Matemáticas.
Ejercicios de Matemáticas
Vamos con los reactivos del 31 al 40 del simulador de matemáticas, para la prueba de ingreso del Instituto Politécnico Nacional.
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Reactivo 31
Identificar si la función f\left(x\right)=\frac{x}{\left|x\right|} , es continua o discontinua en x=0 .
- Discontinuidad no evitable
- Discontinuidad evitable
- Continua a tramos
- Continua en todo su dominio
Solución:
Para comprobar que una función sea continua en un punto x={x}_{o} , se deben cumplir dos condiciones:
- Que la función exista y esté definida en el punto
- Que el límite cuando x\to {x}_{o} de f\left(x\right) y sea igual a f\left({x}_{o}\right)
Si al menos una de las condiciones no se cumple, la función es discontinua en {x}_{o} . Al intentar comprobar la segunda condición, nos encontramos que el límite por la izquierda (-1) es distinto al límite por la derecha (1) para f\left(x=0\right) .
Por esta razón, la función es discontinua en x=0 .
Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso a).
Reactivo 32
Calcule el conjunto solución de la siguiente inecuación:
\left|\frac{1}{3x+1}\right|<3
- \left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)
- \left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)\cup \left(-\frac{2}{9}, \infty \right)
- \left(-\frac{2}{9}, \infty \right)
- \left(-\infty , \frac{4}{9}\right)\cup \left(\frac{2}{9}, \infty \right)
Solución:
Para estudiar las inecuaciones con valor absoluto, primero debemos descomponerlas en una inecuación doble.
\left|\frac{1}{3x+1}\right|<3\to -3<\frac{1}{3x+1}<3
Esto nos arroja dos inecuaciones por resolver:
\left\{\begin{array}{c}{I}_{1}: \frac{1}{3x+1}>-3\\ {I}_{2}: \frac{1}{3x+1}<3\end{array}\right.
La solución total será la unión entre las soluciones parciales de ambas inecuaciones. Vamos con la primera.
Inecuación 1.
\frac{1}{3x+1}>-3
Pasamos el -3 al otro miembro y resolvemos la suma.
\frac{1}{3x+1}+3>0\to \frac{9x+4}{3x+1}>0
La fracción será positiva cuando ambos, numerador y denominador, sean positivos o negativos.
{S}_{11}: 9x+4>0 \mathrm{y}\mathrm{ }3x+1>0
{S}_{12}: 9x+4<0 \mathrm{y}\mathrm{ }3x+1<0
Resolviendo {S}_{11} :
9x>-4 \mathrm{y}\mathrm{ }3x>-1\to x>-\frac{4}{9} \mathrm{y}\mathrm{ }x>-\frac{1}{3}
{S}_{11}=\left(-\frac{1}{3}, \infty \right)
Resolviendo {S}_{12} :
9x<-4 \mathrm{y}\mathrm{ }3x<-1\to x<-\frac{4}{9} \mathrm{y}\mathrm{ }x<-\frac{1}{3}
{S}_{12}=\left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)
La solución general de la primera inecuación es:
{S}_{1}=\left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)\cup \left(-\frac{1}{3}, \infty \right)
Inecuación 2.
\frac{1}{3x+1}<3\to \frac{1-9x-3}{3x+1}<0\to \frac{-2-9x}{3x+1}<0
La fracción será negativa cuando el numerador y el denominador tienen signos diferentes.
{S}_{21}:-2-9x>0 \mathrm{y}\mathrm{ }3x+1<0
{S}_{22}:-2-9x<0 \mathrm{y}\mathrm{ }3x+1>0
Resolvemos {S}_{21} :
-9x>2 \mathrm{y}\mathrm{ }3x<-1\to x<-\frac{2}{9} \mathrm{y}\mathrm{ }x<-\frac{1}{3}
{S}_{21}=\left(-\infty , -\frac{1}{3}\right)
Resolvemos {S}_{22} :
-9x<2 \mathrm{y}\mathrm{ }3x>-1\to x>-\frac{2}{9} \mathrm{y}\mathrm{ }x>-\frac{1}{3}
{S}_{22}=\left(-\frac{2}{9}, \infty \right)
El conjunto solución de la segunda inecuación es:
{S}_{2}=\left(-\infty , -\frac{1}{3}\right)\cup \left(-\frac{2}{9}, \infty \right)
Ahora, interceptamos ambas soluciones para hallar el conjunto de la inecuación original.
S={S}_{1}\cap {S}_{2}=\left[\left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)\cup \left(-\frac{1}{3}, \infty \right)\right]\cap \left[\left(-\infty , -\frac{1}{3}\right)\cup \left(-\frac{2}{9}, \infty \right)\right]
La intercepción entre los conjuntos ocurre en \left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)\cup \left(-\frac{2}{9}, \infty \right) . Por tanto:
S=\left(-\infty , -\frac{4}{9}\right)\cup \left(-\frac{2}{9}, \infty \right)
La respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 33
Hallar el valor del siguiente límite:
\underset{x\to -4}{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{2}-16}{x+4}
- 1
- -2
- 8
- -8
Solución:
Comenzamos evaluando el límite en el punto para comprobar la indeterminación.
\underset{x\to -4}{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{2}-16}{x+4}=\frac{{\left(-4\right)}^{2}-16}{-4+4}=\frac{0}{0}
Tenemos una indeterminación 0/0. Factorizamos el numerador.
\underset{x\to -4}{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{2}-16}{x+4}=\underset{x\to -4}{\mathrm{lim}}\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x+4}
Simplificamos y evaluamos.
\underset{x\to -4}{\mathrm{lim}}\left(x-4\right)=-4-4=-8
El límite de \frac{{x}^{2}-16}{x+4} cuando x tiende a -4 es -8.
La respuesta correcta es el inciso d).
Reactivo 34
Teniendo en cuenta la siguiente integral, ¿cuál de las siguientes expansiones en fracciones parciales del integrando permiten resolverla?
\int \frac{1}{x{\left(x-1\right)}^{2}}dx
- \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{2}}
- \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{2}}
- \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{2}}
- \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{2}}
Solución:
En este caso, debemos concentrarnos en aplicar fracciones parciales al integrando. El denominador tiene un factor lineal diferente x y a dos factores lineales repetidos {\left(x-1\right)}^{2}=\left(x-1\right)\left(x-1\right) . La descomposición quedaría:
\frac{1}{x{\left(x-1\right)}^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{{\left(x-1\right)}^{2}}
Pasamos a multiplicar el denominador de la izquierda hacia la derecha.
1=A{\left(x-1\right)}^{2}+Bx\left(x-1\right)+Cx
Desarrollamos y agrupamos.
1=A\left({x}^{2}-2x+1\right)+B\left({x}^{2}-x\right)+Cx
1=\left(A+B\right){x}^{2}+\left(-2A-B+C\right)x+A
Igualando coeficientes nos queda:
\begin{array}{c}A+B=0\\ -2A-B+C=0\\ A=1\end{array}
Resolviendo el sistema de ecuaciones nos queda:
A=1\to B=-1
C=2A+B\to C=2-1=1
Finalmente:
A=1, B=-1, C=1
Sustituyendo:
\frac{1}{x{\left(x-1\right)}^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{2}}
La integral separada en fracciones parciales es:
\int \frac{1}{x{\left(x-1\right)}^{2}}dx=\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x-1}dx+\int \frac{1}{{\left(x-1\right)}^{2}}dx
La respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 35
¿Cuál es el resultado de la siguiente integral?
\int \frac{\mathrm{ln}\left(1+x\right)}{x+1}dx
- \frac{1}{2}{\mathrm{ln}}^{2}\left(1+x\right)+C
- {\mathrm{ln}}^{2}\left(1+x\right)+C
- 2{\mathrm{ln}}^{2}\left(1+x\right)+C
- \frac{1}{2}{\mathrm{ln}}^{2}\left(1+x\right)+C
Solución:
Examinado la función integral, nos damos cuenta que no existe fórmula inmediata para resolverla; debemos emplear algún método. Ya que la derivada de \mathrm{ln}\left(1+x\right) es \frac{1}{x+1} , conviene aplicar cambio de variables.
u=\mathrm{ln}\left(1+x\right)\to du=\frac{1}{x+1}dx
Aplicando el cambio nos queda:
\int \frac{\mathrm{ln}\left(1+x\right)}{x+1}dx=\int udu
Resolvemos aplicando la fórmula de la integral de una potencia.
\int udu=\frac{1}{2}{u}^{2}+C
Devolvemos el cambio de variables.
\frac{1}{2}{u}^{2}+C\to \frac{1}{2}{\mathrm{ln}}^{2}\left(1+x\right)+C
Finalmente:
\int \frac{\mathrm{ln}\left(1+x\right)}{x+1}dx=\frac{1}{2}{\mathrm{ln}}^{2}\left(1+x\right)+C
Comparando con los incisos, concluimos que la respuesta correcta es el a).
Reactivo 36
Obtenga el resultado de calcular la siguiente integral definida:
{\int }_{1}^{2}\left(4x-1\right)dx
- 5
- -5
- 1
- 0
Solución:
Las integrales definidas se calculan a partir del segundo teorema fundamental del cálculo.
{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)
Donde F\left(b\right) y F\left(a\right) es la primitiva de f evaluada en los extremos de integración. Primero la integramos indefinidamente y a la función resultante la evaluamos en los extremos.
{\int }_{1}^{2}\left(4x-1\right)dx
Separamos en dos integrales.
{\int }_{1}^{2}\left(4x-1\right)dx=4{\int }_{1}^{2}xdx-{\int }_{1}^{2}dx
Aplicamos las fórmulas de la integral de x y del símbolo del diferencial respectivamente.
=4{\int }_{1}^{2}xdx-{\int }_{1}^{2}dx=\left.\begin{array}{c}\\ 2{x}^{2}-x\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}2\\ \\ 1\end{array}=2{\left(2\right)}^{2}-2-\left[2{\left(1\right)}^{2}-1\right]=5
Finalmente:
{\int }_{1}^{2}\left(4x-1\right)dx=5
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 37
Calcule el resultado de la integral:
\int {\mathrm{tan}}^{2}xdx
- \mathrm{tan}x-x+C
- \mathrm{tan}x+x+C
- -\mathrm{tan}x-x+C
- \mathrm{tan}x+C
Solución:
Para resolver esta integral debemos emplear alguna sustitución trigonométrica.
\int {\mathrm{tan}}^{2}xdx=\int \frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}dx
Aplicando la identidad pitagórica a {\mathrm{sin}}^{2}x=1-{\mathrm{cos}}^{2}x nos queda:
\int \frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}dx=\int \frac{1-{\mathrm{cos}}^{2}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}dx=\int \left(\frac{1}{{\mathrm{cos}}^{2}x}-1\right)dx=\int {\mathrm{sec}}^{2}xdx-\int dx
Aplicamos la integral de la secante al cuadrado y la integral del diferencial.
\int {\mathrm{sec}}^{2}xdx-\int dx=\mathrm{tan}x-x+C
Finalmente:
\int {\mathrm{tan}}^{2}xdx=\mathrm{tan}x-x+C
Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso a).
Reactivo 38
Calcule la siguiente integral definida:
{\int }_{4}^{9}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx
- 4\mathrm{ln}\frac{3}{4}+1
- 4\mathrm{ln}\frac{3}{4}-1
- 4\mathrm{ln}3-1
- 1-4\mathrm{ln}\frac{3}{4}
Solución:
Comenzamos a integrar indefinidamente. Debemos aplicar un cambio de variables algo ingenioso. Debido a que la x se encuentra dentro de una raíz cuadrada, el cambio será:
x={\left(z-1\right)}^{2}
De tal forma que:
dx=2\left(z-1\right)dz
Sustituimos todo en la integral:
{\int }_{4}^{9}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx\to 2{\int }_{4}^{9}\frac{1-\sqrt{{\left(z-1\right)}^{2}}}{1+\sqrt{{\left(z-1\right)}^{2}}}\left(z-1\right)dz
Simplificamos:
2{\int }_{4}^{9}\frac{1-z+1}{1+z-1}\left(z-1\right)dz=2{\int }_{4}^{9}\frac{2-z}{z}\left(z-1\right)dz=2{\int }_{4}^{9}\frac{2-z}{z}\left(z-1\right)dz
2{\int }_{4}^{9}\frac{-{z}^{2}+3z-2}{z}dz=2{\int }_{4}^{9}\left(-z+3-\frac{2}{z}\right)dz
Separamos en tres integrales simples.
=2\left(-{\int }_{4}^{9}zdz+3{\int }_{4}^{9}dz-{\int }_{4}^{9}\frac{2}{z}dz\right)=2\left(-\frac{{z}^{2}}{2}+3z-2\mathrm{ln}z\right)\begin{array}{c}9\\ \\ 4\end{array}
2\left(-\frac{{z}^{2}}{2}+3z-2\mathrm{ln}z\right)\begin{array}{c}9\\ \\ 4\end{array}=\left.\begin{array}{c} \\ -{z}^{2}+6z-4\mathrm{ln}z\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}9\\ \\ 4\end{array}
Devolvemos el cambio de variables.
z=1+\sqrt{x}
\left.\begin{array}{c} \\ -{z}^{2}+6z-4\mathrm{ln}z\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}9\\ \\ 4\end{array}\to \left.\begin{array}{c} \\ -{\left(1+\sqrt{x}\right)}^{2}+6\left(1+\sqrt{x}\right)-4\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{x}\right)\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}9\\ \\ 4\end{array}
=-{\left(1+\sqrt{9}\right)}^{2}+6\left(1+\sqrt{9}\right)-4\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{9}\right)-\left[-{\left(1+\sqrt{4}\right)}^{2}+6\left(1+\sqrt{4}\right)-4\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{4}\right)\right]
=8-4\mathrm{ln}4-\left(9-4\mathrm{ln}3\right)=8-4\mathrm{ln}4-9+4\mathrm{ln}3=4\mathrm{ln}\frac{3}{4}-1
Finalmente:
{\int }_{4}^{9}\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}dx=4\mathrm{ln}\frac{3}{4}-1\approx -2.1507
La respuesta correcta es el inciso b).
Materiales de estudio
Reactivo 39
Calcule se la siguiente integral indefinida:
\int x{e}^{2x}dx
- \frac{x}{2}-x{e}^{2x}+C
- \frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{x}{4}{e}^{2x}+C
- \frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C
- \frac{x}{2}{e}^{2x}+\frac{1}{4}{e}^{2x}+C
Solución:
Analizando el integrando, queda claro que debemos aplicar el método de integración por partes. Debido a que la función exponencial queda invariante al integrar o derivarla, debemos seleccionar como u a la x .
u=x\to du=dx
dv={e}^{2x}dx\to v=\frac{1}{2}{e}^{2x}
Aplicando la fórmula de integración por partes:
\int x{e}^{2x}dx=\frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\int {e}^{2x}dx
La integral indicada se resuelve de forma inmediata aplicando la fórmula de la exponencial.
\frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}\int {e}^{2x}dx=\frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C
Finalmente:
\int x{e}^{2x}dx=\frac{x}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C
Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso c).
Reactivo 40
Calcule la siguiente integral indefinida:
\int \mathrm{sin}x{e}^{\mathrm{cos}x}dx
- -{e}^{\mathrm{cos}x}+C
- -{e}^{\mathrm{sin}x}+C
- {e}^{\mathrm{cos}x}+C
- -\mathrm{cos}x{e}^{\mathrm{cos}x}+C
Solución:
Para esta integral, debemos aplicar cambio de variables.
u=\mathrm{cos}x\to du=-\mathrm{sin}xdx
-du=\mathrm{sin}xdx
Implementando el cambio en la integral nos queda:
\int \mathrm{sin}x{e}^{\mathrm{cos}x}dx\to -\int {e}^{u}du
Esta integral se resuelve de forma inmediata con la fórmula de la exponencial.
-\int {e}^{u}du=-{e}^{u}+C
Devolvemos el cambio de variables.
-{e}^{u}+C\to -{e}^{\mathrm{cos}x}+C
Finalmente:
\int \mathrm{sin}x{e}^{\mathrm{cos}x}dx=-{e}^{\mathrm{cos}x}+C
Seleccionamos como respuesta correcta al inciso a).
