¡Llegamos a la última parte, aspirante! En este tutorial resolveremos la tercera parte del examen simulacro para la guía EXANI II de Cálculo diferencial e integral, desde el reactivo 41 hasta el 50.
Recuerda desarrollarlos por tu cuenta antes de revisar la solución.
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Curso Exani II 2024
Reactivo 41
Relacione la integral con la sustitución trigonométrica que permite resolverla.
- 1a, 2c, 3b
- 1c, 2a, 3b
- 1b, 2c, 3a
Solución:
El método de integración por sustitución trigonométrica, consiste en armar un triángulo rectángulo con los elementos que conforman una expresión matemática similar al teorema de Pitágoras.
A partir de esto, se deducen 3 posibles cambios de variable:
Teniendo esto como referencia, podemos ir relacionando el cambio de la columna derecha con la integral en la columna izquierda.
Primera integral.
\int \frac{dx}{{\left(4-{x}^{2}\right)}^{3/2}}=\int \frac{dx}{{\left({2}^{2}-{x}^{2}\right)}^{3/2}}
Examinando la imagen, corresponde al primer caso.
x=2\mathrm{sin}\theta
1a.
Segunda integral.
\int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}-16}}dx=\int \frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}-{4}^{2}}}dx
Corresponde al segundo caso.
x=4\mathrm{sec}\theta
2c.
Por descartes: 3b. Uniendo todas las respuestas parciales nos queda: 1a, 2c, 3b.
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 42
Aplicando el método de integración fracciones parciales, encuentre la solución a la siguiente integral.
\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{4}-{x}^{3}}dx
- I=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C
- I=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+C
- I=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C
Solución:
Antes de separar en fracciones parciales, vamos a extraer factor común {x}^{3} en el denominador.
\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{4}-{x}^{3}}dx=\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{3}\left(x-1\right)}dx
Procedemos a separar en fracciones parciales, teniendo en cuenta que la triple potencia de x se descompone en 3 fracciones.
\frac{{x}^{3}+1}{{x}^{3}\left(x-1\right)}=\frac{{a}_{1}}{x}+\frac{{a}_{2}}{{x}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{{x}^{3}}+\frac{{a}_{4}}{x-1}
Pasamos a multiplicar el denominador de la izquierda hacia la derecha.
{x}^{3}+1={a}_{1}{x}^{2}\left(x-1\right)+{a}_{2}x\left(x-1\right)+{a}_{3}\left(x-1\right)+{a}_{4}{x}^{3}
Desarrollando y agrupando nos queda:
\left({a}_{1}+{a}_{4}\right){x}^{3}+\left({a}_{2}-{a}_{1}\right){x}^{2}+\left({a}_{3}-{a}_{2}\right)x-{a}_{3}={x}^{3}+1
Igualamos términos.
\begin{array}{c}\begin{array}{c}{a}_{1}+{a}_{4}=1\\ {a}_{2}-{a}_{1}=0\end{array}\\ \begin{array}{c}{a}_{3}-{a}_{2}=0\\ -{a}_{3}=1\end{array}\end{array}
Despejamos de forma directa a {a}_{3} .
{a}_{3}=-1
\begin{array}{c}{a}_{1}+{a}_{4}=1\\ {a}_{2}-{a}_{1}=0\\ -1-{a}_{2}=0\end{array}
Despejamos a {a}_{2} .
{a}_{2}=-1
Despejamos a {a}_{1} .
{a}_{1}=-1
Finalmente, obtenemos el valor de {a}_{4} .
{a}_{4}=1+1=2
Sustituimos en la descomposición en fracciones parciales.
\frac{{x}^{3}+1}{{x}^{3}\left(x-1\right)}=-\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{2}{x-1}
Sustituimos en la integral.
\int \left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{3}}+\frac{2}{x-1}\right)dx=-\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{{x}^{2}}dx-\int \frac{1}{{x}^{3}}dx+2\int \frac{1}{x-1}dx
Integramos de forma directa aplicando la fórmula del inverso de x y de una potencia.
-\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{{x}^{2}}dx-\int \frac{1}{{x}^{3}}dx+2\int \frac{1}{x-1}dx=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C
Finalmente:
\int \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{4}-{x}^{3}}dx=-\mathrm{ln}\left|x\right|+\frac{1}{x}+\frac{1}{2{x}^{2}}+2\mathrm{ln}\left|x-1\right|+C
Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso a).
Reactivo 43
Dada la integral:
\int \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}dx
¿Cuál es la separación en fracciones parciales que permite simplificar su solución?
- \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{11{x}^{2}}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}-\frac{10x}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}+\frac{3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}
- \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{11}{x}-\frac{10x}{2x-1}+\frac{3}{{\left(2x-1\right)}^{2}}
- \frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{3}{x}-\frac{1}{2\left(2x-1\right)}+\frac{3}{{2\left(2x-1\right)}^{2}}
Solución:
Extraemos factor común x del denominador y aplicamos fracciones parciales.
\frac{11{x}^{2}-10x+3}{4{x}^{3}-4{x}^{2}+x}=\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x\left(4{x}^{2}-4x+1\right)}
Factorizamos el polinomio de segundo grado.
\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x\left(4{x}^{2}-4x+1\right)}=\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x{\left(2x-1\right)}^{2}}
Aplicamos fracciones parciales.
\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x{\left(2x-1\right)}^{2}}=\frac{{a}_{1}}{x}+\frac{{a}_{2}}{2x-1}+\frac{{a}_{3}}{{\left(2x-1\right)}^{2}}
Pasamos a multiplicar el denominador de la fracción de la izquierda.
11{x}^{2}-10x+3={a}_{1}{\left(2x-1\right)}^{2}+{a}_{2}x\left(2x-1\right)+{a}_{3}x
Desarrollando y agrupando nos queda:
\left(4{a}_{1}+2{a}_{2}\right){x}^{2}+\left({a}_{3}-4{a}_{1}-{a}_{2}\right)x+{a}_{1}=11{x}^{2}-10x+3
Igualamos los coeficientes de términos semejantes.
\begin{array}{c}4{a}_{1}+2{a}_{2}=11\\ {a}_{3}-4{a}_{1}-{a}_{2}=-10\\ {a}_{1}=3\end{array}
El valor de {a}_{1} lo obtenemos de manera directa. Sustituimos el resto de expresiones.
\begin{array}{c}4\left(3\right)+2{a}_{2}=11\\ {a}_{3}-4\left(3\right)-{a}_{2}=-10\end{array}\to \begin{array}{c}12+2{a}_{2}=11\\ {a}_{3}-12-{a}_{2}=-10\end{array}\to \begin{array}{c}{a}_{2}=-\frac{1}{2}\\ {a}_{3}-{a}_{2}=2\end{array}
{a}_{3}+\frac{1}{2}=2\to {a}_{3}=\frac{3}{2}
Sustituyendo los coeficientes en la descomposición nos queda:
\frac{11{x}^{2}-10x+3}{x{\left(2x-1\right)}^{2}}=\frac{3}{x}-\frac{1}{2\left(2x-1\right)}+\frac{3}{2{\left(2x-1\right)}^{2}}
La respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 44
Dada la siguiente gráfica, identifique cuál de las siguientes integrales definidas representa el cálculo del área sombreada.
- {\int }_{-2}^{1}\left|x\right|dx
- {\int }_{-2}^{1}\left(x-1\right)dx
- {\int }_{-2}^{1}\left|x+1\right|dx
Solución:
La función que se muestra en la figura, corresponde a la función valor absoluto desplazada hacia el -1. Este corrimiento lo expresamos como:
f\left(x\right)=\left|x-\left(-1\right)\right|=\left|x+1\right|
Teniendo en cuenta que el intervalo de integración es \left[-2, 1\right] , la integral definida que nos entrega el área bajo la función en este intervalo es:
{\int }_{-2}^{1}\left|x+1\right|dx
Indicamos como respuesta correcta al inciso c).
Reactivo 45
¿Cuál es el área debajo de la curva y=\sqrt{x-1} en el intervalo \left[1, 4\right] ?
- I=2\sqrt{3}
- I=2
- I=\sqrt{2}
Solución:
Establecemos la integral para calcular el área bajo la curva en el intervalo dado.
{\int }_{1}^{4}\sqrt{x-1}dx
Debemos aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver la integral definida.
{\int }_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)
Donde F es la primitiva de f . Iniciamos integrando indefinidamente.
{\int }_{1}^{4}\sqrt{x-1}dx={\int }_{1}^{4}{\left(x-1\right)}^{1/2}dx=\left.\frac{{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]\begin{array}{c}4\\ \\ 1\end{array}=\left.\frac{{2\left(x-1\right)}^{3/2}}{3}\right]\begin{array}{c}4\\ \\ 1\end{array}
Evaluamos la primitiva en los extremos.
\left.\frac{{2\left(x-1\right)}^{3/2}}{3}\right]\begin{array}{c}4\\ \\ 1\end{array}=\frac{{2\left(4-1\right)}^{3/2}}{3}-\frac{{2\left(1-1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{2}{3}{3}^{\frac{3}{2}}-0=2\sqrt{3}
Finalmente:
{\int }_{1}^{4}\sqrt{x-1}dx=2\sqrt{3}\approx 3.4641
Indicamos como respuesta correcta al inciso a).
Reactivo 46
Calcule la siguiente integral definida.
{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha
- I=1
- I=4
- I=-4
Solución:
Para encontrar el valor de la integral, aplicamos el segundo teorema fundamental del cálculo. Iniciamos integrando indefinidamente.
{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha
Extraemos factor común al 2.
{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha =\sqrt{2}{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{1+\mathrm{cos}\alpha }d\alpha
Examinando las identidades trigonométricas, tenemos que:
\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\mathrm{cos}\alpha }{2}}
Despejando a la raíz nos queda:
\sqrt{1+\mathrm{cos}\alpha }=\sqrt{2}\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)
Sustituimos.
\sqrt{2}{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{1+\mathrm{cos}\alpha }d\alpha =\sqrt{2}{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2}\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha =2{\int }_{0}^{\pi }\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha
Integramos de forma inmediata.
2{\int }_{0}^{\pi }\mathrm{cos}\left(\frac{\alpha }{2}\right)d\alpha =\left.\begin{array}{c}\\ 2\left[2\mathrm{sin}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\right]\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}\pi \\ \\ 0\end{array}=\left.\begin{array}{c}\\ 4\mathrm{sin}\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}\pi \\ \\ 0\end{array}=4\mathrm{sin}\left(\frac{\pi }{2}\right)-4\mathrm{sin}\left(0\right)=4\left(1\right)-0
Finalmente:
{\int }_{0}^{\pi }\sqrt{2+2\mathrm{cos}\alpha }d\alpha =4
La respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 47
Hallar el área de la región encerrada por el eje x , la curva y=\sqrt{x+1} y la recta y=-x+5 . Tenga en cuenta que la recta y la curva se interceptan en x=3 .
- I=22
- I=\frac{22}{3}
- I=\frac{3}{22}
Solución:
Iniciamos graficando la recta y la curva.
A partir de la gráfica, vemos que desde -1 hasta 3 debemos integrar con \sqrt{x+1} , mientras que desde 3 hasta 5 es necesario utilizar la recta. El área de la región descrita por la curva la recta y el eje x se obtiene como:
A={\int }_{-1}^{3}\sqrt{x+1}dx+{\int }_{3}^{5}\left(-x+5\right)dx
En ambos casos integramos indefinidamente y luego evaluamos en los extremos.
A=\left.\frac{{2\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\begin{array}{c}3\\ \\ -1\end{array}+\left.\left(-\frac{{x}^{2}}{2}+5x\right)\right]\begin{array}{c}5\\ \\ 3\end{array}
Evaluamos por separado para no hacer ilegible la solución.
{A}_{1}=\left.\frac{{2\left(x+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\begin{array}{c}3\\ \\ -1\end{array}=\frac{{2\left(3+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{{2\left(-1+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{16}{3}-0=\frac{16}{3}
{A}_{2}=\left[-\frac{{5}^{2}}{2}+5\left(5\right)\right]-\left[-\frac{{3}^{2}}{2}+5\left(3\right)\right]=\frac{25}{2}-\frac{21}{2}=2
A={A}_{1}+{A}_{2}=\frac{16}{3}+2=\frac{22}{3}
La respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 48
Calcule la longitud de la curva plana y=\mathrm{ln}\left[\mathrm{cos}x\right] en el intervalo x\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right] .
- L=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}\right)
- L=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)
- L=\mathrm{ln}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
Solución:
Para calcular la longitud de cualquier curva, empleamos la siguiente ecuación integral.
L={\int }_{a}^{b}\sqrt{1+{\left[{f}^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}}dx
Iniciamos calculando la derivada de la función.
{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}x\right)\right]}^{\text{'}}=-\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}=-\mathrm{tan}x
Sustituimos en la expresión.
L={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+{\mathrm{tan}x}^{2}}dx
Sustituimos 1+{\mathrm{tan}x}^{2} por {\mathrm{sec}}^{2}x mediante la identidad pitagórica.
L={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+{\mathrm{tan}x}^{2}}dx={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{{\mathrm{sec}}^{2}x}dx={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{sec}xdx
Integramos indefinidamente.
{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\mathrm{sec}xdx=\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{ln}\left|\mathrm{sec}x+\mathrm{tan}x\right|\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}\frac{\pi }{4}\\ \\ \frac{\pi }{6}\end{array}=\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{2}\right)-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\left(3\right)=\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{2}\right)-\mathrm{ln}\left(\sqrt{3}\right)
\mathrm{ln}\left(1+\sqrt{2}\right)-\mathrm{ln}\left(\sqrt{3}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)
Finalmente:
L={\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\sqrt{1+{\mathrm{tan}x}^{2}}dx=\mathrm{ln}\left(\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)
La respuesta correcta es el inciso a).
Reactivo 49
Hallar el área encerrada entre las curvas f\left(x\right)={x}^{2} , g\left(x\right)=\frac{1}{x} y el eje x en el intervalo x\left[\frac{1}{2}, 2\right] . Tenga en cuenta que la intersección entre las curvas ocurre en P\left(1, 1\right) .
- I=0.985
- I=0.85
- I=1
Solución:
Iniciamos graficando las funciones para identificar los intervalos de integración para cada una.
A={\int }_{\frac{1}{2}}^{1}{x}^{2}dx+{\int }_{1}^{2}\frac{1}{x}dx
Integramos indefinidamente.
A=\left.\frac{{x}^{3}}{3}\right]\begin{array}{c}1\\ \\ \frac{1}{2}\end{array}+\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{ln}\left|x\right|\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}2\\ \\ 1\end{array}=\frac{1}{3}-\frac{1}{24}+\mathrm{ln}2-\mathrm{ln}1=\frac{7}{24}+\mathrm{ln}2
A=\frac{7}{24}+\mathrm{ln}2\approx 0.9848
Comparando con los incisos, indicamos como respuesta correcta el a).
Reactivo 50
La catenaria, es una curva muy utilizada en arquitectura debido a que representa la mejor solución para la construcción de arcos, cuya ecuación viene descrita como:
y=a\mathrm{cosh}\left(\frac{x}{a}\right)
Ahora, el arco para determinada construcción, viene dado por la ecuación y=10-\mathrm{cosh}\left(x\right) y cuya gráfica es:
Calcule la longitud de dicho arco en el intervalo x\left[-3, 3\right] . Tenga en cuenta que:
\mathrm{sinh}x=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}; \mathrm{cosh}x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}
{\mathrm{cosh}}^{2}x-{\mathrm{senh}}^{2}x=1
\int \mathrm{cosh}xdx=\mathrm{sinh}x+C
- L=\frac{1}{{e}^{3}}
- L=\frac{{e}^{6}-1}{{e}^{3}}
- L=\frac{-1}{{e}^{6}}
Solución:
Dejando a un lado el enunciado, que en su mayoría nos da contexto de la aplicación de la catenaria, debemos emplear la ecuación integral para calcular la longitud de una curva.
L={\int }_{a}^{b}\sqrt{1+{\left[{f}^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}}dx
Encontramos la derivada de la función.
{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[10-\mathrm{cosh}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}=-{\left[\mathrm{cosh}\left(x\right)\right]}^{\text{'}}
Vamos a sustituir al coseno hiperbólico por su expresión en términos de exponenciales.
{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-{\left[\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}\right]}^{\text{'}}=-\frac{1}{2}{\left({e}^{x}+{e}^{-x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{1}{2}\left({e}^{x}-{e}^{-x}\right)=-\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}
Esto es igual al seno hiperbólico.
{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}=-\mathrm{sinh}x
Sustituimos a los extremos y a la función en la integral.
L={\int }_{-3}^{3}\sqrt{1+{\left[-\mathrm{sinh}x\right]}^{2}}dx={\int }_{-3}^{3}\sqrt{1+{\mathrm{sinh}}^{2}x}dx
Ahora, aplicamos la identidad del enunciado.
{\mathrm{cosh}}^{2}x-{\mathrm{senh}}^{2}x=1\to {\mathrm{cosh}}^{2}x=1+{\mathrm{senh}}^{2}x
Sustituimos.
{\int }_{-3}^{3}\sqrt{{\mathrm{cosh}}^{2}x}dx={\int }_{-3}^{3}{\mathrm{cosh}}^{2}xdx=\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{sinh}x\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}3\\ \\ -3\end{array}
Evaluamos a la primitiva en los extremos de integración.
L=\left.\begin{array}{c}\\ \mathrm{sinh}x\\ \end{array}\right]\begin{array}{c}3\\ \\ -3\end{array}=\mathrm{sinh}3-\mathrm{sinh}-3=\frac{{e}^{3}-{e}^{-3}}{2}-\frac{{e}^{-3}-{e}^{3}}{2}=\frac{{e}^{3}}{2}-\frac{{e}^{-3}}{2}-\frac{{e}^{-3}}{2}+\frac{{e}^{3}}{2}
L={e}^{3}-\frac{1}{{e}^{3}}=\frac{{e}^{6}-1}{{e}^{3}}
La longitud de la curva es igual a \frac{{e}^{6}-1}{{e}^{3}} unidades.
La respuesta correcta es el inciso b).
