Ejercicios de simplificación y resolución de operaciones con polinomios

En este post vamos a aprender a resolver ecuaciones con polinomios con tres ejercicios en los que aplicaremos conceptos básicos sobre las operaciones con polinomios como la suma, simplificación y despeje de ecuaciones.

Despejar ecuaciones matemáticas puede ser desafiante. Pero si quieres entender cómo resolver cualquier ecuación con funciones polinómicas, en esta guía encontrarás los conceptos necesarios, tips y un ejercicio guiado para aclarar dudas y aprobar tus exámenes.

Conceptos que debes recordar

El álgebra es una de las ramas de las matemáticas más extendidas e importantes. Su desarrollo ha implicado a grandes mentes del mundo científico y su uso se encuentra implícito en todos los aspectos de nuestra civilización moderna.

Gracias al álgebra, es posible realizar el manejo de expresiones matemáticas de forma simbólica. Se combinan números, operaciones y letras para representar un conjunto de valores posible: esto último es lo que conocemos como variable.

Las operaciones son las encargadas de sumar, restar, multiplicar o dividir variables y números para formar expresiones más grandes y complejas.

Sin el álgebra y todas sus ramas, no habría sido posible construir el software y hardware del dispositivo que utilizas para acceder a este contenido. Ni hablar de la programación de tus videojuegos favoritos o de la plataforma de streaming en la que miras series y películas cada día.

Operaciones con polinomios

Un polinomio se define como una expresión algebraica compuesta por la suma de monomios. Los monomios son la expresión algebraica más simple compuesta de tres elementos: un coeficiente, una variable y un exponente.

Monomio

a x^{n}

En este caso, la a seria el coeficiente que multiplica a la variable x que se encuentra elevada a la potencia n.

Polinomio

P(x)=a x^{n}+b x^{n-1}+c x^{n-2}+\cdots+d

P(x) es un polinomio compuesto por la suma de diferentes monomios, en este caso denominados términos del polinomio. Cada uno de los monomios tiene asociado un coeficiente (a,b,c,…) , donde d es el termino independiente del polinomio cuya variable x se encuentra elevada a cero. Por propiedad de los exponentes:

d x^{0}=d(1)=d

Conociendo que es un polinomio y como está compuesto, podemos dar paso a las operaciones que los definen.

De la misma forma que existe la suma, resta, multiplicación y división con números en aritmética, los polinomios también pueden operar entre ellos.

  • Suma y resta de polinomios

Dados dos o más polinomios, se procede a la suma o resta de los coeficientes cuyos términos tengan la misma variable y exponente. Ejemplo:

P_{1}(x)=2 x^{2}-x+3 \text { y } P_{2}(x)=3 x^{4}-x^{2}-11

En ambos polinomios, la variable independiente es , pero solo se podrán sumar los términos 2 x^{2} con -x^{2}  y 3 con -11 por contar con el mismo exponente. El resto de términos permanecen iguales.

P_{1}(x)+P_{2}(x)=2 x^{2}-x+3+3 x^{4}-x^{2}-11

P_{1}(x)+P_{2}(x)=3 x^{4}+x^{2}-x-8

  • Multiplicación de polinomios

Para realizar el producto entre dos polinomios, se toma uno de ellos y se multiplica cada uno de sus términos por el segundo polinomio. De esta forma queda la suma de productos monomio-polinomio que se resuelven siguiendo la propiedad distributiva y las reglas de la potenciación. Ejemplo:

P_{1}* P_{2}(x)

P_{1}(x) * P_{2}(x)=(x+5) *\left(x^{3}-x^{-2}-11\right)

En este caso, hacemos el producto de x con P_{2}(x) y de 5 con P_{2}(x) tal como indica el método.

P_{1}(x) * P_{2}(x)=x\left(x^{3}-x^{-2}-11\right)+5\left(x^{3}-x^{-2}-11\right)

Resolvemos los productos aplicando propiedad distributiva, siguiendo las reglas de la potenciación para los exponentes.

P_{1}(x) * P_{2}(x)=x * x^{3}-x * x^{-2}-x * 11+5 * x^{3}-5 * x^{-2}-5 * 11

P_{1}(x) * P_{2}(x)=x^{4}-x^{-1}-11 x+5 x^{3}-5 x^{-2}-55

Agrupamos términos y resolvemos las sumas pendientes si existen.

P_{1}(x) * P_{2}(x)=x^{4}+5 x^{3}-11 x-x^{-1}-5 x^{-2}-55

Ecuaciones matemáticas

Se componen de tres elementos: dos miembros o expresiones matemáticas y un signo de igualdad en el centro de ambas. Las ecuaciones se emplean para representar la igualdad entre dos expresiones.

\text { primer miembro }=\text { segundo miembro }

Para llevar elementos de la ecuación de un miembro a otro, se hace uso de las operaciones algebraicas básicas: suma y resta, multiplicación y división.

¿Cómo despejar una ecuación con polinomios?

Todas las herramientas vistas hasta el momento te servirán para realizar el siguiente ejercicio. Consta en despejar la variable x, encontrar su valor y seleccionar la opción correcta.

Ejercicio #1: Determinar el valor para x que satisface la igualdad

Determinar el valor para x que satisface la igualdad: \frac{5}{x-3}=\frac{33-x}{x^{2}-6 x+9}

  1. -12
  2. -8
  3. 8
  4. 12

Paso 1: simplificar las fracciones en ambos lados de la ecuación. Para eso, procedemos a multiplicar ambos miembros por los polinomios de los denominadores de cada fracción.

¡Recuerda! Para mantener la igualdad, se debe realizar la operación en ambos miembros.

\frac{5}{x-3}=\frac{33-x}{x^{2}-6 x+9}

Multiplicamos ambos lados por x^{2}-6 x+9.

\frac{5}{x-3}\left(x^{2}-6 x+9\right)=\frac{33-x}{x^{2}-6 x+9}\left(x^{2}-6 x+9\right)

\frac{5\left(x^{2}-6 x+9\right)}{x-3}=\frac{\left(x^{2}-6 x+9\right)(33-x)}{x^{2}-6 x+9}

Simplificamos a x^{2}-6 x+9 en el numerador y denominador del segundo miembro.

\frac{5\left(x^{2}-6 x+9\right)}{x-3}=(33-x) \frac{x^{2}-6 x+9}{x^{2}-6 x+9}

\frac{5\left(x^{2}-6 x+9\right)}{x-3}=(1)(33-x) \rightarrow \frac{5\left(x^{2}-6 x+9\right)}{x-3}=33-x

Hacemos lo mismo con x-3.

\frac{5\left(x^{2}-6 x+9\right)}{x-3}(x-3)=(33-x)(x-3)

Simplificamos a x-3 en el numerador y denominador del primer miembro.

5\left(x^{2}-6 x+9\right) \frac{x-3}{x-3}=(33-x)(x-3)

5\left(x^{2}-6 x+9\right)(1)=(33-x)(x-3) \rightarrow 5\left(x^{2}-6 x+9\right)=(33-x)(x-3)

Paso 2: resolvemos los productos entre polinomios a ambos lados de la ecuación, aplicando el método en la multiplicación de polinomios. 

5\left(x^{2}-6 x+9\right)=(33-x)(x-3)

5 * x^{2}-5 * 6 x+5 * 9=33(x-3)-x(x-3)

5 x^{2}-30 x+45=33 x-99-x^{2}+3 x

Paso3: agrupamos los términos de la ecuación en un mismo miembro. Por convención, cuando se despeja una variable se agrupan los términos en el primer miembro.

¡Recuerda! Si un término está sumando, se resta a ambos lados de la ecuación por el término para llevarlo al otro miembro.

De la explicación anterior, se deduce la regla nemotécnica que dice: si un término está restando pasa al otro lado sumando y viceversa. Aplica el mismo principio para la multiplicación y división.

Teniendo esto claro, procedemos a agrupar los términos al primer miembro.

5 x^{2}-30 x+45-33 x+99+x^{2}-3 x=0

5 x^{2}+x^{2}-30 x-33 x-3 x+45+99=0

Resolvemos sumas y restas.

6 x^{2}-66 x+144=0

Para encontrar los valores que satisfacen la igualdad es necesario resolver la ecuación de segundo grado.

Paso4: aplicamos la formula cuadrática para hallar las raíces de la ecuación.

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \rightarrow a x^{2}+b x+c

En nuestro caso, estos serían los valores de a, b y c.

a=6 \quad b=-66 \quad c=144

Sustituimos los valores en la formula cuadrática.

x=\frac{-(-66) \pm \sqrt{(-66)^{2}-4(6)(144)}}{2(6)}=\frac{66 \pm \sqrt{4356-3456}}{12}

Hallamos finalmente x_{1} y x_{2}:

x_{1}=\frac{66+\sqrt{4356-3456}}{12}=8

x_{2}=\frac{66-\sqrt{4356-3456}}{12}=3

La respuesta correcta al ejercicio es la opción c).

Ejercicio #2: Expresiones polinomios

¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?

  1. \frac{1}{x}+x
  2. 3x^2-4x+6
  3. 2\sqrt{x}-2x+2
  4. 4x^3-2x-4
  1. 1, 3
  2. 1, 4
  3. 2, 3
  4. 2, 4

Solución:

La respuesta a este problema es teórica. Radica en recordar los conceptos ya estudiados sobre polinomios y analizar cada uno de los casos.

¡Recuerda! Un polinomio es una suma de términos, cada uno compuesto por: un coeficiente en los reales, una letra que representa a la variable y un exponente en los naturales, es decir entero positivo.

Con lo anterior en mente, analicemos cada una de las opciones:

  • La expresión No cumple con la definición de polinomio. Si aplicamos la propiedad del exponente negativo al primer término se tiene que:

\frac{1}{x}+x =x^{-1}+x

Al tener exponente negativo uno de los términos, no califica como polinomio

  • La expresión Si cumple con la definición de polinomio, ya que todos los exponentes son enteros positivos
  • La expresión No cumple la definición de polinomio. Si aplicamos la propiedad de exponente racional se obtiene que:

2\sqrt{x}-2x+2 =2x^{\frac{1}{2}}-2x+2

El exponente es positivo pero no entero, por lo que no califica como polinomio

  • La expresión Si cumple con la definición de polinomio, todos sus términos poseen exponentes en los naturales

Analizada cada expresión, podemos concluir que: 2 y 4 son expresiones polinómicas, por lo tanto la respuesta correcta es la d).

Ejercicio #3 suma de polinomios

Al desarrollar la siguiente suma se obtiene: \frac{2}{7-3x}+5

  1. \frac{7}{7-3x}
  2. \frac{7}{12-3x}
  3. \frac{37-15x}{7-3x}
  4. \frac{15x-37}{7-3x}

Solución:

Para encontrar el desarrollo de la suma hay que identificar las expresiones que se están sumando. En este caso, es una fracción polinómica y un número entero por lo tanto, el desarrollo se lleva a cabo igual que una suma de fracciones aplicando suma y producto de polinomios.

Paso1: es opcional, pero puedes colocar un uno debajo del 5 para darle más claridad a la resolución. Ten en cuenta que: 5=\frac{5}{1}.

\frac{2}{7-3x}+5= \frac{2}{7-3x}+\frac{5}{1}

Paso2: aplica el procedimiento para sumar fracciones.

El numerador del resultado será: el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, más el numerador de la segunda fracción multiplicado por el denominador de la primera.

El denominador del resultado será: el producto de ambos denominadores.

A este procedimiento se le conoce como producto cruzado.

\frac{2}{7-3x}+5= \frac{2+5(7-3x)}{7-3x}

Paso3: desarrolla los productos, ordena y ejecuta las sumas pendientes. Ahora solo queda resolver los productos polinómicos, en este caso el binomio 7-3x multiplicado por 5.

\frac{2+5*7-5*3x}{7-3x}=\frac{37-15x}{7-3x}

Se puede concluir que:

\frac{2}{7-3x}+5=\frac{37-15x}{7-3x}

Según las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Tips para despejar ecuaciones con polinomios

  • Explora el resto de operaciones y funciones: los despejes de ecuaciones pueden volverse complejos cuando se combinan otras funciones como exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
  • Practica hasta volverte un maestro: encontraras ecuaciones cuyo despeje no sea evidente. Analiza el problema y prueba con diferentes artificios matemáticos
  • Hay ecuaciones que no tienen despeje: son denominadas ecuaciones trascendentes y se manifiestan cuando alguna de las funciones que compone a los términos no es algebraica. Son comunes en ciencias e ingeniería y la única forma de tratar con ellas es a través de métodos numéricos

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