¡Muy bien aspirante! Llegaste a la segunda y última parte de la guía resuelta de razonamiento matemático para la división de Ciencias Sociales y Humanidades (CSH) de la UAM, donde estaremos desarrollando los ejercicios desde el 39 hasta el 50.
Guía UAM CSH Raz. Matemático parte 2
Si llegaste hasta este punto y aún no tomas un descanso, hazlo y luego continúa. Una buena estrategia de estudio, debe tener períodos de descanso para sentar los conocimientos adquiridos.
Reactivo 39: Término general de la sucesión
La lista de números 1, 6, -1 se obtiene al sustituir respectivamente n=1, 2, 3 en la expresión:
- 3(-1{)}^{n-1}+n
- 2(-1{)}^{n}+4-n
- (-1{)}^{n}+2n
- (-1{)}^{2n}+1
- 3(-1{)}^{n}+5-n
Solución:
Para resolver este problema tenemos dos opciones:
- Estudiar cómo cambian los números en la lista y calcular la expresión
- Sustituir los valores de n en cada una y corroborar si cumple o no
Por ser la opción más rápida y menos tediosa, recurriremos a sustituir los valores de n en cada una hasta dar con la correcta. La lista es solo de 3 números, así que será fácil de comprobar.
En adición, si tienes buen dominio de tu calculadora puedes utilizar la función EVALUAR o TABLA (varía según el modelo) para acelerar aún más los cálculos.
Expresión del inciso A.
n=1\to 3(-1{)}^{1-1}+1=3\left(1\right)+1=4
El primer término no cumple, no es la expresión correcta.
Expresión del inciso B.
n=1\to 2(-1{)}^{n}+4-n=2\left(-1\right)+4-1=1
n=2\to 2(-1{)}^{n}+4-n=2{\left(-1\right)}^{2}+4-2=4
El segundo término no cumple, no es la expresión correcta.
Expresión del inciso C.
n=1\to (-1{)}^{n}+2n={\left(-1\right)}^{1}+2\left(1\right)=1
n=2\to (-1{)}^{n}+2n={\left(-1\right)}^{2}+2\left(2\right)=5
El segundo término no cumple, no es la expresión correcta.
Expresión del inciso D.
n=1\to (-1{)}^{2n}+1=2
El primer término no cumple, no es la expresión correcta.
Expresión del inciso E.
n=1\to 3(-1{)}^{n}+5-n=1
n=2\to 3(-1{)}^{n}+5-n=6
n=3\to 3(-1{)}^{n}+5-n=-1
La expresión del inciso E cumple con los elementos de la lista.
Concluimos seleccionando como correcta a la opción E.
Reactivo 40: Porcentajes
Juan tiene el 75% de $1650, Antonio el 48% de $625 y Roberto el 33% de $827 ¿Cuánto dinero tienen entre los tres?
- $1400.51
- $1539.41
- $1700.39
- $1810.41
- $1901.31
Solución:
Para determinar el dinero que tienen entre los tres, debemos calcular el 75% de $1650, el 48% de $625 y el 33% de $827. El total será la suma de los resultados.
Total=\%Juan+\%Antonio+\%Roberto
El porcentaje de una x cantidad, se determina multiplicando a x por el porcentaje \% dado y luego dividiendo el resultado entre 100.
Total=\frac{\$1650*75\%}{100}+\frac{\$625*48\%}{100}+\frac{\$827*33\%}{100}=\$1810.41
Entre los tres tienen $1810.41.
Comparando con las opciones, seleccionamos como correcta a la D.
Reactivo 41: Relaciones directas
Un auto puede recorrer 180 km con 12 litros de gasolina ¿Qué distancia puede recorrer con 20 litros de gasolina?
- 350 km
- 280 km
- 325 km
- 300 km
- 200 km
Solución:
Antes de realizar la regla de tres, debemos identificar si la relación entre los kilómetros recorridos y la gasolina en el tanque es lineal o inversa. Por simple lógica, mientras mayor gasolina tenga el auto más kilómetros podrá recorrer, por ende es una relación lineal.
Regla de tres lineal.
12 L\to 180 km
20 L\to x
x=\frac{20 L\bullet 180 km}{12 L}=300 km
El conductor podrá recorrer 300 km si tiene en el tanque 20 litros.
Seleccionamos como respuesta correcta a la opción D.
Reactivo 42: Relaciones y porcentajes
Si el 55% de los habitantes de la ciudad tiene automóvil y las 2/5 partes de ellos no lo utilizan el fin de semana ¿Qué porcentaje de los habitantes si utiliza auto el fin de semana?
- 45%
- 88%
- 22%
- 33%
- 67%
Solución:
Si la proporción de habitantes que no usan automóvil el fin de semana es 2/5, quienes sí lo utilizan son el 3/5 restante. Debemos multiplicar el 55% por 3/5 para obtener el porcentaje de habitantes que si utilizan auto el fin de semana.
P=55\%\bullet \frac{3}{5}=33\%
El 33% de los habitantes tienen automóvil y lo utilizan el fin de semana.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la D.
Reactivo 43: Porcentajes
Un banco da el 5% de interés semestral ¿Cuánto esperas tener en el banco en un año si depositaste $1000.00 y no retiraste los intereses?
- $1 050.00
- $1 102.50
- $1 100.00
- $1 210.50
- $1. 100.50
Solución:
El 5% de intereses semestral implica que cada seis meses, el saldo en la cuenta bancaria aumenta un 5%, si la proyección se realiza para un año en los primeros 6 meses se obtiene un 5% del saldo, es decir:
\$1000.00*105\%=\$1050.00
Al finalizar el segundo semestre del año, se obtiene el otro 5% en intereses. Debemos calcular el 105% del saldo acumulado que, como no hubo ningún retiro y suponemos tampoco otro ingreso externo se mantiene en $1 050.00.
\$1050.00*105\%=\$1102.5
Comparando con las opciones, escogemos a B como la respuesta correcta.
Reactivo 44: Diagonales de un polígono
Si en un polígono se trazan desde un solo vértice todas las diagonales posibles, se observa que el número de diagonales es igual al número de lados:
- Menos dos
- Menos tres
- Más tres
- Más dos
- Más cuatro
Solución:
En un polígono regular, el número de vértices es igual al número de lados.
v=l
Además, las diagonales que se pueden trazar desde un mismo vértice es igual al número de vértices (o lados) menos tres, ya que un vértice no puede trazar una diagonal consigo mismo ni con los dos vértices contiguos con los que está conectado.
Concluimos que:
El número de diagonales es igual al número de lados menos tres.
Comparando con las opciones, la correcta corresponde con la B.
Reactivo 45: Relaciones entre ángulos
Si A es el doble de C y B es el triple de C, encuentra el valor del ángulo A.
- 40°
- 45°
- 50°
- 60°
- 70°
Solución:
Para calcular el valor de A, debemos convertir en ecuaciones las relaciones dadas por el ejercicio, además de aplicar ángulos suplementarios.
A es el doble de C…
A=2C \left(1\right)
…B es el triple de C…
B=3C \left(2\right)
Los tres ángulos A, B y C son suplementarios:
A+B+C=180° \left(3\right)
Despejamos a C de la primera ecuación.
A=2C\to C=\frac{A}{2}
Sustituimos el resultado en la segunda.
B=\frac{3A}{2}
Por último, se deja a la tercera ecuación en términos de A.
A+B+C=180°\to A+\frac{3A}{2}+\frac{A}{2}=180
A+2A=180\to A=\frac{180}{3}=60°
El ángulo A tiene un valor de 60°.
Finalizamos seleccionando como respuesta correcta a la opción D.
Reactivo 46: Lenguaje natural a lenguaje algebraico
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera más el duplo de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas siguientes representa lo anterior?
- (a+b{)}^{2}={a}^{2}+2ab-{b}^{2}
- (a+b{)}^{2}=2{a}^{2}+ab+{b}^{2}
- (a+b{)}^{2}={a}^{2}+ab+2{b}^{2}
- (a+b{)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}
- (a+b{)}^{2}={a}^{2}-2ab-{b}^{2}
Solución:
Debemos transformar cada una de las frases a su expresión matemática equivalente. Para ello, analizaremos parte por parte.
El cuadrado de la suma de dos cantidades…
{\left(a+b\right)}^{2}
Ya que las respuestas utilizan a y b para representar a las cantidades, haremos lo mismo para mantener concordancia; pero pueden ser cualesquiera letras del abecedario.
…es igual al cuadrado de la primera…
{\left(a+b\right)}^{2}={a}^{2}
Hemos escogido como primera a la letra a .
…más el duplo de la primera por la segunda…
{\left(a+b\right)}^{2}={a}^{2}+2ab
“El duplo” es sinónimo de “el doble” o “dos veces”.
…más el cuadrado de la segunda.
{\left(a+b\right)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2}
Esta ecuación es igual al producto notable para el cuadrado de la suma de dos cantidades.
Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la D.
Reactivo 47: Problemas con sistemas de ecuaciones
Un hacendado ha comprado el doble del número de gallos que de bueyes. Por cada gallo pago $70 y por cada buey $85 y el importe total de la compra fue de $2700. Si x es la cantidad de bueyes ¿Qué ecuación permite calcularla?
- 85x+70x=2700
- 170x+140x=2700
- 85x+140x=2700
- 85x+35x=2700
- 170x+70y=2700
Solución:
Para resolver el problema, debemos identificar (a partir del enunciado) las relaciones entre las variables y con ellas armar un sistema de ecuaciones.
La primera relación la encontramos en la frase: ha comprado el doble del número de gallos que de bueyes… Si la cantidad de bueyes es x y la de gallos y , esto se escribiría en ecuación como:
y=2x
Nos indican además cuánto ha pagado por cada animal junto al total del importe:
85x+70y=2700
El número de bueyes multiplicado por su precio, más el número de gallos también multiplicados por el precio es igual al total de la compra. Sustituimos y=2x en la segunda ecuación.
85x+70\left(2x\right)=2700
85x+140x=2700
Comparando el resultado con las opciones, concluimos escogiendo como correcta a la opción C.
Reactivo 48: Problemas con sistemas de ecuaciones
Si la edad de Pedro es el doble que la de Juan y hace 20 años la edad de Pedro era el triple que la de Juan ¿Qué ecuación permite calcular la edad de Juan?
- 2x-20=3\left(x-20\right)
- 2x-20=3\left(x+20\right)
- 2x-20=3x+20
- 2x-20=3x-20
- x-20=x+20
Solución:
Comencemos por pasar a ecuaciones las relaciones entre las edades de Juan x y Pedro y establecidas por el problema.
…la edad de Pedro es el doble que la de Juan…
y=2x
…hace 20 años la edad de Pedro era el triple que la de Juan…
Comencemos por establecer la igualdad al final.
y=3x
Como fue hace 20 años, debemos restarle a la edad de Juan y Pedro 20 años.
y-20=3\left(x-20\right)
Ahora, sustituimos la primera ecuación en la segunda.
2x-20=3\left(x-20\right)
Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la opción A.
Reactivo 49: Problemas matemáticos
Expresa 85 como la suma de dos sumandos tales que el triple del menor equivalga al doble del mayor, ¿Qué ecuación permite resolver el problema?
- 3x-2=2\left(85-x\right)
- 3x=2\left(85-x\right)
- 3x=2\left(85+x\right)
- 3-x=2\left(85-x\right)
- 2\left(3x\right)=2\left(85-x\right)
Solución:
En este caso, las dos cantidades serán x y y . De la primera frase, sabemos que ambas deben sumar 85, esto se escribe como:
x+y=85
Ahora, diremos que x es la cantidad menor y y la cantidad mayor. Continuando con el fragmento: …el triple del menor equivale al doble del mayor… establecemos que:
3x=2y
Despejamos de la primera ecuación a y y sustituimos la expresión resultante en la segunda.
x+y=85\to y=85-x
Sustituyendo:
3x=2\left(85-x\right)
Comparando con las opciones, seleccionamos como correcta a la B.
Reactivo 50: Problemas con sistemas de ecuaciones
Lidia compró cierto número de sacos de frijoles por la cantidad de $240. Si ella hubiera comprado 3 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado $4 menos, ¿Qué ecuación permite calcular el precio x de un saco de frijoles?
- \left(\frac{240}{x}+3\right)\left(x-4\right)=240
- \frac{240}{x}=\frac{240}{x+3}-3
- \frac{240}{x}=\frac{240}{x+3}-4
- 240x=240\left(x+3\right)-4
- 240x=\frac{x+3}{240}+4
Solución:
Debemos identificar las variables del problema para establecer un sistema de ecuaciones. Llamaremos al precio de un saco de frijol x y a la cantidad de sacos de frijoles y .
A partir de la frase Lidia compro cierto número de sacos de frijoles por la cantidad de $240 sabemos que:
y*x=240
El número de sacos por su precio unitario es igual a $240.
En la siguiente frase: si ella hubiera comprado 3 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado $4 menos, sabemos que a la anterior cantidad de sacos le sumamos 3, pero al precio por saco le restamos $4.
\left(y+3\right)\left(x-4\right)=240
Ahora tenemos 2 ecuaciones con dos incógnitas. Ya que necesitamos el precio por saco x , despejamos a y de la primera ecuación para sustituirla en la primera.
y=\frac{240}{x}
Sustituimos.
\left(\frac{240}{x}+3\right)\left(x-4\right)=240
Esta ecuación permite calcular el precio x de un saco de frijoles.
Comparando con las opciones, seleccionamos como correcta a la opción A.
