Guía UAM CBI Ciencias básicas e ingeniería | Matemáticas Parte 6

¡Ya casi acabamos aspirante! Vamos con los reactivos del 63 al 72, que corresponden a la sexta parte de la guía de ingreso resuelta para las divisiones de CBI y CNI del examen a la Universidad Autónoma Metropolitana.

GUIA-UAM-CBI-PARTE-6-1

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Guía UAM Matemáticas Parte 6 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de la sexta y penúltima parte de esta guía de matemáticas para el examen de ingreso a la UAM.

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Reactivo 63: Ecuación de segundo grado

Las soluciones de la ecuación {x}^{2}-10ax+9{a}^{2}=0   son _______.

  1. {x}_{1}=a,{x}_{2}=a
  2. {x}_{1}=a,{x}_{2}=9a
  3. {x}_{1}=3a,{x}_{2}=0
  4. {x}_{1}=4.5a,{x}_{2}=3a
  5. {x}_{1}=3a,{x}_{2}=5a

Solución:

Tenemos dos caminos para calcular las raíces del polinomio de segundo grado: la fórmula cuadrática o mediante factorización. Por ser la vía más rápida, optamos esta vez por la fórmula cuadrática.

{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}

En este caso:

a=1

b=-10a

c=9{a}^{2}

Sustituimos:

{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\left(-10a\right)\pm \sqrt{{\left(-10a\right)}^{2}-4\left(1\right)\left(9{a}^{2}\right)}}{2}=\frac{10a\pm \sqrt{100{a}^{2}-36{a}^{2}}}{2}

{x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{10a\pm \sqrt{64{a}^{2}}}{2}=\frac{10a\pm 8a}{2}

{x}_{1}=\frac{10a-8a}{2}=a

{x}_{2}=\frac{10a+8a}{2}=9a

Finalmente:

Las soluciones de la ecuación {x}^{2}-10ax+9{a}^{2}=0   son {x}_{1}=a, {x}_{2}=9a .

Comparando con las opciones, escogemos como correcta a la B.

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Reactivo 64: Solución de ecuaciones

La solución de la ecuación \frac{4}{x-2}-\frac{4}{3x-6}=-\frac{8}{3}   es _____________.

  1. 0
  2. 2
  3. -2
  4. -1
  5. 1

Solución:

Comenzamos por eliminar los monomios de los denominadores en las fracciones, para ello multiplicamos ambos miembros de la ecuación por x-2   y luego por 3x-6 .

Multiplicando por x-2 .

\left(\frac{4}{x-2}-\frac{4}{3x-6}\right)\left(x-2\right)=-\frac{8}{3}\left(x-2\right)

4-4\frac{x-2}{3x-6}=-\frac{8}{3}\left(x-2\right)

Multiplicando por 3x-6 .

\left(4-4\frac{x-2}{3x-6}\right)\left(3x-6\right)=-\frac{8}{3}\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

4\left(3x-6\right)-4\left(x-2\right)=-\frac{8}{3}\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

Dividimos ambos miembros por 4 y luego multiplicamos por 3.

3x-6-\left(x-2\right)=-\frac{2}{3}\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

3\left(3x-6\right)-3\left(x-2\right)=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

Desarrollamos los productos.

9x-18-3x+6=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

6x-12=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

Extraemos el factor común del primer miembro 2.

2\left(3x-6\right)=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)

Dividimos ambos miembros por 3x-6 .

2=-2\left(x-2\right)

Dividimos por -2.

-1=x-2

Despejamos x .

x=2-1

\therefore x=1

Finalmente:

La solución de la ecuación \frac{4}{x-2}-\frac{4}{3x-6}=-\frac{8}{3}   es 1.

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la opción E.

El temario específico lo puedes consultar ingresando a la guía UAM CBI y CNI 2022.

Reactivo 65: Área de la base de un cilindro

Un tanque cilíndrico tiene una altura igual al doble de su radio. Si el volumen del tanque es V=16 {m}^{3}   ¿Cuánto mide su área lateral?

  1. 16\sqrt[3]{{\pi }^{2}}
  2. 8\sqrt[3]{{\pi }^{2}}
  3. 8\pi 
  4. 4\sqrt[3]{\pi }
  5. 16\sqrt[3]{\pi }

Solución:

En este caso, el área que solicita el ejercicio es la sección transversal del tanque.

La ecuación del volumen de un cilindro es:

{V}_{c}=\pi {r}^{2}h\to 16 {cm}^{3}=\pi {r}^{2}h

Donde r   es el radio y h   la altura del cilindro. Por otro lado el enunciado nos dice que la altura es igual al doble del radio, es decir:

h=2r

Sustituimos en la ecuación del volumen.

16 {cm}^{3}=\pi {r}^{2}\left(2r\right)\to 16 {cm}^{3}=2\pi {r}^{3}

Despejamos el radio.

r=\sqrt[3]{\frac{16}{2\pi }}

Sustituimos en la ecuación del área de un círculo.

A=\pi {r}^{2}\to A=\pi {\left(\frac{16}{2\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}

Simplificamos la expresión.

A=\pi {\left(\frac{16}{2\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}=\pi {\left(\frac{8}{\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}=\frac{\pi }{{\pi }^{\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^{2}

=\frac{\pi }{{\pi }^{\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^{2}={\pi }^{1-\frac{2}{3}}{\left(2\right)}^{2}={\pi }^{\frac{1}{3}}\left(4\right)

\therefore A=4\sqrt[3]{\pi } {cm}^{2}

Concluimos escogiendo como respuesta correcta a la opción D.

Reactivo 66: Relación entre ángulos

En el siguiente diagrama ¿Cuál es el valor en grados del ángulo z?

  1. 30°
  2. 100°
  3. 60°
  4. 80°
  5. 40°

Solución:

Para encontrar el valor de z , debemos relacionar los ángulos mediante ángulos opuestos por el vértice y ángulos suplementarios.

Son opuestos por el vértice z   y 2x , por tanto:

z=2x \left(I\right)

Son suplementarios 4x   y 2x , como también z   y 4x .

4x+2x=180 \left(II\right)

z+4x=180 \left(III\right)

En este caso, las ecuaciones II y III son iguales, ya que si se sustituye I en III se obtiene a II. Nos conviene utilizar la ecuación II para despejar a x   y luego sustituir su valor en z .

4x+2x=180\to 6x=180\to x=30

Sustituyendo en \left(I\right) .

z=2\left(30\right)=60

Concluimos indicando que z   vale 60°.

Comparando con las opciones, seleccionamos a C como la correcta.

Reactivo 67: Teorema de Tales

Un joven mide 6 pies de altura y su sombra mide 4 pies de longitud; si la sombra de un árbol mide 24 pies de largo ¿Qué altura tiene el árbol?

  1. 30 pies
  2. 26 pies
  3. 36 pies
  4. 24 pies
  5. 28 pies

Solución:

Para calcular la altura del árbol, debemos recurrir al teorema de Tales o de triángulos semejantes. Específicamente, el criterio de proporcionalidad de lados; donde el cociente entre la altura del joven y la altura del árbol es igual al cociente de las sombras.

Si {s}_{j}   y {s}_{a}   son las sombras del joven y el árbol, y {h}_{j}   y {h}_{a}   las alturas respectivamente, el criterio de proporcionalidad de lados queda como:

\frac{{s}_{j}}{{s}_{a}}=\frac{{h}_{j}}{{h}_{a}}

Despejamos la altura del árbol.

{h}_{a}=\frac{{h}_{j}}{{s}_{j}}*{s}_{a}

Sustituimos.

{h}_{a}=\frac{6}{4}*24=36 pies

El árbol tiene una altura de 36 pies.

Concluimos seleccionando como respuesta correcta a la opción C.

Reactivo 68: Identidades trigonométricas

Del siguiente triángulo rectángulo, la identidad trigonométrica falsa es ________.

  1. cot \alpha  =\frac{x}{y}
  2. sec \theta  =\frac{y}{h}
  3. csc \alpha  =\frac{h}{y}
  4. tan \theta  =\frac{x}{y}
  5. csc \theta  =\frac{h}{x}

Solución:

En este caso, examinaremos cada identidad trigonométrica para comprobar que sea correcta; de no serlo concluimos con la solución y la seleccionamos como falsa.

Cotangente de alfa.

La cotangente es la función inversa de la tangente. Respecto a alfa representa el cociente entre el cateto adyacente sobre el cateto opuesto.

cot \alpha  =\frac{CA}{CO}

x   es adyacente a alfa y y   es el opuesto, por tanto:

cot \alpha  =\frac{CA}{CO}=\frac{x}{y}

No es la identidad falsa.

Secante de teta.

La secante es la función inversa del coseno. Respecto al ángulo teta representa el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

sec \theta  =\frac{H}{CA}

h   es la hipotenusa y y   es el cateto adyacente, por tanto:

sec \theta  =\frac{H}{CA}=\frac{h}{y}

El inciso muestra la relación al revés. Esta es la identidad falsa.

Del siguiente triángulo rectángulo, la identidad trigonométrica falsa es sec \theta  =\frac{y}{h} .

Seleccionamos a la B como la respuesta correcta.

Reactivo 69: Perímetro de una circunferencia

La figura muestra un círculo de área igual a 25\pi  , dividido en 8 partes iguales ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

  1. 5\left(3+\frac{\pi }{4}\right)
  2. 5\left(1+\frac{\pi }{4}\right)
  3. 5\left(2+\frac{\pi }{4}\right)
  4. 5\left(2+\frac{\pi }{8}\right)
  5. 5\left(1+\frac{\pi }{8}\right)

Solución:

El perímetro de la sección sombreada es la suma de los dos lados rectos (que son iguales al radio) y la sección curva:

{P}_{tc}=2r+{P}_{p}

Ya que cada una de las 8 partes son iguales, tanto el perímetro como el área es una octava parte del total, es decir:

{A}_{p}=\frac{{A}_{c}}{8}

{P}_{p}=\frac{{P}_{c}}{8}

El área y el perímetro del círculo se calculan como:

{A}_{c}=\pi {r}^{2}

{P}_{c}=2\pi r

De la ecuación de área, podemos despejar el valor del radio para sustituirlo en la ecuación del perímetro.

{A}_{c}=\pi {r}^{2}\to r=\sqrt{\frac{{A}_{c}}{\pi }}

\therefore r=\sqrt{\frac{25\pi }{\pi }}=\sqrt{25}=5

{P}_{c}=\frac{2\pi \left(5\right)}{8}=\frac{10\pi }{8}=\frac{5\pi }{4}

Calculamos el perímetro de la sección sombreada.

{P}_{tc}=2r+{P}_{p}\to  {P}_{tc}=2\left(5\right)+\frac{5\pi }{4}=5\left(2+\frac{\pi }{4}\right)

Se concluye el ejercicio escogiendo como correcta a la opción C.

Reactivo 70: Trigonometría

En el siguiente triángulo isósceles, determine el valor del ángulo A   en radianes.

  1. \frac{\pi }{12}rad
  2. \pi rad
  3. \frac{\pi }{6}rad
  4. 30\pi rad
  5. \frac{\pi }{3}rad

Solución:

Un triángulo isósceles es aquel con 2 lados y 2 ángulos iguales. En la situación planteada en la imagen, son iguales los lados BA   y BC , por tanto son iguales los ángulos \widehat{A}   y \widehat{C} . Ya que la suma de ángulos en un triángulo el siempre 180°, decimos que:

180°=120°+2A

2A=60°\to A=30°

Ahora debemos transformar el resultado a radianes. Utilizamos la relación que dice:

180°\to \pi 

30°\to x

x=\frac{30°*\pi }{180°}=\frac{\pi }{6}rad

Concluimos el reactivo seleccionando como respuesta correcta a la opción C.

Reactivo 71: Ecuación de la circunferencia

Determinar la ecuación de la circunferencia si A(-\mathrm{2,3}) y B(4,-5)   son los extremos de uno de sus diámetros.

  1. {x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-23=0
  2. {x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-3=0
  3. {x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-23=0
  4. {x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-3=0
  5. {x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-27=0

Solución:

Para encontrar la ecuación de la circunferencia podemos seguir dos caminos:

  1. Sustituir en la ecuación ordinaria las coordenadas de ambos puntos y armar un sistema de ecuaciones no lineal
  2. Calcular el punto medio entre los dos puntos junto a la mitad de la distancia entre ellos para obtener centro y radio

Debido a que los sistemas de ecuaciones no lineales son tediosos de resolver, elegiremos el segundo camino.

Cálculo del centro.

Ya que los puntos pertenecen a la circunferencia, ambos forman un diámetro o cuerda diametral que tiene como característica que su punto medio es el centro.

C\left(\frac{{x}_{a}+{x}_{b}}{2},\frac{{y}_{a}+{y}_{b}}{2}\right)

Sustituimos.

C\left(\frac{-2+4}{2},\frac{3-5}{2}\right)=C\left(1,-1\right)

Cálculo del radio.

El radio es igual a la mitad de la distancia entre los puntos A   y B .

r=\frac{\left|AB\right|}{2}=\frac{\sqrt{{\left(-2-4\right)}^{2}+{\left(-5-3\right)}^{2}}}{2}=\frac{10}{2}=5

Sustituimos ambos parámetros en la ecuación ordinaria de la circunferencia.

{\left(x-1\right)}^{2}+{\left(y+1\right)}^{2}={\left(5\right)}^{2}

Desarrollamos.

{x}^{2}-2x+1+{y}^{2}+2y+1=25

Ordenamos.

{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-23=0

Concluimos seleccionando como correcta a la ecuación del inciso C.

Reactivo 72: Dos rectas atravesadas por una transversal

Los segmentos \underset{\_}{AB} y \underset{\_}{CD}   mostrados en el siguiente esquema son paralelos. El valor del ángulo x   en grados es _________.

  1. 22.5°
  2. 40.5°
  3. 55°
  4. 35.5°
  5. 45°

Solución:

El ángulo externo 3x   tiene el mismo valor que el ángulo suplementario a x   ya que los segmentos de recta son paralelos entre sí. Ambos ángulos 3x   y x   suman 180°.

3x+x=180°

De esta sencilla ecuación se despeja x .

4x=180°\to x=45°

El valor del ángulo x   en grados es 45°.

Comparando con las opciones, escogemos como correcta a la E.

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