Guía IPN Geometría Analítica del 11 al 20 resueltos

Llegó el momento de continuar con nuestro repaso por el área de matemáticas en la Guía del IPN, si ya viste nuestra primera parte, entonces ya sabes que estamos concentrados en resolver cada uno de los ejercicios de geometría analítica. En vista de esto, te invitamos a continuar estudiando y preparándote con nosotros. Recuerda que todo esfuerzo tiene su recompensa, así que !Adelante!

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En esta serie de post podrás ver la respuesta a los 50 ejercicios del área de matemáticas del IPN, específicamente, en el campo de la geometría Analítica.

En este caso, estás por ver la resolución de la segunda parte de esta guía, donde entraremos de lleno en los ejercicios que van del 11 al 20 en Geometría Analítica. Recuerda que el examen de admisión del Poli establece un límite de tiempo de 160 minutos, así que una de las claves para responder todo el examen en este tiempo, es prepararte bien y familiarizarte con cada área en la que serás evaluado.

¿Qué viene en el examen del IPN?

El Instituto Politécnico Nacional estructura su examen de admisión en función de 130 preguntas, las cuales se separan en cinco áreas clave. Así, en la primera parte de la prueba serás evaluado en comunicación y matemáticas. Luego, en la segunda te encontrarás con preguntas de Química, Física y Biología.

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Dicho esto, puedes prepararte mejor para esta prueba conociendo su distribución de preguntas. Hazte una idea viendo esta lista:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Dicho esto, damos paso a resolver la segunda parte de nuestra guía de ejercicios de Geometría Analítica del IPN:

Reactivo 11: Posiciones relativas entre rectas

Una condición suficiente para que dos rectas sean _______ entre si es que el producto de sus _______ sea igual a -1.

  1. Paralelas – ángulos
  2. Iguales – pendientes
  3. Diferencies – pendientes
  4. Perpendiculares – pendientes

Solución:

Si recordamos, la ecuación para calcular el ángulo entre dos rectas establece que:

\tan \theta=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}}

Cuando el ángulo theta es 90°, la ecuación se indetermina. Dicho en términos de las pendientes, se indetermina para m_{1} m_{2}=-1 , por tanto: dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Completando la frase obtenemos:

Una condición suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre sí es que el producto de sus pendientes sea igual a -1.

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 12: Ecuación de la recta

Determinar la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto A(-3,5) y es paralela a la recta y=3 x+8 .

  1. 3 x+y+14=0
  2. 3 x-y+14=0
  3. 3 x-y-14=0
  4. 3 x-y-14=0

Solución:

Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado entre ellas es igual a cero y por tanto:

m_{1}=m_{2}

Es decir, poseen la misma pendiente. De la ecuación y=3 x+8 podemos extraer por inspección el valor de la pendiente, es el coeficiente que multiplica a la x , es decir m=3 .

La pendiente de nuestra recta debe ser m=3 y pasar por el punto A(-3,5) . Sustituimos en la ecuación punto-pendiente.

y-y_{o}=m\left(x-x_{o}\right)

Con x_{o}=-3, y_{o}=5 \text { y } m=3 .

y-5=3(x+3)

Simplificamos la expresión.

y=3 x+9+5

y=3 x+14

Igualamos a cero para dar con la forma general.

3 x-y+14=0

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

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Reactivo 13: Posiciones relativas entre rectas

Identificar la ecuación de la recta que es paralela a la recta: 0=-3 y-4 x+9

  1. y=-4 x-3
  2. y=-\frac{4}{3} x-\frac{1}{5}
  3. y=-\frac{3}{4} x+5
  4. y=4 x+\frac{2}{8}

Solución:

Dos rectas son paralelas si el ángulo entre ellas es igual a cero y como consecuencia, sus pendientes son iguales:

m_{1}=m_{2}

Para obtener la pendiente de la recta dada, la expresamos en su forma punto-pendiente.

-3 y-4 x+9=0

-3 y=4 x-9

y=-\frac{4}{3} x+3

Cualquier recta que tenga pendiente m=-\frac{4}{3} será paralela a y=-\frac{4}{3} x+3 . Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

y=-\frac{4}{3} x-\frac{1}{5} es paralela a y=-\frac{4}{3} x+3

Reactivo 14: Rectas sus pendientes

Relacionar las ecuaciones de las rectas con su pendiente.

  1. 1D, 2C, 3B, 4A
  2. 1A, 2D, 3C, 4B
  3. 1D, 2A, 3C, 4B
  4. 1A, 2D, 3B, 4C

Solución:

Para resolver este problema, analizaremos las ecuaciones de la columna izquierda para relacionarla con alguno de los incisos en la columna izquierda. Ya que todas las ecuaciones están en su forma punto-pendiente, solo debemos inspeccionar el coeficiente que acompaña a la x .

  1. y=x+1 .

La pendiente de la recta es m=1 . Comprando con las opciones, corresponde con la A.

1A.

  1. y=-x-1 .

La pendiente de la recta es m=-1 . Comprando con las opciones, corresponde con la D.

2D.

  1. y=2 x+1 .

La pendiente de la recta es m=2 . Comprando con las opciones, corresponde con la C.

3C.

  1. y=-2 x-1 .

La pendiente de la recta es m=-2 . Comprando con las opciones, corresponde con la B.

4B.

Combinando las respuestas de cada inciso nos queda:

1A, 2D, 3C, 4B.

La respuesta correcta es la opción b).

Reactivo 15: ecuación de la Circunferencia

Calcular la ecuación de la circunferencia con centro en A=(2,2) y que es tangente al eje de las ordenadas.

  1. (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4
  2. (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4
  3. (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=9
  4. (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=9

Solución:

Si la circunferencia en cuestión es tangente al eje de las ordenadas (eje de las y ), solo debemos hacer cero la coordenada x del centro para encontrar dicho punto de tangencia, es decir:

B(0,2)

Con el centro y otro punto que pertenece a la circunferencia, podemos calcular su ecuación ordinaria. Primero sustituimos el centro.

(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}

(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}

Ahora, sustituimos el punto B(0,2) en la ecuación para calcular el radio.

(0-2)^{2}+(2-2)^{2}=r^{2}

r^{2}=4

Sustituimos.

(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4

Finalmente, comparamos las opciones que ofrece el problema. La respuesta correcta es la a).

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Reactivo 16: La circunferencia

Determinar el centro de la circunferencia: x^{2}+y^{2}-6 y=16

  1. C(0,-3)
  2. C(0,3)
  3. C(3,0)
  4. C(-3,0)

Solución:

Para resolver este problema, expresaremos a la circunferencia en su forma ordinaria. Será necesario completar cuadrados respecto de la variable y .

x^{2}+y^{2}-6 y=16

Escribimos a 6 y como 2 * 3 y

x^{2}+y^{2}-2 * 3 y=16

El otro número que debe estar dentro del binomio cuadrado es -3. Sumamos y restamos su cuadrado, es decir 9.

x^{2}+y^{2}-2 * 3 y+9-9=16

Ahora, podemos escribir a y^{2}-2 * 3 y+9 \text { como }(y-3)^{2} .

x^{2}+(y-3)^{2}-9=16

Simplificamos.

x^{2}+(y-3)^{2}=25

El centro de esta circunferencia es:

C(0,3)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 17: Ecuación de la circunferencia

Encontrar el valor del parámetro k para que la ecuación de la circunferencia tenga radio igual a 10 unidades.

x^{2}+y^{2}+8 x+9 y+k=0

  1. k=-\frac{255}{4}
  2. k=-\frac{253}{4}
  3. k=-\frac{251}{4}
  4. k=-\frac{249}{4}

Solución:

Debemos aplicar completación de cuadrados para x \text { y } y , luego llevar al segundo miembro de la ecuación los términos independientes residuales con el parámetro k y por último, igualarlos a 10^{2} .

x^{2}+y^{2}+8 x+9 y+k=0

La completación para x \text { es } 4^{2} y para y es \left(\frac{9}{2}\right)^{2} .

x^{2}+8 x+16+y^{2}+9 y+\frac{81}{4}+k=16+\frac{81}{4}

(x+4)^{2}+\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}=16+\frac{81}{4}-k

Igualamos los términos del segundo miembro a 100 y despejamos a k .

16+\frac{81}{4}-k=100

k=\frac{145}{4}-100=-\frac{255}{4}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta sería la a) k=-\frac{255}{4} .

Reactivo 18: Ecuación de la circunferencia

Determinar la ecuación general de la circunferencia, que tiene su centro en el punto C(4,3) y es tangente a la recta: x+2 y-20=0

  1. x^{2}-y^{2}-8 x-6 y-20=0
  2. x^{2}+y^{2}+8 x-6 y-20=0
  3. x^{2}-y^{2}-8 x+6 y+20=0
  4. x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+5=0

Solución:

Para construir la ecuación de cualquier circunferencia, necesitamos su centro y su radio. El problema nos proporciona el centro, pero no el radio.

En su lugar, nos indica que la recta x+2 y-20=0 es tangente a la circunferencia, es decir que dicha recta es perpendicular al radio en el punto al que es tangente.

Valiéndonos de esta propiedad, el radio no es más que la distancia menor entre el centro y la recta, valor que podemos calcular con la ecuación:

d(A, l)=\frac{\left|m \cdot x_{A}-y_{A}+b\right|}{\sqrt{m^{2}+1}}

Donde:

  • x_{A} \text { у } y_{A} son las coordenadas del punto tangente
  • b \text { y } m son la intersección con las ordenadas y la pendiente de la recta respectivamente

x+2 y-20=0 \rightarrow y=-\frac{1}{2} x+10

m=-\frac{1}{2}

b=10

\left(x_{A}, y_{A}\right)=C(4,3)

Sustituimos en la ecuación de distancia.

d(A, l)=\frac{\left|-\frac{1}{2} \cdot(4)-3+10\right|}{\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}+1}}=2 \sqrt{5}

r=2 \sqrt{5} \text { y } C(4,3) .

(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=20

Desarrollamos.

x^{2}-8 x+16+y^{2}-6 y+9=20

x^{2}+y^{2}-8 x-6 y+5=0

La respuesta correcta es la opción c).

Reactivo 19: Ecuación de la circunferencia

Relacionar la ecuación de la circunferencia con sus respectivas gráficas.

  1. 1C, 2A, 3B, 4D
  2. 1A, 2C, 3D, 4B
  3. 1C, 2D, 3B, 4A
  4. 1A, 2B, 3C, 4D

Solución:

Para encontrar la combinación que sea solución del problema, analizaremos cada una de las ecuaciones de circunferencia de la columna izquierda para relacionarla con la gráfica correcta en la columna derecha.

Ya que todas están en su forma ordinaria (centro y radio), con una inspección rápida sabremos los parámetros de la circunferencia.

Ecuación 1.

x^{2}+(y-2)^{2}=2

Coordenadas del centro (h, k) .

C_{1}(0,2)

Radio.

r=\sqrt{2}

Comparando con las gráficas de la columna derecha, la del inciso C tiene centro en (0,2) . Por tanto:

1C.

Ecuación 2.

(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=2

Coordenadas del centro (h, k) .

C_{2}(1,2)

Radio.

r=\sqrt{2}

Comparando con las gráficas de la columna derecha, la del inciso D tiene centro en (1,2) . Por tanto:

2D.

Ecuación 3.

(x-1)^{2}+y^{2}=2

Coordenadas del centro (h, k) .

C_{3}(1,0)

Radio.

r=\sqrt{2}

Comparando con las gráficas de la columna derecha, la del inciso B tiene centro en (1,0) . Por tanto:

3B.

Ecuación 4.

x^{2}+y^{2}=2

Coordenadas del centro (h, k) .

C_{4}(0,0)

Radio.

r=\sqrt{2}

Comparando con las gráficas de la columna derecha, la del inciso A tiene centro en (0,0) . Por tanto:

4A.

Combinando las respuestas obtenemos:

1C, 2D, 3B, 4A.

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 20: Intersección de lugares geométricos

Determinar las coordenadas de los puntos del círculo con ecuación x^{2}+y^{2}-9 x-4 y+21=0 y la recta y-3=0 .

  1. P(5,3), Q(3,3)
  2. P(6,3), Q(3,3)
  3. P(6,3), Q(2,3)
  4. P(5,3), Q(5,3)

Solución:

Para lograr la intersección entre dos o más lugares geométricos, debemos resolver el sistema de ecuaciones conformado por las ecuaciones de cada figura. En nuestro caso, el sistema de ecuaciones es:

\left\{\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}-9 x-4 y+21=0 \\ y-3=0 \end{array}\right.

En este caso, el sistema de ecuaciones es simple, porque la recta es totalmente horizontal, no depende de x . Despejamos de ella el valor de y y lo sustituimos en la ecuación de la circunferencia para encontrar las coordenadas en x de las intersecciones.

y-3=0 \rightarrow y=3

Sustituimos en la circunferencia.

x^{2}+(3)^{2}-9 x-4(3)+21=0

x^{2}-9 x+18=0

Aplicamos la fórmula de segundo grado para calcular los valores de x .

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}

x_{1,2}=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^{2}-4(1)(18)}}{2(1)}

x_{1}=6

x_{2}=3

Los puntos de intersección de la recta con la circunferencia son:

P(6,3) \text { y } Q(3,3)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

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