Guía interactiva EXANI II módulo de Aritmética parte 2

¡Continuamos, aspirante! Resolvemos la segunda y última parte de la guía interactiva del EXANI II, correspondiente al módulo de Aritmética desde el reactivo 13 hasta el 24.

Guía interactiva EXANI II Aritmética 2

Toma descansos entre guías de reactivos, esto también forma parte del proceso de aprendizaje. Permítete meditar y asentar los conocimientos que vas adquiriendo.

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Reactivo 13

Identifique la solución de la siguiente expresión.

-4\left[\frac{1}{2}{\left(8+5\right)}^{2}\right]

  1. -338
  2. -324
  3. -66

Solución:

Para simplificar esta operación aritmética, es necesario cumplir con la jerarquía de operaciones. Primero resolvemos el interior de los paréntesis.

-4\left[\frac{1}{2}{\left(8+5\right)}^{2}\right]=-4\left[\frac{1}{2}{\left(13\right)}^{2}\right]

Ahora, se resuelve la potencia.

-4\left[\frac{1}{2}{\left(13\right)}^{2}\right]=-4\left[\frac{1}{2}169\right]=-4\left[\frac{169}{2}\right]

Deshacemos los corchetes multiplicando el -4 con la fracción del interior.

-4\left[\frac{169}{2}\right]=-4\cdot \frac{169}{2}=-2\cdot 169=-338

Finalmente:

-4\left[\frac{1}{2}{\left(8+5\right)}^{2}\right]=-338

La respuesta correcta es el inciso a). Si seleccionaste como respuesta correcta al inciso b) o c), has cometido un error en la jerarquía de operaciones.

En la opción b) se multiplica el un medio por el 8 y al resultado se le suma 5 para posteriormente elevar la suma a la potencia 2, finalmente se multiplica todo por -4.

Mientras que en la opción c) primero se eleva el 5 al cuadrado y luego se suma con 8. El resultado se multiplica por 1/2, y finalmente el producto resultante se multiplica por -4.

Reactivo 14

Identifique la situación en la que se aplica la ley de los signos que corresponde al producto de un número negativo por uno positivo.

  1. Una persona tiene un capital invertido de $5,000 en un negocio y a los 2 meses pierde $1,200
  2. La temperatura de una ciudad es de 6 °C bajo cero y durante la madrugada desciende el doble
  3. Un empleado tiene una deuda de $7,500 y en 3 meses la incrementa $3,000

Solución:

Para encontrar la respuesta correcta, debemos analizar cada uno de los planteamientos para identificar la ley de signos que se aplica.

Frase del inciso a.

Una persona tiene un capital invertido de $5,000 en un negocio y a los 2 meses pierde $1,200.

Debido a que una pérdida en este contexto significa resta, a los 5000 pesos de le restan 1200. Por lo tanto, la operación en este caso es la suma de números de distinto signo.

Frase del inciso b.

La temperatura de una ciudad es de 6 °C bajo cero y durante la madrugada desciende el doble.

Cuando se indica que una está bajo cero, significa que el registro es negativo. Teniendo en cuenta esto, la temperatura en la ciudad es de -6 °C, pero en la madrugada baja al doble, es decir, se multiplica por +2: 2\left(-6\right)=-12 °\mathrm{C} .

En el inciso b) se aplica la ley de signos para el producto de números con signo distinto. En el inciso c) hay que sumar dos números negativos, porque la deuda inicial es de -7,500$ y luego se adiciona más deuda correspondiente a -3,000$.

Reactivo 15

Un aparato de sonido en casa requiere 24 V para alimentarse. Se sabe que 2 baterías de 3 V conectadas en serie proporcionan un voltaje de 6 V. Si se desea hacer funcionar el aparato utilizando baterías, ¿Cuántas se necesitan?

  1. 4
  2. 8
  3. 12

Solución:

El aparato necesita 24 V para funcionar, pero solo hay baterías de 3 V. Gracias a determinada ley física, es posible sumar el voltaje de las baterías de 3 V conectadas en serie. Para saber cuantas hay que conectar, se dividen los 24 V entre 3 V.

n=\frac{24}{3}=8

Conectando 8 baterías de 3 V en serie se obtienen 24 V.

La respuesta correcta es el inciso b). En la opción a) se comete el error de dividir los 24 V entre los 6 V del ejemplo dado en el enunciado. Por otra parte, en el inciso c) el error consta en multiplicar 24 V por 3 V y dividir el resultado entre 6.

Reactivo 16

La capacidad de una cisterna es de 6 045 L. Si se llena con agua de un grifo a razón de 65 L cada 3 minutos, ¿Cuántos minutos tardará en llenarse?

  1. 31
  2. 93
  3. 279

Solución:

Primero se calcula la razón del flujo de agua del grifo.

r=\frac{65}{3}\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}

Ahora, este resultado se divide por el volumen total de la cisterna para obtener el tiempo de llenado.

t=\frac{6045}{\frac{65}{3}}=279 \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}

A razón de \frac{65}{3}\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} , la cisterna se llenará al tope de su capacidad en 279 minutos. La respuesta correcta es el inciso c). El error en el inciso a) pasa por dividir los 6045 Litros por el producto de 65 litros y los 3 minutos. Esto da como resultado \frac{1}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} , unidades de frecuencia y no de tiempo.

En la opción b), se divide el 6 045 por los 65 litros del grifo, ignorando la razón de 3 minutos. Además, esto arroja un resultado sin unidades.

Reactivo 17

En una comunidad de 20 personas, de las cuales 8 son menores, se tiene previsto que diariamente un adulto haga guardia nocturna para permitir el acceso a la comunidad. Se requiere un cronograma para que se turnen de manera equitativa de las 21:00 a las 06:00 horas del día siguiente.

¿Cuántas horas hace de guardia cada adulto durante 360 días?

  1. 162
  2. 270
  3. 405

Solución:

El total de adultos restando los 8 menores es igual a 12 personas, cada una asignada a un día de forma consecutiva para luego reiniciar las guardias. Por lo tanto, un mismo adulto hará guardia \frac{360}{12}=30 \mathrm{d}\mathrm{í}\mathrm{a}\mathrm{s} al año en esta comunidad.

Desde las 21 hasta las 6 hay 9 horas, por lo tanto, un adulto hará guardia \left(30\right)\left(9\right)=270\frac{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{s}}{\mathrm{a}\mathrm{ñ}\mathrm{o}} . La respuesta correcta es el inciso b). El error en la opción a) es que no se han restado los 8 menores, mientras que en el inciso c) se utiliza el número de menores en lugar del de adultos.

Reactivo 18

Identifique la expresión matemática que utilice correctamente los símbolos de agrupación.

  1. 3 – (7 + [4(5 – 9) – 3(-5)])
  2. 3 – {7 + [4(5 – 9) – 3(-5)}
  3. 3 – {7[4(5 – 9) – 3(-5)]}

Solución:

Los signos de agrupación se utilizan de forma anidada (es decir, unos dentro de otros) en el siguiente orden: paréntesis, alrededor corchetes y en el nivel más externo llaves. Teniendo en cuenta esto, el único inciso que muestra el uso correcto de los signos de agrupación es el c).

En el inciso a) se utilizan paréntesis para agrupar corchetes, mientras que en el b) se deja un corchete abierto a la derecha de 3(-5).

Reactivo 19

Un trabajador aprovecha sus días vacacionales para ir de paseo en coche. El lunes recorrió 80 km, el martes avanzó 1/3 de la distancia recorrida el lunes y el miércoles manejó 5/7 de la distancia recorrida el martes, pero de vuelta a su casa. ¿A cuántos kilómetros, expresados en fracción, quedó el trabajador del punto de partida?

  1. \frac{208}{3}
  2. \frac{2785}{21}
  3. \frac{432}{3}

Solución:

La distancia final del trabajador se calcula sumando a los 80 kilómetros del lunes, la tercera parte de este recorrido, es decir: \frac{80}{3} y luego se restan cinco séptimos de lo recorrido el martes: \frac{\frac{80}{3}}{\frac{5}{7}}=\frac{112}{3} . Finalmente se obtiene:

\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}=80+\frac{80}{3}-\frac{112}{3}=\frac{320}{3}-\frac{112}{3}

\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{a}=\frac{208}{3} \mathrm{k}\mathrm{m}

El trabajador quedó a \frac{208}{3} kilómetros del punto de partida.

La respuesta correcta es el inciso a). En el inciso b) se comete un error al calcular la distancia del tramo de regreso, en lugar de dividir \frac{80}{3} con \frac{5}{7} se calcula la resta y el resultado se suma al total.

80+\frac{80}{3}+\left(\frac{80}{3}-\frac{5}{7}\right)=\frac{2785}{21}

Por otra parte, en la opción c) se calculan todas las distancias de forma correcta, pero el tramo final se suma, no se resta.

80+\frac{80}{3}+\frac{112}{3}=\frac{432}{3}

Reactivo 20

En una población se detecta un nuevo virus en 8 personas. Al realizar los estudios pertinentes, la razón de crecimiento de infectados es de 2 cada 6 días. Después de 36 días, ¿Cuántos serán los infectados?

  1. 96
  2. 256
  3. 512

Solución:

Para resolver el problema, es necesario utilizar progresiones geométricas, debido a que al principio cada uno de los 8 infectados infecta a razón de 2 cada 6 días, los infectados del día 2 infectan a más personas y así sucesivamente.

La fórmula para obtener el enésimo elemento de la progresión es:

{a}_{n}={a}_{1}\cdot {r}^{n-1}

La razón en este caso es igual a 2 infectados.

r=2

El valor de n se debe dividir entre 6, porque la razón de contagio aplica para cada 6 días.

{a}_{\frac{36}{6}}=\left(8\right)\cdot {\left(2\right)}^{\frac{36}{6}-1}=8\cdot {2}^{5}=256 \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{s}

Transcurridos 36 días, habrá un total de 256 infectados.

La respuesta correcta es el inciso b). En el inciso a) no se ha identificado al desarrollo de la infección como una progresión geométrica, sino como una aritmética.

Mientras que en la opción c) se ha aplicado de forma incorrecta la fórmula para progresiones geométricas: no se descontó el 1 en el exponente \left(8\right)\cdot {\left(2\right)}^{\frac{36}{6}}=512 .

Reactivo 21

Si la velocidad de un meteorito es de 6\times {10}^{7} m/s , la distancia entre dos planetas es de 6.432\times {10}^{13} m y la fórmula del tiempo es distancia sobre velocidad, identifique, en segundos, el tiempo que le toma al meteorito viajar de un planeta a otro.

  1. 1.072 x {10}^{-6}
  2. 1.072 x {10}^{6}
  3. 1.072 x {10}^{20}

Solución:

El enunciado nos indica cómo se obtiene el tiempo de viaje:

t=\frac{d}{v}

Donde d es la distancia y v es la velocidad. Sustituimos los valores en notación científica.

t=\frac{6.432\times {10}^{13} \mathrm{m}}{6\times {10}^{7} \mathrm{m}/\mathrm{s}}

Se simplifican las potencias de base 10 y se dividen los factores.

t=1.072\times {10}^{6} \mathrm{s}

Al meteorito le toma 1.072\times {10}^{6} \mathrm{s} viajar de un planeta a otro.

La respuesta correcta es el inciso b). El error en el inciso a) radica en restar al revés los exponentes, en lugar de 13 – 7 se hace 7 – 13. Por otra parte, en el inciso c) el error se encuentra en que los exponentes se suman 13 + 7, en lugar de restarse.

Reactivo 22

Identifique la solución de la siguiente operación.

\frac{\left({3}^{3}\right)\times \left({3}^{-6}\right)}{{3}^{2}}

  1. {{3}^{}}^{-20}
  2. {3}^{-9}
  3. {3}^{-5}

Solución:

Primero se resuelve el producto de potencias de igual base en el numerador. Se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

\frac{\left({3}^{3}\right)\times \left({3}^{-6}\right)}{{3}^{2}}=\frac{{3}^{3-6}}{{3}^{2}}=\frac{{3}^{-3}}{{3}^{2}}

Ahora, se aplica la propiedad del cociente de potencias de igual base.

\frac{{3}^{-3}}{{3}^{2}}={3}^{-3-2}={3}^{-5}

La respuesta correcta es el inciso c). En la opción a) se multiplican incorrectamente los exponentes del numerador dando como resultado -18 y luego se aplica correctamente la propiedad del cociente de potencias de igual base.

El error en la opción b) se multiplican los exponentes del numerador dando como resultado -18 y luego se divide por 2, de esta forma se obtiene el -9.

Reactivo 23

En un almacén de frijol, al principio del periodo se contaba con 5 000 kg de producto. Primeramente, se realizaron 5 ventas de 333.333 kg cada una, luego 8 ventas de 240.45 kg cada una y, por último, se hicieron 3 compras de 725.32 kg cada una.

¿Cuántos kilogramos quedaron en el almacén al final del periodo, considerando el resultado redondeado a dos decimales?

  1. 3,585.70
  2. 5,151.54
  3. 6,414.31

Solución:

Debemos considerar que las ventas de frijol restan a los kilogramos iniciales y que las compran suman materia prima al almacén. Por lo tanto, a los 5000 kilogramos se le restan las dos primeras ventas y se le suman las 3 compras posteriores.

x=5000-5\left(333.333\right)-8\left(240.45\right)+3\left(725.32\right)

x=3585.7 \mathrm{k}\mathrm{g}

Quedaron 3585.7 kilogramos de frijol en el almacén.

La respuesta correcta es el inciso a). El error en la opción b) es que se sumó una sola compra de 725.32, restó una venta de 333.333 y una de 240.45. Por otra parte, en el inciso c) las ventas se sumaron y las compras se restaron, este fue el error.

Reactivo 24

La torre de control de un aeródromo registra 3 vuelos diarios. Uno cada 8, otro cada 12 y uno más cada 15 horas. Si los 3 vuelos coinciden en un momento, ¿después de cuántas horas será la próxima vez que coincidan nuevamente?

  1. 60
  2. 120
  3. 240

Solución:

Para calcular la coincidencia temporal de los vuelos, se debe calcular el mínimo común múltiplo de 8, 12 y 15.

Primero, se descomponen los números en sus factores primos.

8={2}^{3}, 12={2}^{2}\cdot 3, 15=5\cdot 3

Se toman los factores con los máximos exponentes, es decir: {2}^{3}, 3 y 5 . Por lo tanto:

mcm\left(\mathrm{8,12,15}\right)={2}^{3}\cdot 3\cdot 5=120

Los vuelos van a coincidir cada 120 horas.

La respuesta correcta es el inciso b). En el inciso a) se calcula el mínimo común múltiplo de 15 y 12, sin incluir el 8, debido a que 60 no es múltiplo de 8. Por otra parte, el inciso c) muestra un múltiplo de los 3 números, pero no es el mínimo.