Guía Exani II Cálculo Diferencial e Integral: 30 Ejercicios P.1

¡Bienvenido aspirante! En este post vamos a estar resolviendo los 10 primeros ejercicios del simulacro de Cálculo Diferencial e Integral correspondiente al módulo 4 del examen de conocimientos específicos del nuevo Exani II de Ceneval.

Con este simulacro, podrás recrear las condiciones del examen real de EXANI desde tu casa, resolviendo problemas con el mismo nivel de dificultad. No dejes que la prueba te sorprenda, desarrollalos por tu cuenta y luego regresa para comprobar tus resultados.

Estructura del Exani II

Para este 2022, el examen de ingreso de CENEVAL ha sido modificado, ahora consta de dos grandes partes: una sobre conocimientos generales, denominada habilidades y conocimientos y otra, correspondiente a los temas de conocimientos específicos que deberás examinar cuales aplican para tu carrera.

Los conocimientos generales se compone por 30 reactivos de matemáticas (que no corresponden a los de cálculo diferencial e integral) y otros 60 de español, divididos entre comprensión lectora y redacción indirecta.

Conoce la estructura de la guía Exani II y del examen de ingreso

Área	Reactivos
Habilidades y conocimientos
Pensamiento matemático	30
Comprensión lectora	30
Redacción indirecta	30
Módulos de conocimientos específicos
Módulo 1	24
Módulo 2	24
Subtotal de reactivos	138
Diagnóstico
Inglés	30
Total de reactivos	168

Examen conocimientos específicos

Recuerda que en el nuevo Exani II tendrás que resolver 2 exámenes, el primero corresponde a conocimientos y habilidades generales, y el segundo a conocimientos específicos relacionados con el area de estudio a la que pertenezca tu carrera.

El módulo 4 correspondientes a cálculo diferencial e integral suele aplicarse a carreras de ingeniería y ciencias.

Estos son los 15 módulos de conocimientos específicos

1. Administración	9. Física
2. Aritmética	10. Historia
3. Biología	11. Literatura
4. Cálculo diferencial e integral	12. Matemáticas financieras
5. Ciencias de la Salud	13. Premedicina
6. Derecho	14. Probabilidad y estadística
7. Economía	15. Química
8. Filosofía	16. Psicología

Temario de Cálculo diferencial e integral

El área de cálculo en la prueba EXANI pertenece a los módulos de conocimientos específicos. Cada estudiante debe resolver dos módulos el día de la prueba. Asegúrate de consultar en tu universidad cuáles son los módulos que presentarás.

Estos 30 ejercicios se encuentran distribuidos entre los siguientes temas de cálculo integral y diferencial:

Te invitamos a estudiar detenidamente cada uno de estos temas con la bibliografía indicada en la guía del EXANI. Es importante que tengas una buena base de álgebra, trigonometría y razonamiento matemático. Cálculo es la puerta a los temas más profundos y apasionantes de las matemáticas.

¿Cómo resolver el examen simulacro?

Los ejercicios del simulacro tienen la finalidad de ayudarte a: practicar los temas del examen real y acortar el tiempo que tardas en resolverlos.

Las siguientes, son sugerencias para tener en cuenta mientras estudias con este simulacro.

• Resuelve completa cada parte por tu cuenta antes de mirar las respuestas
• Establece un tiempo no mayor a 20 minutos por cada 10 reactivos
• Analiza el procedimiento que has seguido para resolver los ejercicios y piensa en posibles alternativas que acorten el tiempo
• Asegúrate de tener unos minutos de sobra para comprobar tus respuestas
• Si un ejercicio parece complejo, ve al siguiente y resuélvelo de último. Lo mejor es mantener la concentración y no entrar en pánico

Ejercicios de Cálculo diferencial e integral

Luego de esta introducción, vamos con la solución paso a paso de los primeros 10 reactivos de selección múltiple del simulacro de Cálculo diferencial e integral, inspirados en el examen real de EXANI II.

Reactivo 1

Examine la solución paso a paso del siguiente límite e identifique el (los) posible (s) error (es) que se han cometido durante el desarrollo. Justifique su respuesta en cada caso.

Solución del Límite.

\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\frac{{e}^{x}-\mathrm{tan}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}+\frac{1}{x+1}\right)

• \underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{e}^{x}-\mathrm{tan}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}-\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{x+1}
• \frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({e}^{x}-\mathrm{tan}x\right)}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{cos}}^{2}x}-\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(x+1\right)}
• \frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{e}^{x}-\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{tan}x}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{cos}}^{2}x}-\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}x+\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}
• \frac{{e}^{0}-\mathrm{tan}0}{{\mathrm{cos}}^{2}0}-\frac{0}{0+1}
• \frac{1}{1}-0=1

 

1. Pasos 1 y 2
2. Pasos 3 y 4
3. Pasos 1 y 4

Solución:

Para encontrar los pasos en los que se cometieron errores al resolver el límite, es necesario desarrollarlo por nuestra cuenta, aplicando correctamente las propiedades de los límites y del álgebra, si son necesarias.

Al ser el límite de una suma, podemos aplicar la propiedad:

\underset{x\to c}{lim} \left(f\right(x)+g(x\left)\right)=\underset{x\to c}{lim} f\left(x\right)+\underset{x\to c}{lim} g\left(x\right)

\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\frac{{e}^{x}-\mathrm{tan}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}+\frac{1}{x+1}\right)=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{e}^{x}-\mathrm{tan}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}+\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{x+1}

Aquí identificamos el primer error, debido a que el resultado debe ser una suma y en el paso (1) se convierte en una resta. Aplicamos en ambos términos la propiedad del límite de un cociente.

\underset{x\to c}{lim} \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to c}{lim} f\left(x\right)}{\underset{x\to c}{lim} g\left(x\right)}

=\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left({e}^{x}-\mathrm{tan}x\right)}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{cos}}^{2}x}+\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\left(x+1\right)}

Luego aplicamos la propiedad de la suma y la resta donde corresponde.

=\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{e}^{x}-\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{tan}x}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{cos}}^{2}x}+\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}x+\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}

Llegados a este punto, las funciones de todos los límites son sencillas. Probemos con evaluar.

\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{e}^{x}-\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\mathrm{tan}x}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\mathrm{cos}}^{2}x}+\frac{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}x+\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1}=\frac{{e}^{0}-\mathrm{tan}0}{{\mathrm{cos}}^{2}0}+\frac{1}{0+1}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2

\therefore \underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\left(\frac{{e}^{x}-\mathrm{tan}x}{{\mathrm{cos}}^{2}x}+\frac{1}{x+1}\right)=2

Identificamos otro error en el paso (4) ya que al evaluar \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}1 el resultado es la constante, es decir 1, debido a que no hay x en la cual evaluar.

Concluimos indicando que se han cometido errores en los pasos (1) y (4). Comparando con las opciones, seleccionamos a la c) como la correcta.

Reactivo 2

Resuelva el siguiente límite.

l=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+2x-15}

1. l=\frac{3}{4}
2. l=1
3. l=\frac{4}{3}

Solución:

Antes de comenzar a aplicar factorización o artificios matemáticos, es necesario evaluar el límite en el punto dado para comprobar se presenta o no alguna indeterminación.

Evaluando el límite.

\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+2x-15}=\frac{{3}^{2}-9}{{3}^{2}+2\left(3\right)-15}=\frac{0}{0}

En efecto, se presenta una indeterminación cero dividido cero. Para atacar, procedemos a factorizar ambos polinomios.

\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+2x-15}=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{{x}^{2}+2x-15}=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}

Simplificamos factores semejantes.

\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}=\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{\left(x+3\right)}{\left(x+5\right)}

Evaluamos el límite.

\underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{\left(x+3\right)}{\left(x+5\right)}=\frac{3+3}{3+5}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}

\therefore \underset{\mathrm{x}\to 3}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+2x-15}=\frac{3}{4}

Concluimos entonces que la respuesta correcta es la a).

Reactivo 3

Obtenga el resultado simbólico de resolver el siguiente límite.

l=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{\left(x+h-3\right)}^{2}-{\left(x-3\right)}^{2}}{\mathrm{h}}

1. l=2\left(3-x\right)
2. l=2\left(x-3\right)
3. l=3\left(x-2\right)

Solución:

Antes de proceder con la solución de cualquier límite, evaluamos al mismo en el punto al que tiende la variable. Démonos cuenta que la variable en este caso es h no x , por lo que debemos tener cuidado a la hora de proceder.

Evaluamos el límite.

\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{\left(x+h-3\right)}^{2}-{\left(x-3\right)}^{2}}{\mathrm{h}}=\frac{{\left(x+0-3\right)}^{2}-{\left(x-3\right)}^{2}}{0}=\frac{0}{0}

Se presenta una indeterminación cero dividido cero. Comencemos por desarrollar los productos notables para atacar la indeterminación.

\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{\left(x+h-3\right)}^{2}-{\left(x-3\right)}^{2}}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{h}^{2}+2hx-6h+{x}^{2}-6x+9-{x}^{2}+6x-9}{\mathrm{h}}

Simplificamos los términos semejantes del denominador.

\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{h}^{2}+2hx-6h+{x}^{2}-6x+9-{x}^{2}+6x-9}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{h}^{2}+2hx-6h}{\mathrm{h}}

Extraemos factor común h .

\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{{h}^{2}+2hx-6h}{\mathrm{h}}=\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \left(\mathrm{h}+2x-6\right)

Evaluamos.

\underset{\mathrm{h}\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \left(\mathrm{h}+2x-6\right)=2x-6=2\left(x-3\right)

\therefore l=2\left(x-3\right)

Comparando nuestro resultado con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es la b).

Reactivo 4

Resuelva el siguiente límite trigonométrico, aplicando las identidades necesarias para deshacer la indeterminación que se presenta.

l=\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{4{\mathrm{sin}}^{2}x\mathrm{sin}2x}{3{x}^{2}\mathrm{tan}4x\mathrm{cos}x}

1. l=\frac{1}{3}
2. l=3
3. l=\frac{2}{3}

Solución:

Comenzamos por evaluar el límite en el punto indicado.

\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{4{\mathrm{sin}}^{2}x\mathrm{sin}2x}{3{x}^{2}\mathrm{tan}4x\mathrm{cos}x}=\frac{4{\mathrm{sin}}^{2}\left(0\right)\mathrm{sin}\left(2\bullet 0\right)}{3{\left(0\right)}^{2}\mathrm{tan}4\left(0\right)\mathrm{cos}\left(0\right)}=\frac{0}{0}

Se presenta una indeterminación \frac{0}{0} . Para los límites trigonométricos, debemos tener presente los siguientes límites notables.

\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{lim} \frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}ax}{x}=a\\ \underset{x\to 0}{lim} \frac{\mathrm{t}\mathrm{g}ax}{x}=a\\ \underset{x\to 0}{lim} \frac{\mathrm{t}\mathrm{g}ax}{\mathrm{t}\mathrm{g}bx}=\frac{a}{b}\end{array}

Es claro que existen otros, pero estos serán especialmente útiles en este caso. Debemos separar en factores al límite original, buscando alguna de estas formas. En este caso, conviene colocar en una misma fracción al seno cuadrado y a x al cuadrado; al seno del ángulo doble con la tangente del ángulo cuádruple y el coseno solo en otro factor.

\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{4{\mathrm{sin}}^{2}x\mathrm{sin}2x}{3{x}^{2}\mathrm{tan}4x\mathrm{cos}x}=\frac{4}{3}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{{x}^{2}}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{sin}2x}{\mathrm{tan}4x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}

El factor \frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{{x}^{2}} se puede escribir como {\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2} .

=\frac{4}{3}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{sin}2x}{\mathrm{tan}4x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}

Por otra parte, en el segundo factor vamos a multiplicar y dividir por x .

=\frac{4}{3}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{x}{x}\bullet \frac{\mathrm{sin}2x}{\mathrm{tan}4x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}

Reacomodando las fracciones nos queda:

=\frac{4}{3}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{x}{\mathrm{tan}4x}\bullet \frac{\mathrm{sin}2x}{x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}

Esto lo podemos separar en dos factores.

=\frac{4}{3}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{x}{\mathrm{tan}4x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{sin}2x}{x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}

Al segundo factor lo reescribimos de la siguiente forma.

=\frac{4}{3}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\left(\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2}\bullet \frac{1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{tan}4x}{x}}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{sin}2x}{x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}

Finalmente, hemos logrado las formas notables que necesitábamos. Procedemos a evaluar.

=\frac{4}{3}\bullet {\left(\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{sen}x}{x}\right)}^{2}\bullet \frac{1}{\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{tan}4x}{x}}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{\mathrm{sin}2x}{x}\bullet \underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\mathrm{cos}x}=\frac{4}{3}\bullet {\left(1\right)}^{2}\bullet \frac{1}{4}\bullet 2\bullet \frac{1}{1}

\therefore l=\frac{2}{3}

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta la c).

Reactivo 5

Resuelva el siguiente límite al infinito, aplicando los artificios matemáticos necesarios hasta deshacer la indeterminación.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{-2{x}^{3}+5{x}^{4}-3x+8{x}^{6}}{-7{x}^{6}+5{x}^{2}+3}

1. l=-\frac{8}{7}
2. l=\nexists
3. l=\infty

Solución:

Para resolver límites que van al infinito, una de las técnicas que se sigue cuando la función es de alguna forma polinómica, se divide el numerador y el denominador por la variable elevada al mayor grado. Esto, debido a que algo entre infinito tiende a cero.

Si evaluamos el límite, el resultado que obtenemos es:

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{-2{x}^{3}+5{x}^{4}-3x+8{x}^{6}}{-7{x}^{6}+5{x}^{2}+3}=\frac{\infty }{\infty }

En este caso, el mayor grado tanto en el numerador como en el denominador es 6. Multiplicamos y dividimos por {x}^{6} .

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{6}}{{x}^{6}}\bullet \frac{-2{x}^{3}+5{x}^{4}-3x+8{x}^{6}}{-7{x}^{6}+5{x}^{2}+3}=\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{-\frac{2{x}^{3}}{{x}^{6}}+\frac{5{x}^{4}}{{x}^{6}}-\frac{3x}{{x}^{6}}+\frac{8{x}^{6}}{{x}^{6}}}{-\frac{7{x}^{6}}{{x}^{6}}+\frac{5{x}^{2}}{{x}^{6}}+\frac{3}{{x}^{6}}}

Simplificamos los exponentes.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{-\frac{2}{{x}^{3}}+\frac{5}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{5}}+8}{-7+\frac{5}{{x}^{4}}+\frac{3}{{x}^{6}}}

Evaluamos el límite.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{-\frac{2}{{x}^{3}}+\frac{5}{{x}^{2}}-\frac{3}{{x}^{5}}+8}{-7+\frac{5}{{x}^{4}}+\frac{3}{{x}^{6}}}=\frac{-\frac{2}{{\infty }^{3}}+\frac{5}{{\infty }^{2}}-\frac{3}{{\infty }^{5}}+8}{-7+\frac{5}{{\infty }^{4}}+\frac{3}{{\infty }^{6}}}=\frac{-0+0-0+8}{-7+0+0}

\therefore l=-\frac{8}{7}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta se encuentra en el inciso a).

Reactivo 6

Calcula la derivada por definición de la siguiente función.

f\left(x\right)=\mathrm{sin}\left(x+1\right)

Para este procedimiento encuentre:

1. La expresión del límite para calcular la derivada
2. La derivada de f

 

1. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{cos}\left(x+1\right)
2. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\left(x+1\right)\mathrm{sin}\left(x+1\right)
3. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\left(x+1\right)

Solución:

La primera pregunta se resuelve al armar la derivada por definición de la función.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}

Sustituimos a nuestra función.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(x+1+h\right)-\mathrm{sin}\left(x+1\right)}{h}

Si sustituimos h=0 en el límite, el resultado será una indeterminación cero dividido cero. Debemos aplicar identidades trigonométricas para deshacer la indeterminación. Recordemos que:

\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\alpha \pm \beta )=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\alpha \right)\cdot \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\beta \right)\pm \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\alpha \right)\cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\beta \right)

Para nosotros \alpha =x+1 y \beta =h .

=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(x+1\right)\mathrm{cos}\left(h\right)+\mathrm{cos}\left(x+1\right)\mathrm{sin}\left(h\right)-\mathrm{sin}\left(x+1\right)}{h}

Agrupamos los términos con \mathrm{sin}\left(x+1\right) y extraemos factor común.

=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(x+1\right)\mathrm{cos}\left(h\right)-\mathrm{sin}\left(x+1\right)+\mathrm{cos}\left(x+1\right)\mathrm{sin}\left(h\right)}{h}

=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{cos}\left(h\right)-1\right)\mathrm{sin}\left(x+1\right)+\mathrm{cos}\left(x+1\right)\mathrm{sin}\left(h\right)}{h}

Separamos los límites.

=\mathrm{sin}\left(x+1\right)\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}\left(h\right)-1}{h}+\mathrm{cos}\left(x+1\right)\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(h\right)}{h}

Recordemos los siguientes límites notables:

\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(x\right)}{x}=1

\underset{x\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{cos}\left(x\right)-1}{x}=0

Por tanto, solo nos queda evaluar.

=\mathrm{sin}\left(x+1\right)\left(0\right)+\mathrm{cos}\left(x+1\right)\left(1\right)

\therefore {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{cos}\left(x+1\right)

Comparando con las opciones, indicamos como respuesta correcta a la a).

Reactivo 7

Encuentre la derivada de la siguiente función, aplicando la regla de la cadena, propiedades y fórmulas correspondientes.

g\left(x\right)={\left(\frac{x-7}{x+2}\right)}^{2}

1. {g}^{\text{'}}\left(x\right)=18\frac{x}{{\left(x+2\right)}^{3}}
2. {g}^{\text{'}}\left(x\right)=18\frac{x-7}{{\left(x+2\right)}^{3}}
3. {g}^{\text{'}}\left(x\right)=18\frac{x-7}{{x}^{3}}

Solución:

En todas las derivadas donde se encuentren funciones compuestas, es necesario aplicar la regla de la cadena y para ello, debemos identificar la función con mayor prioridad o jerarquía. En este caso, es una fracción elevada a un exponente, la función potencial tiene mayor relevancia que la fraccionaria. Aplicamos entonces la fórmula de la derivada de una potencia.

{g}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{\left(\frac{x-7}{x+2}\right)}^{2}\right]}^{\text{'}}=2{\left(\frac{x-7}{x+2}\right)}^{\text{'}}\left(\frac{x-7}{x+2}\right)

Resolvemos la derivada indicada aplicando la derivada de un cociente.

=2\left[\frac{{\left(x-7\right)}^{\text{'}}\left(x+2\right)-{\left(x+2\right)}^{\text{'}}\left(x-7\right)}{{\left(x+2\right)}^{2}}\right]\left(\frac{x-7}{x+2}\right)

Derivamos.

=2\left[\frac{\left(x+2\right)-\left(x-7\right)}{{\left(x+2\right)}^{2}}\right]\left(\frac{x-7}{x+2}\right)=\frac{18}{{\left(x+2\right)}^{2}}\left(\frac{x-7}{x+2}\right)

\therefore {g}^{\text{'}}\left(x\right)=18\frac{x-7}{{\left(x+2\right)}^{3}}

Comparando con las opciones, concluimos que la correcta es el inciso b).

Reactivo 8

Determine la derivada de la siguiente función trigonométrica. Aplique las identidades que sean necesarias para llevarla a su mínima expresión.

f\left(x\right)={\mathrm{cot}}^{4}x-{\mathrm{csc}}^{4}x

1. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=-4{\mathrm{csc}}^{2}x
2. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=-4{\mathrm{csc}}^{2}x\mathrm{cot}x
3. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=4\mathrm{cot}x

Solución:

A esta función le podemos aplicar una primera factorización para intentar simplificar antes de derivar. Aplicamos diferencia de cuadrados.

f\left(x\right)={\mathrm{cot}}^{4}x-{\mathrm{csc}}^{4}x=\left({\mathrm{cot}}^{2}x-{\mathrm{csc}}^{2}x\right)\left({\mathrm{cot}}^{2}x+{\mathrm{csc}}^{2}x\right)

Ahora, recordemos que:

1+{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}}^{2}u={\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}}^{2}u

Es decir:

{\mathrm{cot}}^{2}u-{\mathrm{csc}}^{2}u=-1

Sustituimos en la función.

f\left(x\right)=-\left({\mathrm{cot}}^{2}x+{\mathrm{csc}}^{2}x\right)

Podemos simplificar aún más esta función. La intención es tratar con la menor cantidad posible de términos y funciones trigonométricas.

f\left(x\right)=-\left(\frac{{\mathrm{cos}}^{2}x}{{\mathrm{sin}}^{2}x}+\frac{1}{{\mathrm{sin}}^{2}x}\right)=-\frac{{\mathrm{cos}}^{2}x+1}{{\mathrm{sin}}^{2}x}

Aplicamos la identidad pitagórica.

{\mathrm{sin}}^{2}x+{\mathrm{cos}}^{2}x=1\to {\mathrm{cos}}^{2}x+1=2-{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x

Sustituimos.

f\left(x\right)=-\frac{2-{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^{2}x}{{\mathrm{sin}}^{2}x}

Simplificamos.

f\left(x\right)=-\frac{2-{\mathrm{sin}}^{2}x}{{\mathrm{sin}}^{2}x}=-2{\mathrm{csc}}^{2}x+1

\therefore f\left(x\right)=-2{\mathrm{csc}}^{2}x+1

Ahora derivamos aplicando la propiedad de la suma.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[1-2{\mathrm{csc}}^{2}x\right]}^{\text{'}}=-4\mathrm{csc}x{\left(\mathrm{csc}x\right)}^{\text{'}}

Aplicamos la fórmula de la derivada de la cosecante.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-4\mathrm{csc}x{\left(\mathrm{csc}x\right)}^{\text{'}}=-4\mathrm{csc}x\mathrm{csc}x\mathrm{cot}x

\therefore {f}^{\text{'}}\left(x\right)=-4{\mathrm{csc}}^{2}x\mathrm{cot}x

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 9

Relacione correctamente los conceptos de derivadas con su respectiva ecuación.

1. 1a, 2b, 3c
2. 1a, 2c, 3b
3. 1c, 2b, 3a

Solución:

Para relacionar correctamente las ecuaciones de la columna izquierda con los conceptos de la columna derecha, debemos tener clara la teoría sobre derivadas. Comencemos por la primera ecuación:

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}

Esta corresponde al concepto más fundamental de las derivadas: la derivada por definición. Es un límite que mide la variación de una función respecto al parámetro h , cuando dicho parámetro tiende a cero. Indicamos para este caso: 1c.

La segunda ecuación:

\underset{h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \frac{f\left(g\right(x+h\left)\right)-f\left(g\right(x\left)\right)}{h}

Tiene una forma muy similar a la derivada por definición, pero, si examinamos de cerca a la función f , nos daremos cuenta que está compuesta por otra función g . Es decir, esta ecuación intenta derivar a una función compuesta. Esto es lo que en cálculo se conoce como regla de la cadena. En base a esto, decimos que: 2b.

Finalmente, la tercera y última ecuación representa una de las propiedades básicas de las derivadas: la derivada de una suma o una resta. Por tanto: 3a. Concluimos uniendo todas las respuestas: 1c, 2b, 3a e indicando como respuesta correcta a la opción c).

Reactivo 10

Calcule la derivada de la siguiente igualdad.

4x=\mathrm{ln}\left(x+y\right)+{e}^{xy}

1. {y}^{\text{'}}=1+x\left(x+y\right){e}^{xy}
2. {y}^{\text{'}}=\frac{\left(x+y\right)}{1+x\left(x+y\right){e}^{xy}}
3. {y}^{\text{'}}=\frac{\left(4-y{e}^{xy}\right)\left(x+y\right)}{1+x\left(x+y\right){e}^{xy}}

Solución:

En este caso, debemos calcular la derivada implícita de la igualdad. Recordemos que, normalmente, derivamos a las funciones indicadas como y=f\left(x\right) respecto de la variable x , en aquellas igualdades en las que x y y se encuentran ligadas es necesario dejar implícita la derivada de y como {y}^{\text{'}} .

Comencemos por derivar ambos términos.

4={\left[\mathrm{ln}\left(x+y\right)\right]}^{\text{'}}+{\left({e}^{xy}\right)}^{\text{'}}

Aplicamos la fórmula de la derivada del logaritmo y de e .

\frac{{\left(x+y\right)}^{\text{'}}}{x+y}+{\left(xy\right)}^{\text{'}}{e}^{xy}=4

Resolvemos las derivadas indicadas.

\frac{{y}^{\text{'}}}{x+y}+\left(y+x{y}^{\text{'}}\right){e}^{xy}=4

Ahora, agrupamos los términos con {y}^{\text{'}} de un mismo lado de la igualdad.

\frac{{y}^{\text{'}}}{x+y}+y{e}^{xy}+x{y}^{\text{'}}{e}^{xy}=4

\frac{{y}^{\text{'}}}{x+y}+x{y}^{\text{'}}{e}^{xy}=4-y{e}^{xy}

{y}^{\text{'}}\left(\frac{1}{x+y}+x{e}^{xy}\right)=4-y{e}^{xy}\to {y}^{\text{'}}\left(\frac{1+x\left(x+y\right){e}^{xy}}{x+y}\right)=4-y{e}^{xy}

Despejamos.

{y}^{\text{'}}=\frac{\left(4-y{e}^{xy}\right)\left(x+y\right)}{1+x\left(x+y\right){e}^{xy}}

Comparando con las opciones, indicamos como correcta la c).