En esta guía aprenderás a convertir decimales periódicos a fracción. Si bien es un tema que suele causar mucha confusión una vez que lo dominas podrás resolver este tipo de ejercicios fácilmente.
Recuerda que cuando se realiza la división entre dos números enteros (con divisor distinto de cero) el resultado puede ser:
- Cero
- Un número entero
- Un numero racional
Pero en casos particulares, los decimales pueden volverse periódicos. Aprende qué son los decimales periódicos y aprende sus diferentes transformaciones.
Números decimales periódicos
Los números con decimales periódicos son un tipo de número racional cuya parte decimal presenta un cierto periodo, es decir una o más cifras decimales se repiten indefinidamente.
¿En qué casos se presentan los números con decimales periódicos? Cuando se realiza la división entre dos números enteros cualesquiera, supongamos a y b en algunos casos particulares, los decimales podrían repetirse.
Ejemplos de números con decimales periódicos:
\frac{1}{9}=0,1111111 \ldots a=1 y b=9 \frac{2}{27}=0,074074074 \ldots a=2 y b=27 \frac{7}{12}=0,58333333 \ldots a=7 y b=12
Representación de los decimales periódicos
Los matemáticos han encontrado soluciones elegantes para muchos problemas y una notación (forma de escribir algo) particularmente elegante es la que se usa para indicar que una o más cifras decimales de un numero racional son periódicas.
Consta en colocar un pequeño arco ͡ o línea recta ͞ sobre la(s) cifra(s) decimal(es) cíclicas. Ejemplos de la representación de números cíclicos:
\frac{1}{9}=0,1111111 \ldots=0, \overline{1} \frac{2}{27}=0,074074074 \ldots=0, \overline{074} \frac{7}{12}=0,58333333 \ldots=0,58 \overline{3}
Tipos de números periódicos
Llegados a este punto, seguro te has dado cuenta de algunas diferencias entre los ejemplos mostrados antes. Las divisiones 1:9 y 2:27 generan cifras decimales que se repiten inmediatamente después de la coma pero 7:12 lo hace después de algunas cifras, específicamente del 58.
Vamos a conocer los tipo de números periódicos:
- Decimales periódicos simples.
- Decimales periódicos mixtos.
Los decimales periódicos simples, son aquellos que se repiten inmediatamente después de la coma de forma infinita y pueden estar compuestos por una o más cifras.
De esta forma tanto 0, \overline{1} como 0,\overline{074} poseen decimales periódicos simples.
Los decimales periódicos mixtos, son aquellos cuya cifra o cifras decimales cíclicas se presentan después de otros números.
El número 0,58 \overline{3} posee decimales periódicos mixtos o semiperiódicos, porque la cifra cíclica (en este caso el 3) se manifiesta luego del 58.
Convertir Decimal periódico a fracción
Como se mencionó antes, los números racionales con decimales cíclicos se presentan en algunos casos cuando se dividen dos números enteros.
Parece interesante entonces plantear la pregunta: si genero el número cíclico al realizar la división ¿es posible obtener la fracción a partir del número cíclico?
La respuesta es ¡Sí! A continuación te muestro los métodos para cada tipo de decimales cíclicos.
Pasar de número decimal periódico simple a fracción
Obtengamos juntos la fracción generatriz de 0,333 \ldots=0, \overline{3} siguiendo estos sencillos pasos:
Paso1: obtener el numerador de la fracción.
Para eso, multiplica el numero expresado en notación periódica (0, \overline{3}) por un uno seguido de tantos ceros como la cantidad de cifras del ciclo y réstalo por la parte entera del número.
En este caso hay que multiplicar por 10 (un solo cero porque hay una cifra en el ciclo) y restarlo por 0 que es la parte entera.
numerador=0,3*10-0=3-0
Paso2: obtener el denominador.
El denominador va a ser un número compuesto por tantos nueve como cifras en el ciclo.
En este caso solo seria 3.
denominador=9
Paso3: arma la fracción.
Ahora solo queda componer la fracción con el numerador y el denominador de los pasos anteriores.
\frac{\text { numerador }}{\text { denominador }}=\frac{3-0}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
Por lo tanto:
0, \overline{3}=\frac{1}{3}
Pasar de número decimal periódico mixto a fracción
Obtengamos juntos la fracción generatriz de 4,0890202 \ldots=4,089 \overline{02} siguiendo estos sencillos pasos:
Paso1: obtener el numerador de la fracción.
El proceso es similar al de los periódicos simples, solo que la cantidad de ceros será igual al número de decimales antes del ciclo más las cifras del ciclo. Es decir, un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número en notación cíclica.
Por último, se resta por la parte entera junto a los dígitos de antes del ciclo.
El 4,089 \overline{02} tiene 5 cifras decimales en notación cíclica; 3 dígitos decimales antes del ciclo (089) y las dos cifras del ciclo (02).
numerador=100000*4,08902-4089=408902-4089
Paso2: obtener el denominador.
En este caso, se escoge un número formado por tantos nueves como cifras hay en el ciclo (para el ejemplo 2) y se multiplica por un uno seguido de tantos ceros como dígitos decimales antes del ciclo (hay 3 dígitos decimales antes del ciclo).
denominador=99*1000=99000
Paso3: arma la fracción.
\frac{\text { numerador }}{\text { denominador }}=\frac{408902-4089}{99000}=\frac{404813}{99000}
Por lo tanto:
4,089 \overline{02}=\frac{404813}{99000}
Identifica y representa en fracción al número periódico
Realiza el siguiente problema, aplica todo lo aprendido y selecciona la respuesta correcta. No te preocupes si algún paso te confunde, estará resuelto para que resuelvas cualquier duda.
Representar como el cociente de dos enteros el siguiente número decimal periódico 0, \overline{1234}
- \frac{1234}{1000}
- \frac{1234}{9999}
- \frac{1234}{10000}
- \frac{1234}{99999}
Análisis:
Según los tipos de decimales cíclicos, el número del problema sería: periódico simple. Ahora solo queda encontrar la fracción generatriz con el método correspondiente y seleccionar la opción correcta.
Encontrar el numerador de la fracción:
\text { numerador }=0, \overline{1234} * 10000-0=1234-0Encontrar al denominador:
denominador=9999
Formar la fracción:
0, \overline{1234}=\frac{1234-0}{9999}=\frac{1234}{9999}Por lo tanto:
0, \overline{1234}=\frac{1234}{9999}Seleccionar la respuesta correcta: en base a las opciones propuestas por el problema, la correcta seria la b).
Dato curioso
Si intentas calcular la fracción generatriz de 0, \overline{9}, el resultado es nada más y nada menos que 1 ¿Por qué sucede esto?
Lo que ocurre es que al ser infinita la cantidad de nueves en el decimal cíclico, no existe espacio posible entre el 1 y el 0, \overline{9}. Por eso, se puede decir con seguridad que 1 es exactamente igual a 0, \overline{9}.
Aprende a pasar números decimales periódicos a fracciones con ejercicios paso a paso.
