Examen Simulacro Guía UNAM Matemáticas Área 1

Solución:

Para encontrar el valor del cociente y el residuo, debemos realizar la división de 127 entre 11.

Bajamos el 12 y buscamos un número para el cociente que multiplicado por 11 sea 12 o se le acerque, que en este caso el 1.

Bajamos el 7, quedando el residuo como 17. De nuevo, el número que multiplicado por 11 se acerca a 17 es 1.

Llegados a este punto, el cociente es 11 y el residuo 6. La división $127÷11$ puede ser expresada como:

$127÷11=11*11+6$

c=11 y r=6

Concluimos el problema escogiendo como respuesta correcta al inciso D.

Solución:

El problema solicita que simplifiquemos la expresión fraccionaria, para ello, emplearemos la propiedad de división se potencias de igual base.

Observemos que, tanto en el numerador como en el denominador se encuentra el binomio ${a}^{2}+b$. En el numerador elevado a $3/2$ y en el denominador a 1.

$\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}}}{{a}^{2}+b}=\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left({a}^{2}+b\right)}^{1}}$

La propiedad del cociente de potencias de igual base dice que: se conserva la misma base y se restan los exponentes.

$\frac{{\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left({a}^{2}+b\right)}^{1}}={\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}-1}$

Resolvemos la resta en el exponente.

${\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{3}{2}-1}={\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{1}{2}}$

Cuando el exponente es $\frac{1}{2}$, la potencia puede transformarse a un radical de índice igual a 2 o raíz cuadrada.

${\left({a}^{2}+b\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{{a}^{2}+b}$

Concluimos el problema seleccionando la C como respuesta correcta.

Solución:

Para desarrollar rápidamente la expresión del problema, recurriremos al producto notable del cubo de la diferencia de dos cantidades:

$(a-b{)}^{3}={a}^{3}-3{a}^{2}b+3a{b}^{2}-{b}^{3}$

En nuestro caso $a$ es ${x}^{2}$ y $b$ es $3y$. Procedemos al desarrollo.

${\left({x}^{2}-3y\right)}^{3}={\left({x}^{2}\right)}^{3}-3{\left({x}^{2}\right)}^{2}\left(3y\right)+3\left({x}^{2}\right){\left(3y\right)}^{2}-{\left(3y\right)}^{3}$

Resolvemos las potencias y productos pendientes.

$={x}^{6}-9{x}^{4}y+27{x}^{2}{y}^{2}-27{y}^{3}$

Finalmente, el desarrollo de ${\left({x}^{2}-3y\right)}^{3}$ es ${x}^{6}-9{x}^{4}y+27{x}^{2}{y}^{2}-27{y}^{3}$.

En base a las expresiones de cada inciso, seleccionamos como respuesta correcta al C.

Solución:

Para encontrar la forma simplificada de la expresión, debemos representar al trinomio del numerador como el producto de sus factores primos, es decir, factorizar el trinomio cuadrado.

Extraemos factor común el signo menos.

$\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}=-\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}$

Existen diferentes vías para factorizar el trinomio, en este caso intentaremos encontrar dos números que multiplicados sean -40 y sumados 3, dichas cantidades son 8 y -5.

$8*-5=40$

$8+\left(-5\right)=8-5=3$

Reescribimos el trinomio.

$-\frac{{x}^{2}+3x-40}{x+8}=-\frac{\left(x-5\right)\left(x+8\right)}{x+8}$

Ahora, vemos que se simplifican los monomios $x+8$ presentes en el numerador y el denominador.

$-\frac{\left(x-5\right)\left(x+8\right)}{x+8}=-\left(x-5\right)$

Distribuimos el signo menos.

$-\left(x-5\right)=-x+5$

Indicamos finalmente que:

$\frac{-{x}^{2}-3x+40}{x+8}=-x+5$

Examinando las opciones que ofrece el problema, escogemos como correcta la B.

Solución:

En este caso, debemos saber diferenciar entre ecuación e identidad. Ambas están conformadas por dos miembros y un signo de igualdad pero, la ecuación solo se cumple para ciertos valores de la variable y la identidad se cumple para todos sus posibles valores.

De entre los incisos, la única que cumple con esta condición es el inciso A, porque el seno de $x$ valdrá $\frac{1}{2}$ para ciertos valores de su argumento. Por otro lado C y D, son la identidad Pitagórica en términos de seno y coseno, y de tangente con secante, respectivamente.

El inciso B es una ecuación trascendental con dos posibles soluciones y podría, al igual que la opción A, ser la respuesta correcta. Teniendo en cuenta todo este análisis, seleccionamos como correcta a la opción A y a la B.

Solución:

Para encontrar los valores que satisfacen a la ecuación, debemos aplicar la fórmula de segundo grado.

$a{x}^{2}+bx+c=0$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes $a$, $b$ y $c$ son:

$a=6;b=-11;c=-35$

Sustituimos y resolvemos.

${x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\left(-11\right)\pm \sqrt{{\left(-11\right)}^{2}-4\left(6\right)\left(-35\right)}}{2\left(6\right)}=\frac{11\pm \sqrt{121+840}}{12}$

${x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{11\pm \sqrt{121+840}}{12}=\frac{11\pm \sqrt{961}}{12}=\frac{11\pm 31}{12}$

Separamos las soluciones.

${x}_{1}=\frac{11-31}{12}=-\frac{5}{3}$

${x}_{2}=\frac{11+31}{12}=\frac{7}{2}$

Finalmente:

${x}_{1}=-\frac{5}{3};{x}_{2}=\frac{7}{2}$

Comparando con las opciones, la respuesta correcta se encuentra en el inciso C.

Solución:

Para facilitar el análisis, podemos graficar al conjunto indicado en el enunciado en una recta numérica:

Son todos los números menores o iguales que $\frac{1}{3}$.

$x\le \frac{1}{3}$

Multiplicamos ambos lados de la desigualdad pos +3.

$3x\le 1$

Le restamos 1 a ambos lados.

$3x-1\le 0$

Si comparamos este resultado con los incisos, nos daremos cuenta que no se encuentra expresado de esta forma. Multipliquemos por -1 toda la inecuación.

$-3x+1\ge 0$

Ahora sí, seleccionamos como respuesta correcta el inciso C.

Solución:

Para resolver el sistema de ecuaciones 3×3 del enunciado, podemos recurrir a los métodos: por sustitución, por igualación, por reducción o emplear la regla de Cramer.

En esa ocasión, emplearemos sustitución. Despejamos a $z$ de la tercera ecuación, el resultado lo reemplazamos en 1 y 2 para obtener un sistema 2×2 más chico.

Despejando a $z$.

$3y+z=17\to z=17-3y$

Sustituyendo en 1.

$5x+2y-\left(17-3y\right)=-7$

$5x+2y-17+3y=-7$

$5x+5y=17-7$

$5x+5y=10$

Dividimos entre 5.

$x+y=2$

Sustituyendo $z$ en 2.

$x-2y+2\left(17-3y\right)=0$

$x-2y+34-6y=0$

$x-8y=-34$

Nuevo sistema:

$\left\{\begin{array}{c}x+y=2\\ x-8y=-34\end{array}\right.$

Despejamos a $x$ de $x+y=2$.

$x+y=2\to x=2-y$

Sustituimos en $x-8y=-34$.

$2-y-8y=-34$

$-9y=-36$

$\therefore y=4$

Sustituimos este resultado en $x=2-y$.

$x=2-4=-2$

$\therefore x=-2$

Por último, para obtener a $z$ sustituimos el valor de $y$ en $z=17-3y$.

$z=17-3\left(4\right)=5$

$\therefore z=5$

La solución al SEL es:

$x=-2;y=4;z=5$

Comparando con los incisos, la respuesta correcta es la C.

Solución:

Para encontrar el valor de $y$ cuando $x=-8$, debemos sustituir todas las $x$ por un -8 entre paréntesis y luego resolver las operaciones correspondientes respetando su jerarquía.

Sustituimos.

$x=-8\to y=5{\left(-8\right)}^{\frac{2}{3}}+3\left(-8\right)$

El ${\left(-8\right)}^{\frac{2}{3}}$ puede escribirse como $\sqrt[3]{{\left(-8\right)}^{2}}$ por propiedades de los exponentes.

$y=5\sqrt[3]{{\left(-8\right)}^{2}}+3\left(-8\right)$

Calculamos el cuadrado de -8.

$y=5\sqrt[3]{64}+3\left(-8\right)$

Ahora su raíz cúbica.

$y=5\left(4\right)+3\left(-8\right)$

Por último, resolvemos multiplicaciones.

$y=20-24$

$y=-4$

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es el inciso D.

Solución:

De las identidades trigonométricas, sabemos que el seno de uno de los ángulos en un triángulo rectángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

$sin\alpha =\frac{CO}{H}$

En este caso, el ángulo en cuestión es $A$, su cateto opuesto es el que mide 3 unidades y la hipotenusa el lado más largo de 5 unidades. Sustituimos y concluimos indicando que:

$sinA =\frac{3}{5}$

El seno de $A$ es igual a 3 sobre cinco.

Seleccionamos como correcta la opción A.

Solución:

Para visualizar con mayor facilidad lo que solicita el problema, haremos un pequeño bosquejo del triángulo rectángulo.

La hipotenusa vale 10 unidades, el ángulo de 30 grados entre la hipotenusa y uno de los catetos y $x$ que representa al cateto cuya magnitud es desconocida. Para calcularlo, solo debemos recurrir al seno de 30 grados.

$sin30 =\frac{CO}{H}=\frac{x}{10}$

Despejamos.

$x=10sin 30 =10*\frac{1}{2}=5$

El cateto opuesto al ángulo de 30 grados mide 5 unidades.

Comparando con las opciones del problema, la respuesta correcta es la C.

Solución:

Para calcular el rango de una función, primero debemos obtener la inversa de $f$, es decir cambiar de lugar a $x$ y $y$. Luego, determinamos el dominio de ${f}^{-1}$; dicho conjunto solución será el rango de $f$.

Cálculo de la inversa de $f\left(x\right)$, debemos despejar a la variable $x$.

$y={e}^{\left(-5x-\frac{1}{5}\right)}+5$

${e}^{\left(-5x-\frac{1}{5}\right)}=y-5$

Logaritmo natural a ambos lados.

$ln {e}^{\left(-5x-\frac{1}{5}\right)} =ln \left(y-5\right)$

$-5x-\frac{1}{5}=ln \left(y-5\right)$

$-5x=ln \left(y-5\right) +\frac{1}{5}$

$\therefore x=-\frac{1}{5}ln\left(y-5\right) -\frac{1}{25}$

Ahora, calculamos el dominio de esta función inversa. Al término independiente lo podemos obviar porque vale igual para todos los reales, solo queda el término con el logaritmo natural, cuyo argumento debe ser mayor que cero.

$-\frac{1}{5}ln\left(y-5\right) \exists \leftrightarrow y-5>0$

Resolvemos la inecuación.

$y-5>0\to y>5$

Expresado en notación de intervalo.

$\left(5,+\infty \right)$

Concluimos que:

$Ran\left\{{e}^{\left(-5x-\frac{1}{5}\right)}+5\right\}=\forall y\in \left(5,\infty \right)$

Gráfica de $y={e}^{\left(-5x-\frac{1}{5}\right)}+5$. En ella, se evidencia que la función tiene un rango definido entre 5 y $+\infty$.

Comparando con las opciones, escogemos como respuesta correcta al inciso B.

Solución:

El punto medio $M$ de un segmento con extremos $P$ y $Q$, es aquel que lo divide en dos partes iguales. Las coordenadas de dicho punto se calculan mediante la siguiente expresión:

$M\left(\frac{{P}_{x}+{Q}_{x}}{2},\frac{{P}_{y}+{Q}_{y}}{2}\right)$

Sustituimos las coordenadas de $P$ y $Q$.

$M\left(\frac{0+4}{2},\frac{2+6}{2}\right)=M\left(\frac{4}{2},\frac{8}{2}\right)=M\left(\mathrm{2,4}\right)$

Las coordenadas del punto medio entre $P\left(\mathrm{0,2}\right) y Q\left(\mathrm{4,6}\right)$ son $\left(\mathrm{2,4}\right)$.

Concluimos el problema seleccionando como correcta la opción B.