En este ejercicio vamos a aprender a ordenar radicales de menor a mayor. Antes de resolverlo vamos a conocer algunos conceptos importantes que debes conocer para resolver este tipo de ejercicios.
Te los voy a mencionar por si llegarás a tener algún problema al momento de tratar de entender el ejercicio.
Conocimientos necesarios:
- Propiedades de la Potenciación.
- Propiedades de la Radicación.
Números radicales
En la vida cotidiana, es común diferenciar entre cantidades. Reconocer e indicar si dos números son mayores o menores entre sí, es crucial para cosas tan triviales como escoger la caja para pagar en el supermercado.
Hacerlo con números enteros o naturales es intuitivo pero ¿Cómo reconocer quien es mayor entre dos números radicales? A simple vista parece complejo, en esta guía aprenderás todos los trucos para hacerlo de forma sencilla y en pocos pasos.
Potenciación y radicación
Son operaciones opuestas entre sí, consecuencia de simplificar la multiplicación sucesiva de una misma cifra.
Potenciación
La potenciación, es la operación compuesta por dos elementos: una base a y un exponente n. Donde la base a se multiplica por si misma tantas veces como lo indica el exponente n.
La potenciación se expresa como:
\boldsymbol{a}^{n}=\underbrace{\boldsymbol{a} * \boldsymbol{a} * \boldsymbol{a} * \boldsymbol{a} * \ldots * \boldsymbol{a}}_{n}
Ejemplo de potenciación:
5 * 5 * 5 * 5=5^{4}=625
Radicación
La radicación es la operación inversa a la potenciación y está compuesta por 3 elementos: el índice n, la raíz b y el radicando a. Dónde: la raíz b de un radicando y a es un número que elevado al índice n da como resultado al radicando a.
El símbolo que se utiliza para representar a la radicación es \sqrt[n]{a}=b. La radicación es inversa a la potenciación porque se tiene que verificar que: b^{n}=a. Por convención, si no se indica el índice, este se toma como dos.
Vamos a examinar todo lo anterior con un ejemplo:
Si quisieras encontrar la raíz cuadrada (índice 2) del 4, el resultado debe ser un número que elevado al índice (en este caso 2) dé como resultado al 4. Si elevamos dos al cuadrado, es decir 2^{2}=2 * 2, el resultado será 4. Conclusión: la raíz cuadrada de 4 es 2.
\sqrt{4}=2
Otros ejemplos de radicación:
\sqrt{9}=3 \rightarrow 3^{2}=9
\sqrt[3]{729}=9 \rightarrow 9^{3}=729
\sqrt[5]{16}=2 \rightarrow 2^{5}=16
Otra forma de representar a los radicales es en forma de potencias. Para ello, se eleva al radicando a una fracción cuyo numerador es uno (o la potencia que tenga el radicando) y el índice de la raíz pasa a ser el denominador de la fracción.
\sqrt[5]{16} \rightarrow 16^{\frac{1}{5}}
Esta notación es muy útil para realizar artificios matemáticos y ejemplificar de mejor forma las propiedades de la radicación.
Ordena los radicales de menor a mayor
Ordenar de forma ascendente (menor a mayor) las siguientes cantidades:
- \sqrt{2}
- 2*\sqrt{2}
- \frac{\sqrt{2}}{2}
- 2
- 3, 4, 2, 1
- 3, 1, 4, 2
- 2, 3, 4, 1
- 2, 4, 1, 3
Solución:
Para resolver el problema, hay que transformar las expresiones radicales para que tengan el mismo exponente aplicando las propiedades antes vistas.
Paso1: colocamos en orden las expresiones radicales.
\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 2
Paso2: hay que incluir a los números que están fuera de las raíces dentro de ellas. Para ello, los elevamos al cuadrado y aplicamos raíz cuadrada sobre ellos. Esto mantiene la igualdad y nos permitirá integrarlos a las otras raíces.
Paso3: aplicamos la propiedad de potencia de un producto y potencia de una fracción pero en reversa:
\sqrt{2}, \sqrt{2^{2}} * \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2^{2}}}, 2
\frac{b^{n}}{a^{n}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \text{ y } a^{n} * b^{n}=(a * b)^{n}
Donde n será \frac{1}{2} según la propiedad de exponente racional.
\sqrt{2},(4)^{\frac{1}{2}} * 2^{\frac{1}{2}}, \frac{2^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}, 2
\sqrt{2},(4 * 2)^{\frac{1}{2}},\left(\frac{2}{4}\right)^{\frac{1}{2}}, 2
\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{\frac{1}{2}}, 2
Paso4: ahora solo queda incluir al 2 en un radical. Para eso, aplicamos el mismo artificio:
\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{2^{2}} \rightarrow \underbrace{\sqrt{2}}_{1}, \underbrace{\sqrt{8}}_{2}, \underbrace{\sqrt{\frac{1}{2}}}_{3}, \underbrace{\sqrt{4}}_{4}
¡Listo! Ya es posible ordenar de manera ascendente los números radicales:
\underbrace{\sqrt{\frac{1}{2}}}_{3}, \underbrace{\sqrt{2}}_{1}, \underbrace{\sqrt{4}}_{4}, \underbrace{\sqrt{8}}_{2}
