Guía UAM CBI Ciencias básicas e ingeniería | Matemáticas Parte 6

¡Ya casi acabamos aspirante! Vamos con los reactivos del 63 al 72, que corresponden a la sexta parte de la guía de ingreso resuelta para las divisiones de CBI y CNI del examen a la Universidad Autónoma Metropolitana.

Parte V Parte VII

Guía UAM Matemáticas Parte 6 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de la sexta y penúltima parte de esta guía de matemáticas para el examen de ingreso a la UAM.

Para el 2022, la prueba cambió de modalidad presencial a modalidad en línea, asegúrate de tomar todas las previsiones y toma el examen de prueba para comprobar tu equipo y conexión a internet.

Reactivo 63: Ecuación de segundo grado

Las soluciones de la ecuación ${x}^{2}-10ax+9{a}^{2}=0$  son _______.

1. ${x}_{1}=a,{x}_{2}=a$
2. ${x}_{1}=a,{x}_{2}=9a$
3. ${x}_{1}=3a,{x}_{2}=0$
4. ${x}_{1}=4.5a,{x}_{2}=3a$
5. ${x}_{1}=3a,{x}_{2}=5a$

Solución:

Tenemos dos caminos para calcular las raíces del polinomio de segundo grado: la fórmula cuadrática o mediante factorización. Por ser la vía más rápida, optamos esta vez por la fórmula cuadrática.

${x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$

En este caso:

$a=1$

$b=-10a$

$c=9{a}^{2}$

Sustituimos:

${x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{-\left(-10a\right)\pm \sqrt{{\left(-10a\right)}^{2}-4\left(1\right)\left(9{a}^{2}\right)}}{2}=\frac{10a\pm \sqrt{100{a}^{2}-36{a}^{2}}}{2}$

${x}_{\mathrm{1,2}}=\frac{10a\pm \sqrt{64{a}^{2}}}{2}=\frac{10a\pm 8a}{2}$

${x}_{1}=\frac{10a-8a}{2}=a$

${x}_{2}=\frac{10a+8a}{2}=9a$

Finalmente:

Las soluciones de la ecuación ${x}^{2}-10ax+9{a}^{2}=0$  son ${x}_{1}=a, {x}_{2}=9a$ .

Comparando con las opciones, escogemos como correcta a la B.

Reactivo 64: Solución de ecuaciones

La solución de la ecuación $\frac{4}{x-2}-\frac{4}{3x-6}=-\frac{8}{3}$  es _____________.

1. 0
2. 2
3. -2
4. -1
5. 1

Solución:

Comenzamos por eliminar los monomios de los denominadores en las fracciones, para ello multiplicamos ambos miembros de la ecuación por $x-2$  y luego por $3x-6$ .

Multiplicando por $x-2$ .

$\left(\frac{4}{x-2}-\frac{4}{3x-6}\right)\left(x-2\right)=-\frac{8}{3}\left(x-2\right)$

$4-4\frac{x-2}{3x-6}=-\frac{8}{3}\left(x-2\right)$

Multiplicando por $3x-6$ .

$\left(4-4\frac{x-2}{3x-6}\right)\left(3x-6\right)=-\frac{8}{3}\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

$4\left(3x-6\right)-4\left(x-2\right)=-\frac{8}{3}\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

Dividimos ambos miembros por 4 y luego multiplicamos por 3.

$3x-6-\left(x-2\right)=-\frac{2}{3}\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

$3\left(3x-6\right)-3\left(x-2\right)=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

Desarrollamos los productos.

$9x-18-3x+6=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

$6x-12=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

Extraemos el factor común del primer miembro 2.

$2\left(3x-6\right)=-2\left(3x-6\right)\left(x-2\right)$

Dividimos ambos miembros por $3x-6$ .

$2=-2\left(x-2\right)$

Dividimos por -2.

$-1=x-2$

Despejamos $x$ .

$x=2-1$

$\therefore x=1$

Finalmente:

La solución de la ecuación $\frac{4}{x-2}-\frac{4}{3x-6}=-\frac{8}{3}$  es 1.

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la opción E.

Reactivo 65: Área de la base de un cilindro

Un tanque cilíndrico tiene una altura igual al doble de su radio. Si el volumen del tanque es $V=16 {m}^{3}$  ¿Cuánto mide su área lateral?

1. $16\sqrt[3]{{\pi }^{2}}$
2. $8\sqrt[3]{{\pi }^{2}}$
3. $8\pi$
4. $4\sqrt[3]{\pi }$
5. $16\sqrt[3]{\pi }$

Solución:

En este caso, el área que solicita el ejercicio es la sección transversal del tanque.

La ecuación del volumen de un cilindro es:

${V}_{c}=\pi {r}^{2}h\to 16 {cm}^{3}=\pi {r}^{2}h$

Donde $r$  es el radio y $h$  la altura del cilindro. Por otro lado el enunciado nos dice que la altura es igual al doble del radio, es decir:

$h=2r$

Sustituimos en la ecuación del volumen.

$16 {cm}^{3}=\pi {r}^{2}\left(2r\right)\to 16 {cm}^{3}=2\pi {r}^{3}$

Despejamos el radio.

$r=\sqrt[3]{\frac{16}{2\pi }}$

Sustituimos en la ecuación del área de un círculo.

$A=\pi {r}^{2}\to A=\pi {\left(\frac{16}{2\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}$

Simplificamos la expresión.

$A=\pi {\left(\frac{16}{2\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}=\pi {\left(\frac{8}{\pi }\right)}^{\frac{2}{3}}=\frac{\pi }{{\pi }^{\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^{2}$

$=\frac{\pi }{{\pi }^{\frac{2}{3}}}{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^{2}={\pi }^{1-\frac{2}{3}}{\left(2\right)}^{2}={\pi }^{\frac{1}{3}}\left(4\right)$

$\therefore A=4\sqrt[3]{\pi } {cm}^{2}$

Concluimos escogiendo como respuesta correcta a la opción D.

Reactivo 66: Relación entre ángulos

En el siguiente diagrama ¿Cuál es el valor en grados del ángulo z?

1. 30°
2. 100°
3. 60°
4. 80°
5. 40°

Solución:

Para encontrar el valor de $z$ , debemos relacionar los ángulos mediante ángulos opuestos por el vértice y ángulos suplementarios.

Son opuestos por el vértice $z$  y $2x$ , por tanto:

$z=2x \left(I\right)$

Son suplementarios $4x$  y $2x$ , como también $z$  y $4x$ .

$4x+2x=180 \left(II\right)$

$z+4x=180 \left(III\right)$

En este caso, las ecuaciones II y III son iguales, ya que si se sustituye I en III se obtiene a II. Nos conviene utilizar la ecuación II para despejar a $x$  y luego sustituir su valor en $z$ .

$4x+2x=180\to 6x=180\to x=30$

Sustituyendo en $\left(I\right)$ .

$z=2\left(30\right)=60$

Concluimos indicando que $z$  vale 60°.

Comparando con las opciones, seleccionamos a C como la correcta.

Reactivo 67: Teorema de Tales

Un joven mide 6 pies de altura y su sombra mide 4 pies de longitud; si la sombra de un árbol mide 24 pies de largo ¿Qué altura tiene el árbol?

1. 30 pies
2. 26 pies
3. 36 pies
4. 24 pies
5. 28 pies

Solución:

Para calcular la altura del árbol, debemos recurrir al teorema de Tales o de triángulos semejantes. Específicamente, el criterio de proporcionalidad de lados; donde el cociente entre la altura del joven y la altura del árbol es igual al cociente de las sombras.

Si ${s}_{j}$  y ${s}_{a}$  son las sombras del joven y el árbol, y ${h}_{j}$  y ${h}_{a}$  las alturas respectivamente, el criterio de proporcionalidad de lados queda como:

$\frac{{s}_{j}}{{s}_{a}}=\frac{{h}_{j}}{{h}_{a}}$

Despejamos la altura del árbol.

${h}_{a}=\frac{{h}_{j}}{{s}_{j}}*{s}_{a}$

Sustituimos.

${h}_{a}=\frac{6}{4}*24=36 pies$

El árbol tiene una altura de 36 pies.

Concluimos seleccionando como respuesta correcta a la opción C.

Reactivo 68: Identidades trigonométricas

Del siguiente triángulo rectángulo, la identidad trigonométrica falsa es ________.

1. $cot \alpha  =\frac{x}{y}$
2. $sec \theta  =\frac{y}{h}$
3. $csc \alpha  =\frac{h}{y}$
4. $tan \theta  =\frac{x}{y}$
5. $csc \theta  =\frac{h}{x}$

Solución:

En este caso, examinaremos cada identidad trigonométrica para comprobar que sea correcta; de no serlo concluimos con la solución y la seleccionamos como falsa.

Cotangente de alfa.

La cotangente es la función inversa de la tangente. Respecto a alfa representa el cociente entre el cateto adyacente sobre el cateto opuesto.

$cot \alpha  =\frac{CA}{CO}$ $x$  es adyacente a alfa y $y$  es el opuesto, por tanto:

$cot \alpha  =\frac{CA}{CO}=\frac{x}{y}$

No es la identidad falsa.

Secante de teta.

La secante es la función inversa del coseno. Respecto al ángulo teta representa el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

$sec \theta  =\frac{H}{CA}$

$h$  es la hipotenusa y $y$  es el cateto adyacente, por tanto:

$sec \theta  =\frac{H}{CA}=\frac{h}{y}$

El inciso muestra la relación al revés. Esta es la identidad falsa.

Del siguiente triángulo rectángulo, la identidad trigonométrica falsa es $sec \theta  =\frac{y}{h}$ .

Seleccionamos a la B como la respuesta correcta.

Reactivo 69: Perímetro de una circunferencia

La figura muestra un círculo de área igual a $25\pi$ , dividido en 8 partes iguales ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

1. $5\left(3+\frac{\pi }{4}\right)$
2. $5\left(1+\frac{\pi }{4}\right)$
3. $5\left(2+\frac{\pi }{4}\right)$
4. $5\left(2+\frac{\pi }{8}\right)$
5. $5\left(1+\frac{\pi }{8}\right)$

Solución:

El perímetro de la sección sombreada es la suma de los dos lados rectos (que son iguales al radio) y la sección curva:

${P}_{tc}=2r+{P}_{p}$

Ya que cada una de las 8 partes son iguales, tanto el perímetro como el área es una octava parte del total, es decir:

${A}_{p}=\frac{{A}_{c}}{8}$

${P}_{p}=\frac{{P}_{c}}{8}$

El área y el perímetro del círculo se calculan como:

${A}_{c}=\pi {r}^{2}$

${P}_{c}=2\pi r$

De la ecuación de área, podemos despejar el valor del radio para sustituirlo en la ecuación del perímetro.

${A}_{c}=\pi {r}^{2}\to r=\sqrt{\frac{{A}_{c}}{\pi }}$

$\therefore r=\sqrt{\frac{25\pi }{\pi }}=\sqrt{25}=5$

${P}_{c}=\frac{2\pi \left(5\right)}{8}=\frac{10\pi }{8}=\frac{5\pi }{4}$

Calculamos el perímetro de la sección sombreada.

${P}_{tc}=2r+{P}_{p}\to  {P}_{tc}=2\left(5\right)+\frac{5\pi }{4}=5\left(2+\frac{\pi }{4}\right)$

Se concluye el ejercicio escogiendo como correcta a la opción C.

Reactivo 70: Trigonometría

En el siguiente triángulo isósceles, determine el valor del ángulo $A$  en radianes.

1. $\frac{\pi }{12}rad$
2. $\pi rad$
3. $\frac{\pi }{6}rad$
4. $30\pi rad$
5. $\frac{\pi }{3}rad$

Solución:

Un triángulo isósceles es aquel con 2 lados y 2 ángulos iguales. En la situación planteada en la imagen, son iguales los lados $BA$  y $BC$ , por tanto son iguales los ángulos $\widehat{A}$  y $\widehat{C}$ . Ya que la suma de ángulos en un triángulo el siempre 180°, decimos que:

$180°=120°+2A$

$2A=60°\to A=30°$

Ahora debemos transformar el resultado a radianes. Utilizamos la relación que dice:

$180°\to \pi$

$30°\to x$

$x=\frac{30°*\pi }{180°}=\frac{\pi }{6}rad$

Concluimos el reactivo seleccionando como respuesta correcta a la opción C.

Reactivo 71: Ecuación de la circunferencia

Determinar la ecuación de la circunferencia si $A(-\mathrm{2,3}) y B(4,-5)$  son los extremos de uno de sus diámetros.

1. ${x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-23=0$
2. ${x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-3=0$
3. ${x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-23=0$
4. ${x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-3=0$
5. ${x}^{2}+{y}^{2}+2x-2y-27=0$

Solución:

Para encontrar la ecuación de la circunferencia podemos seguir dos caminos:

1. Sustituir en la ecuación ordinaria las coordenadas de ambos puntos y armar un sistema de ecuaciones no lineal
2. Calcular el punto medio entre los dos puntos junto a la mitad de la distancia entre ellos para obtener centro y radio

Debido a que los sistemas de ecuaciones no lineales son tediosos de resolver, elegiremos el segundo camino.

Cálculo del centro.

Ya que los puntos pertenecen a la circunferencia, ambos forman un diámetro o cuerda diametral que tiene como característica que su punto medio es el centro.

$C\left(\frac{{x}_{a}+{x}_{b}}{2},\frac{{y}_{a}+{y}_{b}}{2}\right)$

Sustituimos.

$C\left(\frac{-2+4}{2},\frac{3-5}{2}\right)=C\left(1,-1\right)$

Cálculo del radio.

El radio es igual a la mitad de la distancia entre los puntos $A$  y $B$ .

$r=\frac{\left|AB\right|}{2}=\frac{\sqrt{{\left(-2-4\right)}^{2}+{\left(-5-3\right)}^{2}}}{2}=\frac{10}{2}=5$

Sustituimos ambos parámetros en la ecuación ordinaria de la circunferencia.

${\left(x-1\right)}^{2}+{\left(y+1\right)}^{2}={\left(5\right)}^{2}$

Desarrollamos.

${x}^{2}-2x+1+{y}^{2}+2y+1=25$

Ordenamos.

${x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-23=0$

Concluimos seleccionando como correcta a la ecuación del inciso C.

Reactivo 72: Dos rectas atravesadas por una transversal

Los segmentos $\underset{\_}{AB} y \underset{\_}{CD}$  mostrados en el siguiente esquema son paralelos. El valor del ángulo $x$  en grados es _________.

1. 22.5°
2. 40.5°
3. 55°
4. 35.5°
5. 45°

Solución:

El ángulo externo $3x$  tiene el mismo valor que el ángulo suplementario a $x$  ya que los segmentos de recta son paralelos entre sí. Ambos ángulos $3x$  y $x$  suman 180°.

$3x+x=180°$

De esta sencilla ecuación se despeja $x$ .

$4x=180°\to x=45°$

El valor del ángulo $x$  en grados es 45°.

Comparando con las opciones, escogemos como correcta a la E.