Guía UAM CBI Ciencias básicas e ingeniería | Matemáticas Parte 4

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¡Felicidades aspirante! Ya vamos por la cuarta parte de la guía de matemáticas resuelta para la UAM en las divisiones de CBI y CNI, en la que vamos a desarrollar del reactivo 43 al 52.

GUIA-UAM-CBI-PARTE-4-1

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Guía UAM Matemáticas Parte 4 resuelta

Continuamos resolviendo la cuarta parte de los reactivos de matemáticas para el examen de ingreso a la UAM en las divisiones de CBI y CNI.

La prueba ha cambiado de modalidad presencial a modalidad virtual. Adecúa tu espacio de trabajo con los requerimientos necesarios antes del día del examen.

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Reactivo 43: Ecuación de la parábola

Determinar la ecuación de la parábola de la siguiente figura:

  1. y2−6y+16x−41=0 {y}^{2}-6y+16x-41=0
  2. y2−6y+16x+41=0 {y}^{2}-6y+16x+41=0
  3. y2−6y+16x+40=0 {y}^{2}-6y+16x+40=0
  4. y2−6y+16x+43=0 {y}^{2}-6y+16x+43=0
  5. y2−6y+16x−40=0 {y}^{2}-6y+16x-40=0

Solución:

Antes de pasar a sustituir ciertos valores en la ecuación ordinaria, debemos identificar qué variable debe quedar elevada al cuadrado y el signo de 4p 4p . Como es una parábola que abre paralela al eje x x , será y y la variable elevada al cuadrado.

Además, ya que abre en dirección de las x x negativas 4p 4p debe ser negativo. Por tanto, la ecuación ordinaria que debemos emplear es:

−2p(x−h)=(y−k)2 -2p(x-h)={\left(y-k\right)}^{2}

Donde:

  • p p es la distancia entre el foco y la recta directriz de la parábola o, el doble de la distancia entre el vértice y el foco
  • h, k h, k son las coordenadas del vértice de la parábola

A partir de la gráfica, sabemos que las coordenadas del vértice son:

(h,k)=(−2,3) \left(h,k\right)=\left(-\mathrm{2,3}\right)

p p se puede calcular como:

p=2∣VF∣=2∣−2−(−6)∣=8 p=2\left|VF\right|=2\left|-2-\left(-6\right)\right|=8

Sustituyendo en la ecuación nos queda:

−2(8)(x+2)=(y−3)2 -2\left(8\right)(x+2)={\left(y-3\right)}^{2}

Desarrollamos.

−16(x+2)=y2−6y+9 -16(x+2)={y}^{2}-6y+9

−16x−32=y2−6y+9 -16x-32={y}^{2}-6y+9

y2−6y+16x+41=0 {y}^{2}-6y+16x+41=0

Comparando nuestro resultado con las opciones del problema, escogemos como correcta a la opción B.

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Reactivo 44: Comparación de números reales

Considere x=−12 x=-\frac{1}{2} . Al ordenar los números x, x2, x3 x, {x}^{2}, {x}^{3} de menor a mayor, se obtiene _______.

  1. x3<x2<x {x}^{3}<{x}^{2}<x
  2. x<x2<x3 x<{x}^{2}<{x}^{3}
  3. x<x3<x2 x<{x}^{3}<{x}^{2}
  4. x2<x<x3 {x}^{2}<x<{x}^{3}
  5. x3<x<x2 {x}^{3}<x<{x}^{2}

Solución:

Una forma sencilla de ordenar estos tres números, es determinar el signo y magnitud que poseerá cada uno, partiendo del hecho que x2 {x}^{2} y x3 {x}^{3} son potencias de x x .

x3 {x}^{3} es igual a −12 -\frac{1}{2} multiplicado 3 veces, es decir (−12)(−12)(−12)=−18 \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8} . Por otra parte, x2 {x}^{2} es igual a multiplicar −12 -\frac{1}{2} dos veces (−12)(−12)=14 \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4} .

De esta forma, sabemos que el menor de los tres x x ya que es negativo pero de mayor magnitud que x3 {x}^{3} situándose más a la izquierda. Luego se encuentra x3 {x}^{3} y el mayor es x2 {x}^{2} . Concluimos que:

x<x3<x2 x<{x}^{3}<{x}^{2}

Seleccionamos como respuesta correcta a la opción C.

El temario específico lo puedes consultar ingresando a la guía UAM CBI y CNI 2022.

Reactivo 45: Suma de polinomios

¿Cuál es el resultado de sumar el polinomio x3y+5x2y2−3xy3 {x}^{3}y+5{x}^{2}{y}^{2}-3x{y}^{3} con el polinomio 7xy3−3x2y2−2x3y 7x{y}^{3}-3{x}^{2}{y}^{2}-2{x}^{3}y ?

  1. 8x3y+2x2y2−5xy3 8{x}^{3}y+2{x}^{2}{y}^{2}-5x{y}^{3}
  2. 6x3y−6x2y2−xy3 6{x}^{3}y-6{x}^{2}{y}^{2}-x{y}^{3}
  3. −3x3y+8x2y2+10xy3 -3{x}^{3}y+8{x}^{2}{y}^{2}+10x{y}^{3}
  4. x3y−2x2y2−4xy3 {x}^{3}y-2{x}^{2}{y}^{2}-4x{y}^{3}
  5. −x3y+2x2y2+4xy3 -{x}^{3}y+2{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}

Solución:

Para sumar dos polinomios, debemos agrupar los términos que posean iguales literales elevados cada uno al mismo exponente y sumar o restar (según sea el caso) los coeficientes.

(x3y+5x2y2−3xy3)+(7xy3−3x2y2−2x3y) \left({x}^{3}y+5{x}^{2}{y}^{2}-3x{y}^{3}\right)+\left(7x{y}^{3}-3{x}^{2}{y}^{2}-2{x}^{3}y\right)

Deshacemos los paréntesis y agrupamos términos semejantes.

x3y+5x2y2−3xy3+7xy3−3x2y2−2x3y {x}^{3}y+5{x}^{2}{y}^{2}-3x{y}^{3}+7x{y}^{3}-3{x}^{2}{y}^{2}-2{x}^{3}y

=x3y−2x3y+5x2y2−3x2y2−3xy3+7xy3 ={x}^{3}y-2{x}^{3}y+5{x}^{2}{y}^{2}-3{x}^{2}{y}^{2}-3x{y}^{3}+7x{y}^{3}

Ahora, sumamos y restamos los coeficientes.

=−x3y+2x2y2+4xy3 =-{x}^{3}y+2{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}

Concluimos que la suma de ambos polinomios es igual a −x3y+2x2y2+4xy3 -{x}^{3}y+2{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3} . Comparando con las opciones, escogemos como correcta a la E.

Reactivo 46: División de polinomios

El resultado de 8x3−272x−3 \frac{8{x}^{3}-27}{2x-3} es _________.

  1. 4x2−6x+9 4{x}^{2}-6x+9
  2. 4x2−272x−8x33+9 4{x}^{2}-\frac{27}{2x}-\frac{8{x}^{3}}{3}+9
  3. 4x2+9 4{x}^{2}+9
  4. 4x2+6x+9 4{x}^{2}+6x+9
  5. −4x2−6x−9 -4{x}^{2}-6x-9

Solución:

Antes de aplicar el algoritmo de división larga, probemos con factorizar el polinomio del numerador para intentar simplificar alguno de los factores con el binomio del denominador.

8x3−272x−3 \frac{8{x}^{3}-27}{2x-3}

Al 8 lo podemos expresar como 2 elevado al cubo y al 27 como 3 al cubo.

8x3−272x−3=(2x)3−332x−3 \frac{8{x}^{3}-27}{2x-3}=\frac{{\left(2x\right)}^{3}-{3}^{3}}{2x-3}

Podemos aplicar la factorización para una diferencia de cubos:

(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3 (a-b)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)={a}^{3}-{b}^{3}

Con a=2x a=2x y b=3 b=3 , el numerador queda expresado como:

(2x)3−332x−3=(2x−3)(4x2+6x+9)2x−3 \frac{{\left(2x\right)}^{3}-{3}^{3}}{2x-3}=\frac{\left(2x-3\right)\left(4{x}^{2}+6x+9\right)}{2x-3}

Simplificamos 2x−3 2x-3 de la fracción.

(2x−3)(4x2+6x+9)2x−3=4x2+6x+9 \frac{\left(2x-3\right)\left(4{x}^{2}+6x+9\right)}{2x-3}=4{x}^{2}+6x+9

Concluimos afirmando que:

El resultado de 8x3−272x−3 \frac{8{x}^{3}-27}{2x-3} es 4x2+6x+9 4{x}^{2}+6x+9 .

Comparando con las opciones, escogemos como respuesta correcta a la D.

Reactivo 47: División de polinomios

Al dividir el polinomio x3+6x2−6x−45 {x}^{3}+6{x}^{2}-6x-45 entre el polinomio x+3 x+3 , el resultado es __________.

  1. x2+3x−15 {x}^{2}+3x-15
  2. x2−6x+75 {x}^{2}-6x+75
  3. x2+12x−45 {x}^{2}+12x-45
  4. x2+9x+45 {x}^{2}+9x+45
  5. x2−2x+15 {x}^{2}-2x+15

Solución:

En este caso, debemos aplicar el algoritmo de división sintética para encontrar el resultado.

Debemos ir colocan en el cociente términos que multiplicados por x x , den como resultado al primer elemento del dividendo. Vamos por x3 {x}^{3} , debemos colocar x2 {x}^{2} .

Para el siguiente término, sumamos 3x 3x al cociente.

Restamos al cociente 15.

Finalmente:

Al dividir el polinomio x3+6x2−6x−45 {x}^{3}+6{x}^{2}-6x-45 entre el polinomio x+3 x+3 , el resultado es x2+3x−15 {x}^{2}+3x-15 .

Comparando con los incisos, escogemos como respuesta correcta a la A.

Reactivo 48: Radicales

Al calcular (a+b)2−a2 \sqrt{(a+b{)}^{2}-{a}^{2}} , se obtiene ___________.

  1. b(2a+b) b\left(2a+b\right)
  2. b2−a2 \sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}
  3. b b
  4. 2ab+b \sqrt{2ab}+b
  5. 2ab+b2 \sqrt{2ab+{b}^{2}}

Solución:

Comenzamos por desarrollar el producto notable en la expresión radicando.

(a+b)2−a2=a2+2ab+b2−a2 \sqrt{(a+b{)}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}-{a}^{2}}

Restamos términos semejantes.

a2+2ab+b2−a2=2ab+b2 \sqrt{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{2ab+{b}^{2}}

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la E.

Reactivo 49: Producto de binomios

El producto (x−5)(x−3)(x+5)(x+3) (x-5)(x-3)(x+5)(x+3) es igual a _____________.

  1. x4−16x2+225 {x}^{4}-16{x}^{2}+225
  2. x4−5x3−24x2+75x+225 {x}^{4}-5{x}^{3}-24{x}^{2}+75x+225
  3. x4−10x3+16x2+90x−225 {x}^{4}-10{x}^{3}+16{x}^{2}+90x-225
  4. x4−6x3−16x2+150x−225 {x}^{4}-6{x}^{3}-16{x}^{2}+150x-225
  5. x4−34x2+225 {x}^{4}-34{x}^{2}+225

Solución:

Podríamos realizar el producto uno a uno de los binomios, pero esto sería un procedimiento largo y tedioso. Por suerte, tenemos factores que son conjugados entre sí; x−5 x-5 es el conjugado de x+5 x+5 y x−3 x-3 el de x+3 x+3 . Los agrupamos y aplicamos diferencia de cuadrados.

a2−b2=(a−b)(a+b) {a}^{2}-{b}^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)

(x−5)(x−3)(x+5)(x+3)=(x−5)(x+5)(x−3)(x+3) \left(x-5\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+3\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)

Diferencia de cuadrados.

(x−5)(x+5)(x−3)(x+3)=(x2−25)(x2−9) \left(x-5\right)\left(x+5\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)=\left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}-9\right)

Ahora, de 4 binomios el producto se ha reducido a 2.

(x2−25)(x2−9)=x2(x2−9)−25(x2−9) \left({x}^{2}-25\right)\left({x}^{2}-9\right)={x}^{2}\left({x}^{2}-9\right)-25\left({x}^{2}-9\right)

=x4−9x2−25x2+225 ={x}^{4}-9{x}^{2}-25{x}^{2}+225

=x4−34x2+225 ={x}^{4}-34{x}^{2}+225

Finalmente:

El producto (x−5)(x−3)(x+5)(x+3) (x-5)(x-3)(x+5)(x+3) es igual a x4−34x2+225 {x}^{4}-34{x}^{2}+225 .

La respuesta correcta es la opción E.

Reactivo 50: Factorización

Al factorizar 36a2−4b2 36{a}^{2}-4{b}^{2} , se obtiene _________.

  1. (6a+2b)2 (6a+2b{)}^{2}
  2. (6a−2b)2 (6a-2b{)}^{2}
  3. (36a+4b)(a−b) \left(36a+4b\right)\left(a-b\right)
  4. (36a−4b)(a+b) \left(36a-4b\right)\left(a+b\right)
  5. (6a−2b)(6a+2b) \left(6a-2b\right)\left(6a+2b\right)

Solución:

A simple vista, es claro que debemos aplicar diferencia de cuadrados pero antes, debemos expresar a los coeficientes como el cuadrado de un número. El 4 se puede escribir como 22 {2}^{2} y el 36 como 62 {6}^{2} por tanto:

36a2−4b2=(6a)2−(2b)2 36{a}^{2}-4{b}^{2}={\left(6a\right)}^{2}-{\left(2b\right)}^{2}

Diferencia de cuadrados:

(6a)2−(2b)2=(6a−2b)(6a+2b) {\left(6a\right)}^{2}-{\left(2b\right)}^{2}=\left(6a-2b\right)\left(6a+2b\right)

Concluimos que:

Al factorizar 36a2−4b2 36{a}^{2}-4{b}^{2} , se obtiene (6a−2b)(6a+2b) \left(6a-2b\right)\left(6a+2b\right) .

La respuesta correcta es la opción E.

Reactivo 51: Fracciones algebraicas

La fracción algebraica x2−5x+6x2+2x−15 \frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}+2x-15} es igual a ________.

  1. (x−3)(x−2)(x−3)(x+5) \frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}
  2. (x+3)(x−2)(x−3)(x+5) \frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}
  3. (x−3)(x+2)(x+3)(x−5) \frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-5\right)}
  4. (x−3)(x+2)(x−3)(x−5) \frac{\left(x-3\right)\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x-5\right)}
  5. (x+3)(x−2)(x+3)(x−5) \frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-5\right)}

Solución:

Debemos encontrar la forma factorizada de los polinomios del numerador y el denominador en la fracción. Existen varios métodos para encontrar la forma factorizada, en este caso usaremos factorización de la forma x2+bx+c=(x+z)(x+w) {x}^{2}+bx+c=\left(x+z\right)\left(x+w\right) donde:

z+w=b z+w=b

z∙w=c z\bullet w=c

Comenzamos por el polinomio del numerador:

x2−5x+6 {x}^{2}-5x+6

Dos números que multiplicados den 6 son -2 y -3, para que además sumados sean iguales a -5.

(−2)(−3)=6 \left(-2\right)\left(-3\right)=6

−2−3=−5 -2-3=-5

x2−5x+6=(x−2)(x−3) {x}^{2}-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)

Hacemos lo mismo con el denominador:

x2+2x−15 {x}^{2}+2x-15

Los números respectivos son -3 y 5.

(−3)(5)=−15 \left(-3\right)\left(5\right)=-15

−3+5=2 -3+5=2

x2+2x−15=(x−3)(x+5) {x}^{2}+2x-15=\left(x-3\right)\left(x+5\right)

Sustituyendo en la fracción queda:

x2−5x+6x2+2x−15=(x−2)(x−3)(x−3)(x+5) \frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}+2x-15}=\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)}

La fracción algebraica x2−5x+6x2+2x−15 \frac{{x}^{2}-5x+6}{{x}^{2}+2x-15} es igual a (x−2)(x−3)(x−3)(x+5) \frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+5\right)} .

Comparando con las opciones, seleccionamos como correcta a la A.

Reactivo 52: Diferencia de cuadrados

La expresión x8−y16 {x}^{8}-{y}^{16} puede escribirse como __________.

  1. (x8+y8)(1−y8) \left({x}^{8}+{y}^{8}\right)\left(1-{y}^{8}\right)
  2. (x8−y8)(1−y8) \left({x}^{8}-{y}^{8}\right)\left(1-{y}^{8}\right)
  3. (x4−y16)(x4+1) \left({x}^{4}-{y}^{16}\right)\left({x}^{4}+1\right)
  4. (x4+y16)(x4−1) \left({x}^{4}+{y}^{16}\right)\left({x}^{4}-1\right)
  5. (x4+y8)(x4−y8) \left({x}^{4}+{y}^{8}\right)\left({x}^{4}-{y}^{8}\right)

Solución:

Primero, expresamos a cada término como una potencia elevada al cuadrado, es decir como potencia de una potencia:

x8−y16=(x4)2−(y8)2 {x}^{8}-{y}^{16}={\left({x}^{4}\right)}^{2}-{\left({y}^{8}\right)}^{2}

Ahora, aplicamos la diferencia de cuadrados.

(x4)2−(y8)2=(x4−y8)(x4+y8) {\left({x}^{4}\right)}^{2}-{\left({y}^{8}\right)}^{2}=\left({x}^{4}-{y}^{8}\right)\left({x}^{4}+{y}^{8}\right)

Por propiedad conmutativa de la multiplicación:

(x4−y8)(x4+y8)=(x4+y8)(x4−y8) \left({x}^{4}-{y}^{8}\right)\left({x}^{4}+{y}^{8}\right)=\left({x}^{4}+{y}^{8}\right)\left({x}^{4}-{y}^{8}\right)

Finalmente:

La expresión x8−y16 {x}^{8}-{y}^{16} puede escribirse como (x4+y8)(x4−y8) \left({x}^{4}+{y}^{8}\right)\left({x}^{4}-{y}^{8}\right) .

Escogemos como respuesta correcta a la opción E.

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