Guía UAM CBI Ciencias básicas e ingeniería | Matemáticas Parte 3

¡Seguimos con la tercera parte! En este post vamos a resolver los reactivos del 33 al 42 de la tercera parte en la guía de matemáticas UAM para las divisiones de Ciencias Básicas e Ingeniería y Ciencias Naturales e Ingeniería.

Parte II Parte IV

Si aún no resuelves los reactivos por tu cuenta, hazlo y luego regresa. Utiliza este material como consulta o para salir de dudas.

Guía UAM Matemáticas Parte 3 resuelta

Vamos con la solución paso a paso de la tercera parte de los reactivos de matemáticas para las divisiones de CBI y CNI.

Los reactivos se han dividido en secciones de 10 para que tomes un descanso entre grupos. Esto último es importante para que puedas sentar los conocimientos adquiridos.

Reactivo 33: Porcentajes y proporciones

Si el 55% de los habitantes de la ciudad tiene automóvil y las 2/5 partes de ellos no lo utilizan el fin de semana ¿Qué porcentaje de los habitantes no utiliza auto el fin de semana?

1. 45%
2. 88%
3. 22%
4. 33%
5. 67%

Solución:

Ya que dos quintas partes (2/5) de los habitantes que tienen automóvil no lo utilizan el fin de semana, podemos calcular el porcentaje de habitantes con auto que no lo utilizan el fin de semana multiplicando 2/5 por 55%.

$P=55\%\bullet \frac{2}{5}=22\%$

El 22% de los habitantes tienen automóvil y no lo utilizan el fin de semana.

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la C.

Reactivo 34: Integral indefinida

Calcula la integral:

$\int \left(5{x}^{4}-3{x}^{-4}+1\right)dx$

1. ${x}^{5}+{x}^{-3}+x+C$
2. $20{x}^{3}+12{x}^{-5}+C$
3. $5{x}^{5}-3{x}^{-3}+x+C$
4. $20{x}^{3}-12{x}^{-5}+C$
5. ${x}^{4}+\frac{3}{5}{x}^{-5}+x+C$

Solución:

Para calcular la primitiva de la función integrando, debemos decidir con qué método de integración comenzar en base a las características de la misma.

En este caso, se trata de una función cuyos términos son: un monomio de cuarto grado, una función fracción y un término independiente, por tanto no será necesario recurrir a un método específico. Separaremos la integral en 3 y luego aplicamos las fórmulas de integración directa.

Propiedad de la integral de la suma.

$\int \left(5{x}^{4}-3{x}^{-4}+1\right)dx=\int 5{x}^{4}dx-\int 3{x}^{-4}dx+\int dx$

Aplicamos la fórmula de integral de una potencia e integral del diferencial.

$\int 5{x}^{4}dx-\int 3{x}^{-4}dx+\int dx=\frac{5{x}^{4+1}}{4+1}-\frac{3{x}^{-4+1}}{-4+1}+x+C$

$=\frac{5}{5}{x}^{5}+\frac{3}{3}{x}^{-3}+x+C$

$={x}^{5}+{x}^{-3}+x+C$

Concluimos que:

$\int \left(5{x}^{4}-3{x}^{-4}+1\right)dx={x}^{5}+{x}^{-3}+x+C$

Comparando con las opciones, seleccionamos a la A como la respuesta correcta.

Reactivo 35: Porcentajes y proporciones

¿Qué tanto por ciento de $80\frac{1}{3}$   es $20\frac{1}{12}$ ?

1. 10%
2. 25%
3. 15%
4. 20%
5. 30%

Solución:

Para calcular el porcentaje, debemos hacer el cociente de $20\frac{1}{12}$  sobre $80\frac{1}{3}$  y luego multiplicarlo por 100%, es decir aplicar la definición de porcentaje:

$\%=\frac{{N}_{\%}}{N}*100\%$

Pero antes, debemos decidir si vamos utilizar las fracciones mixtas o en su forma pura. En este caso, lo haremos en fracciones puras y por ende, debemos transformarlas.

$20\frac{1}{12}=20+\frac{1}{12}=\frac{20\bullet 12+1}{21}=\frac{241}{12}$

$80\frac{1}{3}=80+\frac{1}{3}=\frac{80\bullet 3+1}{3}=\frac{241}{3}$

Ahora, procedemos a sustituir la fórmula de porcentaje. $\frac{241}{12}$  va en el numerador y $\frac{241}{3}$  en el denominador.

$\%=\frac{\frac{241}{12}}{\frac{241}{3}}*100=25\%$

Concluimos que: $20\frac{1}{12}=\frac{241}{12}$  representa el 25% de $80\frac{1}{3}=\frac{241}{3}$ .

Comparando con las opciones, escogemos como respuesta correcta a la B.

Reactivo 36: Porcentajes

Un banco ofrece el 5% de interés semestral ¿Cuánto esperas tener en este banco en un año, si depositaste $1 000.00 y no retiraste los intereses?

1. $1 050.00
2. $1 102.50
3. $1 100.00
4. $1 210.50
5. $1. 100.50

Solución:

El 5% de intereses semestral implica que cada seis meses, el saldo en la cuenta bancaria aumenta un 5%, si la proyección se realiza para un año en los primeros 6 meses se obtiene un 5% del saldo, es decir:

$\$1000.00*105\%=\$1050.00$

Al finalizar el segundo semestre del año, se obtiene el otro 5% en intereses. Debemos calcular el 105% del saldo acumulado que, como no hubo ningún retiro y suponemos tampoco otro ingreso externo se mantiene en $1 050.00.

$\$1050.00*105\%=\$1102.5$

Comparando con las opciones, escogemos a B como la respuesta correcta.

Reactivo 37: Valor numérico de una expresión

Calcula el valor numérico de la expresión $\frac{3{m}^{2}}{\sqrt{2n}}$ , cuando $m=-3$  y $n=2$ .

1. $\frac{27}{2}$
2. $\frac{9}{4}$
3. $-\frac{27}{2}$
4. $\frac{9}{2}$
5. $\frac{12}{2}$

Solución:

Primero, sustituimos el valor numérico de $m$  y $n$  en la expresión dada.

$\frac{3{\left(-3\right)}^{2}}{\sqrt{2\left(2\right)}}$

Calculamos el cuadrado de -3 y resolvemos el producto dentro de la raíz.

$\frac{3{\left(-3\right)}^{2}}{\sqrt{2\left(2\right)}}=\frac{3\bullet 9}{\sqrt{4}}$

Por último, simplificamos el producto en el numerador y resolvemos la raíz del denominador.

$\frac{3\bullet 9}{\sqrt{4}}=\frac{27}{2}$

Comparando nuestro resultado con los incisos, seleccionamos como correcto al A.

Reactivo 38: Desigualdades

Si $x$  es un entero negativo ¿Cómo se ordenan $j, k, l$  de menor a mayor?

$j=1-x k=x-1 l=(1-x)+(x-1)$

1. $k<j<l$
2. $k<l<j$
3. $l<j<k$
4. $j<k<l$
5. $l<k<j$

Solución:

Analizaremos cada expresión para determinar el signo y luego comparar a las variables entre sí.

$j=1-x$

Ya que $x$  es negativo, si se multiplica por -1 el resultado será un número positivo que se suma con el 1, por tanto: $j>0$ .

$k=x-1$

Como $x$  es negativo, si se le resta 1 el resultado será un número más negativo, por tanto $k<0$ .

$l=(1-x)+(x-1)$

Extraemos factor común menos del segundo término.

$l=\left(1-x\right)-(1-x)$

El resultado de restar dos números iguales es cero, por tanto:

$l=0$

Podemos concluir que: $k$  es un número negativo, $j$  es positivo y $l$  es igual a cero. Ordenados de forma creciente quedarían: $k\to l\to j$ . Expresado como una desigualdad:

$k<l<j$

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la opción B.

Reactivo 39: Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (mcm) de los números 30, 20 y 50 es ________.

1. 10
2. 50
3. 20
4. 300
5. 30 000

Solución:

Para calcular el mcm de un conjunto de números, debemos descomponerlos en factores y realizar el producto de aquellos factores de potencia mayor.

Descomponiendo en factores al 30:

$30=2\bullet 5\bullet 3$

Descomponiendo en factores al 20:

$20={2}^{2}\bullet 5$

Descomponemos en factores al 50:

$50=2\bullet {5}^{2}$

En este caso, los factores de mayor potencia son: ${2}^{2}, {5}^{2}$  y 3, por tanto el mcm es:

$mcm\left(30, 20, 50\right)={2}^{2}\bullet {5}^{2}\bullet 3=300$

Finalizamos seleccionando como respuesta correcta al inciso D.

Reactivo 40: Orden de las operaciones

Al eliminar los paréntesis en la expresión $-\left[\right(a+b)-(2a-b\left)\right]-(2a-b)$  el resultado es ________.

1. $-a+b$
2. $a-2b$
3. $-a-b$
4. $a-b$
5. $-a+2b$

Solución:

Para deshacer los corchetes y paréntesis en la expresión, debemos aplicar distributiva del signo que se encuentra a la izquierda del término. En el primero, deshacemos los corchetes multiplicando el menos por los elementos internos.

$-\left[\left(a+b\right)-\left(2a-b\right)\right]-\left(2a-b\right)=-\left(a+b\right)+\left(2a-b\right)-\left(2a-b\right)$

Podríamos directamente hacer lo mismo con los paréntesis pero, el segundo y tercer término son iguales pero con signos diferentes, por tanto su resta es igual a cero.

$-\left(a+b\right)+\left(2a-b\right)-\left(2a-b\right)=-\left(a+b\right)$

Luego de esta simplificación, podemos deshacer los paréntesis aplicando propiedad distributiva con el signo menos.

$-\left(a+b\right)=-a-b$

Comparando nuestro resultado con las opciones, escogemos como respuesta correcta a la C.

Reactivo 41: Gráfica de una parábola

La gráfica de la parábola definida por la ecuación $y={x}^{2}-3x-18$  está representada en la opción ______.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Solución:

Para determinar la gráfica que representa a la parábola $y={x}^{2}-3x-18$  debemos identificar dos cosas: hacia donde abre y cuáles son sus puntos de corte. El sentido nos lo da el signo del término cuadrático, en este caso es positivo y por ende, abre paralela al eje $y$  y hacia arriba.

Esto reduce la respuesta a las opciones D y E. Los puntos de corte con el eje $x$  se calculan igualando a cero la ecuación de la parábola.

${x}^{2}-3x-18=0$

Resolvemos aplicando la fórmula de segundo grado.

$x=\frac{-b\pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$

Con:

$a=1, b=-3, c=-18$

Sustituimos y resolvemos.

$x=\frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^{2}-4\left(1\right)\left(-18\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{3\pm \sqrt{81}}{2}$

${x}_{1}=\frac{3+9}{2}=6$

${x}_{2}=\frac{3-9}{2}=-3$

Concluimos que: la parábola debe abrir hacia arriba y cortar en $x=-3$  y $x=6$ .

Comparando con las gráficas de los incisos, nuestro resultado concuerda con el del inciso D.

Reactivo 42: Operaciones con potencias

El valor que se obtiene de ${\left[{\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{-3}$  es __________.

1. $\frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{8}$
3. 4
4. 8
5. 2

Solución:

Para encontrar el valor de la expresión, debemos aplicar primero la propiedad de potencia de una potencia, luego la del exponente negativo y por último evaluar el exponente.

Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.

${\left[{\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{-3}={\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}*-3}={\left(\frac{2}{8}\right)}^{-\frac{3}{2}}$

Exponente negativo: se cambia de signo el exponente y se invierte de lugar al numerador y denominador de la base.

${\left(\frac{2}{8}\right)}^{-\frac{3}{2}}={\left(\frac{8}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}$

Antes de continuar, podemos simplificar la fracción.

${\left(\frac{8}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}={\left(4\right)}^{3/2}$

Por último, escribimos al exponente racional como raíz y potencia.

${\left(4\right)}^{3/2}=\sqrt{{4}^{3}}$

Resolvemos la potencia y luego la raíz.

$\sqrt{{4}^{3}}=\sqrt{64}=8$

Concluimos que:

El valor que se obtiene de ${\left[{\left(\frac{2}{8}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{-3}$  es 8.

Comparando con las opciones, seleccionamos como respuesta correcta a la D.