Guía IPN Geometría Analítica del 31 al 40 resueltos

Si has llegado hasta acá en búsqueda de prepararte para afrontar las preguntas de matemáticas del examen de admisión del IPN, ¡Genial! sabemos que estás dando lo mejor de ti y por eso te ayudaremos a continuar preparándote. Así que quedas invitado a seguir estudiando junto a nosotros y repasar más ejercicios de Geometría Analítica.

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En esta cuarta parte de nuestra guía, resolveremos 10 de los 50 ejercicios que componen la guía de matemáticas del IPN, específicamente, en el área de Geometría Analítica.

Dicho esto, ten en cuenta que, como ya te has dado cuenta, segmentamos nuestra guía en cinco partes. Así que en este post, te encontrarás con los ejercicios resueltos que van del número 31 al 40 en Geometría Analítica. Asimismo, reiterar la importancia que tiene prepararse en todas las áreas que se evalúan en este examen, no te enfoques únicamente en matemáticas, ¡Prepárate para todo!

¿Qué viene en el examen del IPN?

En el Instituto Politécnico Nacional te encontrarás con un examen de admisión compuesto de 130 preguntas, las cuales tendrás que resolver en 160 minutos. Además, ten en cuenta que dicha prueba se separa en dos etapas. La primera comprende preguntas de comunicación y matemáticas, mientras que la segunda, aborda Física, Química y Biología.

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Para que conozcas mejor este examen y sepas la importancia que tiene prepararse en cada una de estas áreas, aquí te dejamos un listado detallado:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Ahora sí llega el momento que esperabas, quedas invitado a ver cómo resolvemos la cuarta parte de nuestra guía de ejercicios de Geometría Analítica del IPN:

Reactivo 31: La elipse

Calcular la excentricidad (e) de la elipse con ecuación: 4 x^{2}+y^{2}+8 x+2 y-36=0

  1. \frac{\sqrt{121}}{2 \sqrt{41}}
  2. \frac{\sqrt{123}}{2 \sqrt{41}}
  3. \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{41}}
  4. \frac{2 \sqrt{205}}{\sqrt{41}}

Solución:

Para resolver el problema, debemos llevar a la ecuación de la elipse a su primera forma ordinaria y con ella determinar a los parámetros a \text { y } b  relacionados con el eje mayor y eje menor de la elipse, respectivamente.

4 x^{2}+y^{2}+8 x+2 y-36=0

Primero completamos cuadrado para y  y luego para x .

4 x^{2}+8 x+y^{2}+2 y=36

Sumamos 1 a ambos lados.

4 x^{2}+8 x+y^{2}+2 y+1=37

Completamos cuadrado con y .

4 x^{2}+8 x+(y+1)^{2}=37

Dividimos la expresión por 4.

x^{2}+2 x+\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{37}{4}

Sumamos 1 a ambos lados.

x^{2}+2 x+1+\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{37}{4}+1

(x+1)^{2}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=\frac{41}{4}

Dividimos por \frac{41}{4} .

\frac{(x+1)^{2}}{41 / 4}+\frac{(y+1)^{2}}{41}=1

El coeficiente mayor es  por lo que esta elipse tiene el lado mayor paralelo al eje y .

a=\sqrt{41}

b=\frac{\sqrt{41}}{2}

La excentricidad se calcula con la siguiente ecuación:

e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{41-\frac{41}{4}}}{\sqrt{41}}=\frac{\sqrt{\frac{123}{4}}}{\sqrt{41}}=\frac{\sqrt{123}}{2 \sqrt{41}} \approx 0.86602

El resultado es válido, ya que la excentricidad de una elipse está comprendida entre 0 y 1.

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

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Reactivo 32: Ecuación de la elipse

Identificar la ecuación canónica de la elipse que se muestra en la siguiente figura.

  1. \frac{x^{2}}{4}-\frac{(y-1)^{2}}{25}=1
  2. \frac{(x-1)^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1
  3. \frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1
  4. \frac{x^{2}}{4}+\frac{(y-1)^{2}}{25}=1

Solución:

En este caso se pide calcular la ecuación ordinaria de la elipse. Para ello, debemos identificar tres parámetros: el centro, la media longitud del eje mayor y la media longitud del eje menor.

\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1

El eje mayor 2 a  está en las x  porque es una elipse de eje mayor paralelo a x . Las coordenadas del centro se obtienen por simple inspección de la imagen:

C(1,0)

La media longitud del eje mayor la encontramos con la semiresta de los extremos mayores de la elipse:

a=\frac{6-(-4)}{2}=5

La media longitud del eje menor se calcula con la semiresta de los extremos menores de la elipse:

b=\frac{2-(-2)}{2}=2

Sustituimos en la ecuación y simplificamos:

\frac{(x-1)^{2}}{(5)^{2}}+\frac{y^{2}}{(2)^{2}}=1

\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 33: Ecuaciones de las cónicas

Relacionar la cónica con su ecuación correspondiente:

  1. 1C, 2D, 3B, 4A
  2. 1C, 2B, 3D, 4A
  3. 1A, 2B, 3D, 4C
  4. 1A, 2D, 3B, 4C

Solución:

Analizaremos cada una de las expresiones en la columna derecha para relacionarla con la cónica correcta.

Expresión A.

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Por el signo menos, sabemos que es la ecuación de una hipérbola en su forma ordinaria, por tanto:

4A.

Expresión B.

y^{2}=4 p x

Es claro que es una parábola con vértice en el origen, paralela al eje x  y que abre hacia la derecha. Concluimos que:

2B.

Expresión C.

\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1

Por el signo positivo, sabemos que se trata de una elipse con centro en el origen. Concluimos que:

1C.

Expresión D.

x^{2}+y^{2}=R^{2}

Esta última expresión queda claro que pertenece a la de una circunferencia con centro en el origen, por tanto:

3D.

Combinando las opciones tenemos:

1C, 2B, 3D, 4A.

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 34: Excentricidad

Calcular la excentricidad de la elipse cuya ecuación es: \frac{x^{2}}{85}+\frac{y^{2}}{45}=1

  1. \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{85}}
  2. \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{85}}
  3. \frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{85}}
  4. \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{85}}

Solución:

Para calcular la excentricidad de una elipse, solo necesitamos conocer los parámetros a \text{ y } b  asociados con el lado mayor y menor respectivamente.

e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}

Como la expresión está en su forma ordinaria, podemos extraer ambos parámetros de forma directa.

En nuestro caso:

\begin{array}{l} a^{2}=85 \\ b^{2}=45 \end{array}

Aplicando raíz cuadrada en ambas expresiones nos queda:

\begin{array}{c} a=\sqrt{85} \\ b=5 \end{array}

Sustituimos en la ecuación para el cálculo de la excentricidad:

e=\frac{\sqrt{85-45}}{\sqrt{85}}=\frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{85}}

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 35: Centro, lado recto y distancia focal

Calcular los valores del centro, lado recto y distancia entre focos de la elipse siguiente escrita en su forma general: 4 x^{2}+16 x+y^{2}-6 y+9=0

  1. C(2,-3), 2,2 \sqrt{12}
  2. C(2,-3), 2 \sqrt{12}, 2
  3. C(-2,3), 2 \sqrt{12}, 2
  4. C(-2,3), 2,2 \sqrt{12}

Solución:

Primero, debemos transformar la ecuación a su forma ordinaria.

4 x^{2}+16 x+y^{2}-6 y+9=0

Comenzamos completando cuadrados para y .

4 x^{2}+16 x+y^{2}-6 y+9=0 \rightarrow 4 x^{2}+16 x+(y-3)^{2}=0

Dividimos todo por 4 y luego completamos cuadrados para x .

x^{2}+4 x+\frac{(y-3)^{2}}{4}=0

Sumamos en ambos miembros 4.

x^{2}+4 x+4+\frac{(y-3)^{2}}{4}=4

(x+2)^{2}+\frac{(y-3)^{2}}{4}=4

Dividimos nuevamente por 4.

\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1

De esta forma obtenemos que:

\begin{array}{l} a^{2}=16 \rightarrow a=4 \\ b^{2}=4 \rightarrow b=2 \end{array}

Además, el centro de la elipse es:

C(-2,3)

El lado recto se calcula como:

L R=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2(2)^{2}}{4}=2

La distancia focal es:

D F=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}=2 \sqrt{12}

Finalmente:

C(-2,3), 2,2 \sqrt{12}

Comprando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 36: Excentricidad

Relacionar la cónica con su excentricidad:

  1. 1A, 2D, 3B, 4C
  2. 1D, 2A, 3B, 4C
  3. 1D, 2A, 3C, 4B
  4. 1A, 2D, 3C, 4B

Solución:

La respuesta para este problema es netamente teórica y nos basaremos en la ecuación de la excentricidad:

e=\frac{c}{a}

Donde C  varía según el tipo de cónica que estemos analizando. Estudiaremos cada caso de la columna izquierda y lo asociaremos con el inciso correcto de la columna derecha.

Hipérbola 1.

La longitud C  en una hipérbola es:

c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Sustituyendo en la ecuación de la excentricidad:

e=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}

Para una hipérbola, la excentricidad e  es siempre mayor que uno ya que \sqrt{a^{2}+b^{2}}>a , por tanto:

1D.

Parábola 2.

A partir de los temas afines a las cónicas, sabemos que las parábolas poseen como excentricidad la unidad, es decir 1 por tanto:

2A.

Elipse 3.

La longitud c  en una parábola es:

c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}

Sustituyendo en la ecuación de la excentricidad:

e=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}

Para una parábola, la excentricidad e  es siempre menor que uno ya que \sqrt{a^{2}-b^{2}}<a , por tanto:

3C.

Circunferencia 4.

Ya que las distancias en la circunferencia son siempre iguales, su excentricidad es cero.

e=0

4B.

Unimos todas las soluciones:

1D, 2A, 3C, 4B

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

Reactivo 37: La hipérbola

Identificar en la gráfica de la hipérbola el lado recto.

  1. \alpha
  2. \beta
  3. \delta
  4. \theta

Solución:

De los temas referentes a cónicas sabemos que el lado recto de una hipérbola, es aquel perpendicular a su eje focal y que además, pasa por alguno de los focos. En la imagen, la única recta que cumple con esta definición es \theta .

Concluimos que la respuesta correcta es la d).

Reactivo 38: La hipérbola

Calcular las coordenadas del centro, vértices y focos de la siguiente hipérbola en su fórmula general: x^{2}-4 y^{2}=4

  1. C(0,0), V(\pm 2.23,0), F(\pm 2,0)
  2. C(0,0), V(\pm 2,0), F(\pm 2.23,0)
  3. C(2,2), V(\pm 2.23,0), F(\pm 2,0)
  4. C(2,2), V(\pm 2,0), F(\pm 2.23,0)

Solución:

Primero, debemos expresar a la hipérbola de su forma general a la ordinaria.

x^{2}-4 y^{2}=4

Dividimos entre 4.

\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1

Como y  es la variable negativa, la hipérbola tiene como eje principal al de las abscisas. El centro de la hipérbola es el origen, es decir:

C(0,0)

Los parámetros a \text { y } b  son:

\begin{array}{c} a^{2}=4 \rightarrow a=2 \\ b=1 \end{array}

Las coordenadas de los vértices son:

V(\pm a, 0)

Sustituyendo.

V(\pm 2,0)

Las coordenadas de los focos son:

F(\pm c, 0)

c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}

c=\sqrt{(2)^{2}+1}=\sqrt{5}

Sustituimos:

F(\pm \sqrt{5}, 0)=F(\pm 2.23,0)

Finalmente:

C(0,0), V(\pm 2,0), F(\pm 2.23,0)

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la b).

Reactivo 39: Ecuación de la hipérbola

Identificar la ecuación canónica de la hipérbola que se muestra en la siguiente figura.

  1. \frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{4}=1
  2. \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y+2)^{2}}{4}=1
  3. \frac{(x-3)^{2}}{9}-(y+2)^{2}=1
  4. \frac{(y-3)^{2}}{9}-(x+2)^{2}=1

Solución:

La hipérbola que se muestra en la imagen tiene su lado principal paralelo al eje y , por tanto la ecuación canónica tiene la siguiente forma:

\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1

El centro de la hipérbola es:

C(-2,3)

Las coordenadas de los vértices son:

V_{1}(-2,0) \text { y } V_{2}(-2,6)

El parámetro a  se puede calcular como:

a=v_{1 y}+3=v_{2 y}-3

a=3

La ecuación va quedando como:

\frac{(y-3)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{b^{2}}=1

Para calcular a b , hacemos la semiresta de las coordenadas en x  de los puntos en las esquinas del rectángulo rojo punteado, es decir x=-1 \text { y } x=-3 .

b=\frac{-1-(-3)}{2}=1

Sustituimos en la ecuación.

\frac{(y-3)^{2}}{9}-(x+2)^{2}=1

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 40: Elementos de la hipérbola

Asociar cada elemento de la hipérbola con el nombre de acuerdo a la siguiente figura:

  1. 1D, 2C, 3A, 4B
  2. 1D, 2A, 3C, 4B
  3. 1B, 2A, 3C, 4D
  4. 1B, 2C, 3A, 4B

Solución:

Para resolver el problema, asociaremos cada uno de los términos de la columna derecha con el elemento correcto asociado con la hipérbola.

Vértice A.

Los vértices de una hipérbola son los puntos de intersección con el eje focal o eje principal. Dicho de otra forma, son los puntos más cercanos entre sí respecto de las dos secciones en la hipérbola. Inspeccionando en la imagen, estos puntos son \delta , por tanto:

3A.

Lado recto B.

Es un segmento de recta que corta a la hipérbola en dos puntos, es perpendicular al eje focal y pasa por uno de los focos. Los segmentos que concuerdan con esta descripción son \theta , por tanto:

4B.

Foco C.

Son los puntos fijos desde los que se mide la distancia al punto móvil P(x, y) . Se encuentran frente a los vértices y en la zona interna a las secciones de la hipérbola. Los puntos que concuerdan con dicha descripción son \beta , por tanto:

2C.

Asíntota D.

Son dos rectas imaginarias que se cortan en el centro de la hipérbola y que nunca la tocan. La hipérbola intenta acercarse a ellas pero nunca lo logra. Las rectas que concuerdan con dicha descripción son \alpha , por tanto:

1D.

Combinando las soluciones:

1D, 2C, 3A, 4B

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

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