Guía IPN Cálculo Integral reactivos del 1 al 10 resueltos

Sin lugar a dudas, una de las claves más importantes que debes tener en cuenta si piensas aplicar para alguna de las carreras que ofrece el Instituto Politécnico Nacional, es tener una buena preparación de cara a presentar el examen de admisión de esta universidad.

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El cálculo Integral, junto al cálculo Diferencial, son los componentes más complicados del examen, por eso, te recomendamos repasar bien tus conocimientos básicos en matemáticas antes empezar con este tópico.

En vista de esto, hemos preparado esta guía resuelta, la cual se compone de cinco partes. Aquí podrás ver cómo resolver los diferentes reactivos que componen la parte de matemáticas del examen, específicamente, el área de Cálculo Diferencial, el cual es uno de los puntos más difíciles de esta prueba.

¿Qué viene en el examen del IPN?

Si no estás familiarizado con el examen de admisión, es menester que empieces a conocer más sobre él, lo que te ayudará a tener una mejor preparación. En este sentido, te contamos que el IPN basa su prueba en dos partes. La primera, que concentra preguntas de comunicación y matemáticas, y la segunda, que contempla preguntas de Biología, Química y Física.

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En vista de ello, aquí te mostramos un listado con la distribución de preguntas que componen cada área de este examen:

  • 50 preguntas de matemáticas.
  • 40 preguntas de comunicación.
  • 10 preguntas de biología.
  • 15 preguntas de química.
  • 15 preguntas de física.

Dicho esto, damos paso a empezar con la primera parte de nuestra guía de ejercicios resueltos de cálculo integral del IPN:

Reactivo 1: Gráfica de la Antiderivada

Identificar la gráfica que corresponde a la antiderivada de:

\frac{d F(x)}{d x}=2 \cos (x+2 \pi)

Solución:

Según la definición de antiderivada, el operador de integración “deshace” al operador de diferenciación. En base a esto, procedemos a integrar en ambos miembros:

\int \frac{d F(x)}{d x} d x=\int 2 \cos (x+2 \pi) d x

F(x)=\int 2 \cos (x+2 \pi) d x

Por propiedad de la integral de una función por una constante, podemos extraer fuera al 2:

F(x)=2 \int \cos (x+2 \pi) d x

Ya que la derivada de x+2 \pi es 1, podemos aplicar integración directa:

F(x)=2 \int \cos (x+2 \pi) d(x+2 \pi)

Según las tablas de integración básicas:

  \int f(x)^{\prime} \cos [f(x)] d f(x)=\operatorname{sen}[f(x)]+C

F(x)=2 \int \cos (x+2 \pi) d(x+2 \pi)=2 \operatorname{sen}(x+2 \pi)+C

Concluimos finalmente que:

F(x)=2 \operatorname{sen}(x+2 \pi)+C

Si suponemos que C=0

F(x)=2 \operatorname{sen}(x+2 \pi)

Según identidades trigonométricas, desplazar +2 \pi radianes a cualquiera de las funciones trigonométricas, la dejaría inalterada.

F(x)=2 \operatorname{sen}(x)

La gráfica de esta función es la del seno con amplitud 2 unidades. Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

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Reactivo 2: Definición de Antiderivada

Hallar la antiderivada de la función F(t) si \frac{d F(t)}{d t}=\frac{e^{2 t}+4}{e^{2 t}} .

  1. \ln \left(e^{-2 t}+4\right)+C
  2. 4 \ln \left(e^{-2 t}+4\right)+C
  3. t-2 e^{-2 t}+C
  4. 4 t-2 e^{-2 t}+C

Solución:

Aplicando la definición de antiderivada nos queda:

\frac{d F(t)}{d t}=\frac{e^{2 t}+4}{e^{2 t}} \rightarrow F(t)=\int \frac{e^{2 t}+4}{e^{2 t}} d t

A simple vista, parece una integral complicada pero solo basta con aplicar algo de álgebra para simplificar al integrando.

F(t)=\int \frac{e^{2 t}+4}{e^{2 t}} d t=\int\left(1+\frac{4}{e^{2 t}}\right) d t

Aplicando ahora la propiedad del exponente negativo a \frac{4}{e^{2 t}} obtenemos:

=\int\left(1+\frac{4}{e^{2 t}}\right) d t=\int\left(1+4 e^{-2 t}\right) d t

Con la propiedad de la integral de la suma la integral queda como:

=\int d t+\int 4 e^{-2 t} d t

La primera integral es inmediata. Para la segunda, solo hay que multiplicar y dividir por -2, porque la derivada de -2 t es -2.

=\int d t-\frac{4}{2} \int(-2) e^{-2 t} d t=t-2 e^{-2 t}+C

F(t)=t-2 e^{-2 t}+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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Reactivo 3: Constante de integración

Se define Y(x)=\int\left[2 x^{3}-\frac{1}{2} x\right] d x . Si se sable que Y(2)=10 , encontrar la función Y(x) con su constante de integración.

  1. Y(x)=\frac{1}{2} x^{4}-\frac{1}{4} x^{2}+3
  2. Y(x)=\frac{1}{2} x^{4}-\frac{1}{4} x^{2}+10
  3. Y(x)=\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}+3
  4. Y(x)=\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}+10

Solución:

Para resolver este problema, primero resolveremos la integral planteada por el enunciado. Luego, sustituiremos x=2 en el resultado igualándolo a 10 para calcular el valor respectivo de la constante de integración.

Y(x)=\int\left[2 x^{3}-\frac{1}{2} x\right] d x

Aplicamos la propiedad de la integral de la suma.

Y(x)=2 \int x^{3} d x-\frac{1}{2} \int x d x

Se emplean las fórmulas de integral de una potencia para encontrar las primitivas.

=2 \int x^{3} d x-\frac{1}{2} \int x d x=\frac{2 x^{4}}{4}-\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{2}+c

Y(x)=\frac{1}{2} x^{4}-\frac{1}{4} x^{2}+c

Ahora, sustituimos Y(x=2)=10 .

Y(x=2)=10=\frac{1}{2}(2)^{4}-\frac{1}{4}(2)^{2}+c

10=7+C \rightarrow C=3

Finalmente:

Y(x)=\frac{1}{2} x^{4}-\frac{1}{4} x^{2}+3

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la a).

Reactivo 4: Constante de integración

Encontrar la constante de integración para la función X(t)=\int 8 \operatorname{sen}(4 t+\pi) d t, \operatorname{si} X(0)=0 .

  1. X(t)=2[\operatorname{sen}(4 t+\pi)+2]
  2. X(t)=-2 \cos (4 t+\pi)+1
  3. X(t)=2[\operatorname{sen}(4 t+\pi)+2]
  4. X(t)=-2[\cos (4 t+\pi)+1]

Solución:

Para resolver este problema, obtendremos la antiderivada de la función X(t) , para luego evaluar en el punto y calcular el valor respectivo de la constante de integración en base a la condición dada X(0)=0 .

X(t)=\int 8 \operatorname{sen}(4 t+\pi) d t

Aplicamos la propiedad de la integral de una constante por una función.

X(t)=8 \int \operatorname{sen}(4 t+\pi) d t

Para poder aplicar la fórmula de la integral del seno, en el integrando debe encontrarse el diferencial del argumento del seno. Dicho diferencial es 4 d x , solo debemos multiplicar y dividir por 4.

X(t)=\frac{8}{4} \int 4 \operatorname{sen}(4 t+\pi) d t=2 \int \operatorname{sen}(4 t+\pi) d(4 t+\pi)

Finalmente.

X(t)=-2 \cos (4 t+\pi)+C

Sustituimos t=0 e igualamos la función a 0.

X(0)=0=-2 \cos (0+\pi)+C

-2(-1)+C=0 \rightarrow C=-2

X(t)=-2 \cos (4 t+\pi)-2=-2[\cos (4 t+\pi)+1]

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 5: Familia de Curvas

Identificar la curva correcta al hallar la constante de integración de:

F(x)=\int 4 x d x, \text { donde } F(0)=2

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

Solución:

Resolvemos la integral indicada:

F(x)=\int 4 x d x=4 \int x d x

\therefore F(x)=2 x^{2}+C

Sustituimos x=0 \operatorname{con} F(0)=2 .

F(0)=2=2(0)^{2}+C

C=2

Finalmente.

F(x)=2 x^{2}+2

Comparando con las opciones en la imagen, la gráfica correcta es la que corta al eje y en 2, ya que nuestra función vale 2 cuando x=0 . La respuesta correcta es la opción b).

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Reactivo 6: Sustitución del valor de Integración

Calcular \int_{0}^{1}[2 f(x)-3 g(x)] d x \text { si } \int_{0}^{1} f(x) d x=4 \text { y } \int_{0}^{1} g(x) d x=-1 .

  1. 3
  2. 5
  3. 11
  4. 24

Solución:

Para resolver este problema, comenzaremos por aplicar la propiedad de la integral de una constante por una función y la integral de la suma, para simplificar cada integrando.

\int_{0}^{1}[2 f(x)-3 g(x)] d x=2 \int_{0}^{1} f(x) d x-3 \int_{0}^{1} g(x) d x

Los valores de \int_{0}^{1} f(x) d x y \int_{0}^{1} g(x) d x los conocemos, ya que son datos dados por el problema. 4 y -1 respectivamente. Sustituyendo nos queda:

2 \int_{0}^{1} f(x) d x-3 \int_{0}^{1} g(x) d x=2(4)-3(-1)=8+3=11

Concluimos indicando que.

\int_{0}^{1}[2 f(x)-3 g(x)] d x=11

Comparando con las opciones que ofrece el problema, escogemos como respuesta correcta a la opción c).

Reactivo 7: Fórmula de la Integral de una Potencia

Hallar la siguiente integral indefinida: \int(2+x) \sqrt{x} d x

  1. \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3}+\frac{2 x^{\frac{2}{5}}}{5}+C
  2. \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4}+\frac{5 x^{\frac{5}{2}}}{2}+C
  3. \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4}+\frac{5 x^{\frac{2}{5}}}{2}+C
  4. \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}+C

Solución:

Aunque a simple vista parezca una integral atemorizante, lo que haremos es desarrollar el producto distributivo y expresar los radicales como potencias para finalmente aplicar la integral de una potencia.

\int(2+x) \sqrt{x} d x=\int 2 \sqrt{x} d x+\int x \sqrt{x} d x

=2 \int x^{\frac{1}{2}} d x+\int x x^{\frac{1}{2}} d x=2 \int d x+\int x^{1+\frac{1}{2}} d x

=2 \int x^{\frac{1}{2}} d x+\int x^{\frac{3}{2}} d x

Aplicamos la fórmula para la integral de una potencia.

=\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+C=\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}+C

Concluimos que:

\int(2+x) \sqrt{x} d x=\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la d).

Reactivo 8: Simplificación por Producto notable

Calcular la integral indefinida:

\int(\sqrt{2}+\sqrt{x})^{2} d x

  1. 2 x-\frac{4 x \sqrt{2 x}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C
  2. 2 x+\frac{4 x \sqrt{2 x}}{3}+\frac{x}{2}+C
  3. 2 x-\frac{4 x \sqrt{2 x}}{3}+\frac{x}{2}+C
  4. 2 x+\frac{4 x \sqrt{2 x}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C

Solución:

A simple vista, resolver la integral por fórmula es imposible ya que no corresponde a ninguna de las formas comunes. Desarrollaremos el producto notable en el integrando para llegar a una expresión más simple con sumandos.

\int(\sqrt{2}+\sqrt{x})^{2} d x=\int(2+2 \sqrt{2 x}+x) d x

Separamos la integral.

=\int 2 d x+\int 2 \sqrt{2 x} d x+\int x d x

Resolvemos cada integral simple aplicando las formulas básicas correspondientes.

=2 x+\frac{4}{2} \sqrt{2} x^{\frac{3}{2}}+\frac{x^{2}}{2}+C

=2 x+\frac{4 x \sqrt{2 x}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C

Comparando con las opciones del reactivo, se escoge como respuesta correcta a la opción d).

Reactivo 9: Propiedad de la suma para integrales

Calcular la integral:

\int\left(x^{3}+4 x^{2}-\frac{3}{x}-\frac{7}{x^{2}}+1\right) d x

  1. \frac{x^{4}}{4}+\frac{4 x^{3}}{3}-3 \ln x+\frac{7}{x}+x+C
  2. \frac{x^{4}}{4}-\frac{4 x^{3}}{3}-3 \ln x+\frac{7}{x}+x+C
  3. -\frac{x^{4}}{4}+\frac{4 x^{3}}{3}-3 \ln x+\frac{7}{x}+x+C
  4. -\frac{x^{4}}{4}-\frac{4 x^{3}}{3}-3 \ln x-\frac{7}{x}-x+C

Solución:

En este caso, solo debemos aplicar la propiedad de la suma para integrales y aplicar la respectiva fórmula de integración en cada caso.

\int\left(x^{3}+4 x^{2}-\frac{3}{x}-\frac{7}{x^{2}}+1\right) d x=\int x^{3} d x+\int 4 x^{2} d x-\int \frac{3}{x} d x-\int \frac{7}{x^{2}} d x+\int d x

Se aplican las fórmulas para integrar una potencia, el inverso de  y el diferencial.

=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4 x^{3}}{3}-3 \ln (x)-\frac{7}{x}+x+C

Comparando con las opciones, la respuesta correcta es la a).

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Reactivo 10: Integrales Directas

Obtener la integral de:

\int\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

  1. 2 \sqrt[3]{x}-\frac{1}{x}+C
  2. 3 \sqrt{x}+x+C
  3. 3 \sqrt[3]{x^{2}}-\frac{1}{x}+C
  4. 9 \sqrt{x}+x+C

Solución:

De nuevo, aplicamos la propiedad de la suma para integrales, luego convertimos ambos integrando radicales en potencias para finalmente aplicar la fórmula de integral de una potencia.

\int\left(\frac{2}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x=\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x+\int \frac{1}{x^{2}} d x

Convertimos los radicales a potencias.

=2 \int x^{-\frac{1}{3}} d x+\int x^{-2} d x

Integramos ambos términos.

=\frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}-x+C=3 x^{\frac{2}{3}}-x+C

Comparando con las opciones que ofrece el problema, la respuesta correcta es la c).

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