Ejercicios de Sucesiones Numéricas para el Examen del IPN

¡Qué onda, chavos! Saludos a toda la gente que está leyendo esto. Bienvenidos a la resolución de la guía del Politécnico para ingresar al nivel superior.

Soy el profe Toxqui y hoy vamos a resolver algunos reactivos de la sección de Pensamiento Matemático del Manual de Apoyo al Aprendizaje (que es como ahora le llaman a la guía del IPN, nada más le cambiaron el nombre para que suene un poquito más amigable, ¿no?).

Vamos a ir paso por paso, analizando cada pregunta para que vean cómo resolverla y puedan aplicar estos métodos en su examen.

No se agüiten si al principio se ve complicado, les prometo que al final van a decir “¡Ah, era eso!” Así que agárrense que nos vamos.

Reactivo #1:

Hallar el vigésimo término de la sucesión: 7, 17, 31, 49, 71, …

• a) 720
• b) 799
• c) 881
• d) 867

Bueno, recordemos que una sucesión es una regla de números separados por una coma, los cuales cumplen algún tipo de patrón o movimiento matemático.

Cuando se enfrenten a esto en el examen, lo primero que tienen que pensar es qué comportamiento tiene la sucesión: ¿se están sumando, restando, multiplicando o dividiendo?

Vamos a analizar qué está pasando aquí. Es muy importante ver cómo se comporta el cambio entre un número y otro:

$17 - 7 = 10$

$31 - 17 = 14$

$49 - 31 = 18$

$71 - 49 = 22$

Fíjense bien: vamos a ver cómo le hacemos para que el 7 avance al 17.

Aquí tenemos que sumarle un 10 para que 7 + 10 me dé 17. Ahora, ¿cómo le hago para que el 17 me dé 31? Tendría que sumarle un 14, porque 17 + 14 son 31.

¿Cómo le hago para que el 31 me dé 49?

Pues tendría que sumarle un 18, porque 31 + 18 son 49. Y así me puedo ir: ¿cómo le hago para que el 49 me dé 71? Le tendría que sumar 22.

Creo que ya se dieron cuenta de que aquí las diferencias entre los elementos tienen un patrón bastante constante, ¿no? O sea, podemos ver que va 10, 14, 18, 22. Pero lo interesante es que si analizamos ahora las diferencias entre estas diferencias:

$14 - 10 = 4$

$18 - 14 = 4$

$22 - 18 = 4$

¿Cuánto le falta a 10 para llegar a 14? Cuatro.

¿Cuánto le falta a 14 para llegar a 18? Cuatro.

¿Cuánto le falta a 18 para llegar a 22? Cuatro.

Nos acabamos de dar cuenta de que este incremento que tiene esta sucesión tiene un incremento que es variable, pero ese incremento variable también genera una constante.

Cuando vean este patrón en una sucesión numérica, donde el incremento va de una forma constante, a esto se le conoce como sucesión cuadrática.

La sucesión cuadrática tiene esta fórmula:

$a_n = An^2 + Bn + C$

Donde A, B y C son números reales, y n es la posición de cada término (n = 1, 2, 3, 4…). Cuando n vale 1, el término tiene que ser 7; cuando n vale 2, el término tiene que ser 17, y así.

Nuestro objetivo es determinar el vigésimo término, es decir, cuando n equivale a 20. Pero para eso, primero tenemos que encontrar los valores de A, B y C.

Truco del profesor: Les voy a enseñar cómo pueden obtener la fórmula de cualquier sucesión cuadrática sin tener que batallar mucho. Hay tres ecuaciones que tenemos que resolver:

1. La suma de los coeficientes A, B y C tiene que dar igual al primer término de la sucesión:

$A + B + C = 7$

2. El triple del coeficiente cuadrático más el coeficiente lineal tiene que dar igual a la primera diferencia:

$3A + B = 10$

3. El doble del coeficiente cuadrático tiene que ser igual a la diferencia de las diferencias:

$2A = 4$

Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, pero no se asusten, es muy sencillo de resolver porque la última ecuación ya tiene prácticamente despejada la A.

Empecemos por la tercera ecuación: el doble de A es igual a 4. Si este 2 lo paso dividiendo, ya sé que A vale 2.

$2A = 4 \Rightarrow A = \frac{4}{2} = 2$

Ahora que ya tengo el valor de A, puedo sustituirlo en la segunda ecuación para encontrar B:

$3A + B = 10$

$3(2) + B = 10$

$6 + B = 10$

$B = 10 - 6 = 4$

Y con los valores de A y B, puedo calcular C usando la primera ecuación:

$A + B + C = 7$

$2 + 4 + C = 7$

$6 + C = 7$

$C = 7 - 6 = 1$

Ya tenemos los coeficientes de nuestra sucesión cuadrática: A = 2, B = 4 y C = 1.

Por lo tanto, la fórmula es:

$a_n = 2n^2 + 4n + 1$

Ahora vamos con lo que nos interesa: el vigésimo término. Sustituimos n = 20 en la fórmula:

$a_{20} = 2(20)^2 + 4(20) + 1$

$a_{20} = 2(400) + 80 + 1$

$a_{20} = 800 + 80 + 1$

$a_{20} = 881$

Por lo tanto, el vigésimo término es 881.

Respuesta correcta: c) 881

Reactivo #2:

En la sucesión: 7, 13, 19, 25, 31, …

¿Cuántos de sus términos tienen 3 cifras?

a) 149
b) 150
c) 151
d) 152

Esta pregunta está interesante. Primero tenemos que identificar de qué tipo de sucesión se trata. Vamos a analizar las diferencias entre términos consecutivos:

$13 - 7 = 6$

$19 - 13 = 6$

$25 - 19 = 6$

$31 - 25 = 6$

¿Qué le falta al 7 para llegar al 13? 6. ¿Qué le falta al 13 para llegar al 19? 6. ¿Qué le falta al 19 para llegar al 25? 6. ¿Qué le falta al 25 para llegar al 31? 6.

Aquí nos damos cuenta de algo muy interesante: a diferencia del reactivo anterior, aquí vemos que el comportamiento es constante totalmente.

O sea, el incremento es siempre el mismo. Esta no es una sucesión cuadrática, sino una sucesión aritmética, cuya característica principal es que la diferencia entre sus términos siempre es la misma, es constante.

La fórmula para obtener el término general de una sucesión aritmética es:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Donde $a_1$ es el primer término y $d$ es la diferencia común. En este caso, $a_1 = 7$ y $d = 6$. Por lo tanto:

$a_n = 7 + (n-1)6$

$a_n = 7 + 6n - 6$

$a_n = 6n + 1$

Cuando hablamos de números de tres cifras, nos referimos a números que van desde el 100 hasta el 999. Lo que necesitamos saber es: ¿en qué posición se encuentra el primer número de tres cifras? y ¿en qué posición se encuentra el último número de tres cifras?

Para el primer número de tres cifras, planteamos:

$6n + 1 = 100$

$6n = 99$

$n = \frac{99}{6} = 16.5$

Como n tiene que ser un valor entero positivo (un número natural), y sabemos que 16.5 nos da un decimal, tenemos que aproximarlo. Como queremos el primer número que tenga tres cifras (es decir, que sea al menos 100), redondeamos hacia arriba: n = 17.

Vamos a comprobar que el número en la posición 17 realmente tiene tres cifras:

$a_{17} = 6(17) + 1 = 102 + 1 = 103$

¡Perfecto! El número en la posición 17 es 103, que efectivamente tiene tres cifras.

Ahora, para el último número de tres cifras, planteamos:

$6n + 1 = 999$

$6n = 998$

$n = \frac{998}{6} = 166.33...$

Como necesitamos un número que no exceda las tres cifras, redondeamos hacia abajo: n = 166.

Comprobemos:

$a_{166} = 6(166) + 1 = 996 + 1 = 997$

¡Perfecto! El número en la posición 166 es 997, que tiene tres cifras. Si tomáramos n = 167, obtendríamos 6(167) + 1 = 1003, que ya tiene cuatro cifras.

Entonces, el primer término de tres cifras está en la posición 17, y el último término de tres cifras está en la posición 166. Para saber cuántos términos hay entre estos dos (incluyéndolos), hacemos:

$166 - 17 + 1 = 150$

Consejo clave: Siempre que tengan que contar elementos entre dos posiciones, recuerden sumar 1 al final. Esto porque cuando restan dos números, lo que calculan son los espacios entre ellos, no los elementos mismos. Al sumar 1, incluyen el elemento final en su conteo.

Respuesta correcta: b) 150

Reactivo #3:

Identificar el término faltante en la sucesión: 2, -4, 12, ___, 240, -1440, …

a) 48
b) 24
c) -24
d) -48

Este reactivo es un poco diferente. Aquí podemos notar patrones interesantes. Por ejemplo, vemos que el primero es positivo, el segundo negativo, el tercero es positivo, ¿el cuarto? Se me figura que es negativo porque veo que el que sigue es positivo y luego sigue negativo.

Entonces, no estoy mal de la cabeza, ¿no? Positivo, negativo, positivo, negativo, positivo, negativo… quiere decir que aquí se están alternando los signos.

Por lo tanto, podría decir que las opciones b) y a) se pueden eliminar porque deberían ser negativas.

Otra característica que me estoy dando cuenta es que el incremento lo estoy viendo demasiado grande. Es decir, los aumentos que estoy notando no son como los anteriores, donde los aumentos son como que muy así, lentos pero seguros.

Aquí veo que de repente son de dos cifras y ¡pum! baja de tres a cuatro cifras.

La única forma de que pueda suceder esto, de que el aumento sea muy gradual o muy grande, es que sea una multiplicación. Es decir, que el producto entre dos números me dé el otro.

Vamos a ver qué sucede:

$2 \times (-2) = -4$ ✓

¿Qué número multiplicado por -4 te da 12? El -3, ¿no? Porque -4 × (-3) = 12.

Si seguimos este patrón, el factor siempre es negativo y va incrementando: -2, -3, -4, -5, -6…

Entonces, ¿qué numero multiplicado por 12 nos daría el término faltante? Sería 12 × (-4) = -48.

Vamos a comprobar si este valor mantiene el patrón con los términos siguientes:

$-48 \times (-5) = 240$ ✓

$240 \times (-6) = -1440$ ✓

¡Órale! Efectivamente, el término faltante es -48.

Respuesta correcta: d) -48

Reactivo #4:

En la sucesión geométrica de números positivos: y, y + 16, 9y, …

Determinar la suma de cifras del tercer término.

a) 9
b) 10
c) 11
d) 12

¡Uy! Esta pregunta está muy larga, pero vamos a intentar resolverla. En la sucesión geométrica de números positivos (esto es muy importante para el problema) y, y + 16, 9y, tenemos que determinar la suma de cifras del tercer término.

O sea, indirectamente me está diciendo: “Dime cuánto vale y, después calcula 9y, y luego suma sus cifras”. Es lo que nos está pidiendo.

¿Qué es una sucesión geométrica? Una sucesión geométrica es aquella donde existe un factor que multiplicado por un término te da el siguiente, y ese mismo factor, multiplicado por el segundo término, te da el tercero, y así sucesivamente.

En pocas palabras, así como en la sucesión aritmética, hay un número que siempre va de manera constante, aquí también, pero se hace de manera multiplicativa.

Si no sabes lo que tienes que hacer, nada más es dividir el segundo entre el primero, es decir (y + 16) ÷ y, y a eso se le llama razón. La razón es el número que multiplicado por el primer término te da el segundo.

Si esta sucesión es geométrica, entonces debería cumplir con lo mismo: el tercer término dividido entre el segundo también tiene que ser exactamente equivalente a la razón anterior, ya que como es una sucesión geométrica, las dos tienen que ser idénticas.

Entonces, planteamos:

$\frac{y+16}{y} = \frac{9y}{y+16}$

Esto va a ser una ecuación de tipo racional porque son fracciones. Vamos a resolverla multiplicando en cruz para que quede todo lineal:

$(y+16) \times (y+16) = y \times 9y$

$(y+16)^2 = 9y^2$

Este producto probablemente ya lo conocen, es un producto notable, conocido también como binomio al cuadrado. Si no te lo sabes, pues hazlo por el método directo: aplicas propiedad distributiva.

$y^2 + 16y + 16y + 256 = 9y^2$

$y^2 + 32y + 256 = 9y^2$

Ahora, vamos a simplificar esta ecuación. Pasamos todo al lado izquierdo:

$y^2 + 32y + 256 - 9y^2 = 0$

$-8y^2 + 32y + 256 = 0$

Dividimos toda la ecuación entre -8 para que el coeficiente de y² sea -1 (o podríamos dividir entre 8 y cambiar todos los signos, lo que nos daría el coeficiente 1):

$y^2 - 4y - 32 = 0$

Ya tenemos una ecuación de segundo grado con coeficiente cuadrático 1, así que podemos resolverla por factorización. Buscamos dos números que multiplicados den -32 y sumados den -4:

$(y+4)(y-8) = 0$

Por la propiedad del producto cero, sabemos que cada uno de los factores podría ser cero:

$y+4 = 0 \Rightarrow y = -4$

$y-8 = 0 \Rightarrow y = 8$

Tenemos dos soluciones: y = -4 o y = 8. Pero ojo, si leíste bien el problema, dice que es una sucesión geométrica de puros números positivos. Si yo uso y = -4, lo más probable es que me vaya a dar números negativos aquí.

Entonces, esta solución no nos va a servir para el ejercicio, porque lo que busco es que todos los números que estén en la sucesión sean positivos.

Por lo tanto, y = 8 es la solución que debemos usar.

Ahora, calculemos el tercer término, que es 9y:

$9y = 9 \times 8 = 72$

Y finalmente, sumamos las cifras de 72:

$7 + 2 = 9$

Respuesta correcta: a) 9

Reactivo #5:

Determinar el número y letra que siguen en la sucesión: A, 3, D, 6, G, 12, J, 24, ___, ___

a) M y 36
b) M y 48
c) N y 56
d) N y 48

A estas sucesiones les llamamos sucesiones alfanuméricas, ¿por qué? Porque tienen letras del alfabeto y tienen números, por eso se le llama sucesión alfanumérica.

También está fácil porque podemos separar aquí las dos partes. En las posiciones que son pares (posición 2, posición 4, posición 6, posición 8 y posición 10), vemos que hay cantidades: 3, 6, 12, 24 y el desconocido que buscamos.

Mientras que en las posiciones impares (posición 1, 3, 5, 7 y 9) tenemos: A, D, G, J y el espacio que también buscamos.

Ya podemos analizar por separado las letras y las cantidades.

Por ejemplo, con los números podemos ver un comportamiento muy sencillo. Si te das cuenta, vemos que el incremento se hace de manera bastante gradual. Podría asegurar que es una sucesión geométrica. Porque mira:

$3 \times 2 = 6$

$6 \times 2 = 12$

$12 \times 2 = 24$

Entonces, si esto sigue igual:

$24 \times 2 = 48$

O sea que el número que tiene que estar aquí es el 48. Por lo tanto, las opciones b) y d) podrían ser la respuesta.

Ahora vamos a ver qué pasa con las posiciones impares, donde tenemos las letras: A, D, G, J, y el espacio que buscamos.

A las letras hay que darles un tratamiento diferente. Las letras no son como si fueran números, o sea, sí pero no, porque las letras son símbolos, también los números, pero a estos hay que tenerles mucho cuidado.

Vamos a analizar qué hay entre cada una de las letras. Por ejemplo, ¿qué hay entre la A y la D? Pues están la B y la C, es decir, hay 2 letras entre A y D. Aquí una aclaración importante: en el politécnico se maneja el abecedario con la Ñ, así que son 27 letras y no 26 como en inglés.

Veamos el resto:

Entre D y G están E y F: 2 letras.

Entre G y J están H e I: 2 letras.

Entonces podemos ver que hay una separación de 2 letras por cada una de estas. Si eso continúa, después de J vendrían K y L, y luego estaría la M.

Por lo tanto, la combinación correcta es M y 48.

Respuesta correcta: b) M y 48

¡Y ya con eso lo logras sin ningún problema! Recuerden que para resolver estos ejercicios de sucesiones, lo más importante es identificar el patrón o la regla que sigue la secuencia. Una vez que tienen eso, el resto es pan comido.

Espero que estas explicaciones les hayan servido. Si tienen alguna duda, no duden en preguntar. ¡Ánimo, chavos! El examen del Poli no es tan difícil como parece si se preparan bien.