Examen simulacro Guía EXANI-II Cálculo 50 reactivos explicados

¡Hola aspirante! Iniciamos la solución del examen simulacro para la Guía EXANI II, en el módulo de Cálculo Diferencial e Integral. En este tutorial resolveremos la primera parte, desde el reactivo 1 hasta el 10.

Antes de resolver los ejercicios de cálculo, es importante que refuerces tus conocimientos en álgebra y trigonometría. Esto te permitirá resolver los ejercicios con mayor rapidez.

Estructura del EXANI II

El examen de ingreso EXANI II está compuesto por dos partes: una de habilidades y conocimientos y otra con los módulos específicos.

Además, algunas universidades aplican una prueba diagnóstica de inglés adicional, la cual no cuenta en para la calificación final.

Examen de habilidades y conocimientos

La primera parte del EXANI II se aplica para todas las carreras y se compone de 90 reactivos: 60 de Español y 30 de Matemáticas. En la siguiente tabla se encuentra la distribución de los reactivos del EXANI II:

Estructura del examen y la guía del EXANI II

Conocimientos específicos

Conocimientos específicos del EXANI II posee un total de 15 módulos, entre los que se encuentra Cálculo Diferencial e Integral.

Todos los estudiantes deben responder 2 módulos en esta segunda parte, los cuales varían de acuerdo con la carrera. Es necesario que revises la convocatoria de tu universidad para conocer qué módulos van para tu examen.

Módulos de los conocimientos específicos

1. Administración	9. Física
2. Aritmética	10. Historia
3. Biología	11. Literatura
4. Cálculo diferencial e integral	12. Matemáticas financieras
5. Ciencias de la Salud	13. Premedicina
6. Derecho	14. Probabilidad y estadística
7. Economía	15. Química
8. Filosofía	16. Psicología

Temario de Cálculo diferencial e integral

El área de cálculo diferencial e integral en la prueba Exani II pertenece a los módulos de conocimientos específicos. Cada estudiante debe resolver dos módulos el día de la prueba. Asegúrate de consultar en tu universidad cuáles son los módulos que presentarás.

Estos ejercicios se encuentran distribuidos entre los siguientes temas de cálculo integral y diferencial:

Subárea	Reactivos
Cálculo diferencial	12
Cálculo Integral	12
Total	24

Subárea: Cálculo diferencial

• Propiedades de los límites
• Límites de funciones polinomiales y con variables independientes
• Derivadas por definición, de funciones trigonométricas, de funciones exponenciales y logarítmicas y de funciones polinomiales
• Recta tangente de funciones algebraicas
• Aplicaciones físicas de la derivada (velocidad instantánea, distancia, rapidez de cambio y de optimización)

Subárea: Cálculo integral

• Partición de funciones
• Manipulación algebraica y aritmética
• Propiedades de la integral
• Métodos de integración
• Problemas de área, volumen y movimiento con integrales definidas

Recomendaciones para resolver la guía

• Elimina las distracciones. Ve a un sitio en el que te sientas cómodo o cómoda, coloca tu teléfono en modo avión y mantén cerca de ti lapiceros, borrador y libretas.
• No te enfoques en el resultado, sino en el procedimiento. Coloca toda tu atención en analizar y desglosar los problemas para identificar las herramientas que debes usar. Una buena estrategia conlleva a buenos resultados.
• Lleva el tiempo mientras resuelves la guía. Mide el tiempo durante cada sesión de estudios, buscando acortar el tiempo lo más que puedas antes del examen.
• Si un reactivo parece demasiado difícil, ve al siguiente. Evita caer en frustración mientras estudias, mantener el foco y meditar esos ejercicios difíciles, te permitirán desarrollar capacidades analíticas sólidas.

Reactivo 1

Dada la siguiente función, determina el conjunto de valores que corresponden a su dominio.

f\left(x\right)=\sqrt{49-{x}^{2}}

1. x\in \left[-7, 7\right]
2. x\in \left[-7, 7\right)
3. x\in \left[0, 7\right)

Solución:

Para calcular el dominio de cualquier función real, debemos identificar cuáles son las funciones elementales que componen a f\left(x\right) , además de conocer cuáles son sus restricciones. En este caso, f\left(x\right) es una función radical, cuya restricción es que el radicando sea mayor o igual que cero.

49-{x}^{2}\ge 0

Para resolver esta desigualdad, es necesario realizar un estudio de signos sobre el binomio de la izquierda factorizado. Factorizamos aplicando diferencia de cuadrados.

\left(7-x\right)\left(7+x\right)\ge 0

Las raíces del binomio son: 7 y -7 . El estudio de signos quedaría:

El único intervalo de valores en el que el binomio es positivo o igual a cero es entre -7 y 7. Expresando la solución en notación de conjunto nos queda:

x\in \left[-7, 7\right]

La respuesta correcta es el inciso a).

Reactivo 2

Determina el rango de la siguiente función:

g\left(x\right)={x}^{2}-1

1. R:\left(-1, \infty \right)
2. R:\left(1, \infty \right)
3. R:\left[-1, \infty \right)

Solución:

Para encontrar el rango de una función real, tenemos tres métodos: conocer la función, de forma gráfica o calculando el dominio de la inversa. Si examinamos la función, esta corresponde con una parábola.

El rango de una parábola vertical está definido de dos formas, según si abre hacia arriba o hacia abajo.

• Parábola que abre hacia arriba: y\in \left[{v}_{y}, \infty \right)
• Parábola que abre hacia abajo: y\in \left(-\infty , {v}_{y}\right]

Donde {v}_{y} es la coordenada vertical del vértice de la parábola. La parábola del enunciado abre hacia arriba y su vértice lo podemos obtener fácilmente reordenando a la expresión:

y={x}^{2}-1\to y+1={x}^{2}

Comparando con la forma ordinaria de la parábola:

4p\left(y-k\right)={\left(x-h\right)}^{2}

El vértice es:

\left(h, k\right)=\left(0, -1\right)

Finalmente, el rango de la función g\left(x\right)={x}^{2}-1 es:

y\in \left[-1, \infty \right)

Concluimos que la respuesta correcta es el inciso c).

Reactivo 3

Dadas las funciones f\left(x\right) y g\left(x\right) , determine la composición \left(f○g\right)\left(x\right) .

f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}

g\left(x\right)=\frac{x}{x+1}

1. \left(f○g\right)\left(x\right)=-x
2. \left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{1}{x}
3. \left(f○g\right)\left(x\right)=-\frac{x}{{x}^{2}-1}

Solución:

En todo problema de composición de funciones, lo único que debemos tener en cuenta es que f○g significa: a la función f\left(x\right) le sustituimos todas las x por la función g\left(x\right) .

Llevando a cabo lo anterior nos queda:

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}-1}

Simplificamos.

\left(f○g\right)\left(x\right)=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x-x-1}{x+1}}=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{-1}{x+1}}=-x

Finalmente:

\left(f○g\right)\left(x\right)=-x

Indicamos como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 4

Al estudiar el límite de cierta función real, se obtiene el siguiente resultado:

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=L

¿Cuál sería la interpretación geométrica de dicho resultado?

1. Cuando la variable x tiende a un valor finito, la función f se vuelve finita
2. Cuando la variable x tiende a un valor muy grande, la función f se establece en un valor finito
3. Que la función f no está definida cuando x=L

Solución:

Los límites al infinito estudian lo que sucede con las funciones cuando la variable independiente (en la mayoría de casos x ) crece hacia un valor muy grande. Si la función parece acercarse asintóticamente a un valor finito, en este caso L , decimos que la función tiende a L .

Teniendo en cuenta esto y examinando los incisos, concluimos que la respuesta correcta es b).

Reactivo 5

Dada la siguiente gráfica de la función f\left(x\right) , indique el valor de los límites solicitados.

1. \underset{x\to -{2}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)
2. \underset{x\to -{2}^{-}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)
3. \underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)
4. \underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)

 

1. \infty , 2, 0, 2
2. -\infty , -2, 0,-2
3. 0, -2, \infty , 2

Solución:

Para encontrar el valor de cada límite, debemos ir examinando lo que sucede en la gráfica de la función cuando nos acercamos a determinado valor.

Primer límite.

\underset{x\to -{2}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)

Es el límite lateral cuando x tiende a -2 por la derecha.

A medida que nos acercamos a la función por la izquierda, su valor crece hacia +\infty  .

\underset{x\to -{2}^{+}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=\infty 

Segundo límite.

\underset{x\to -{2}^{-}}{\mathrm{lim}}f\left(x\right)

Es el límite lateral cuando x tiende a -2 por la izquierda. En este caso, la función se encuentra definida y vale f\left({2}^{-}\right)=2 .

Tercer límite.

\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)

Examinando la gráfica de la función, a medida que la variable x se hace cada vez más negativa, la función se acerca a cero.

\underset{x\to -\infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=0

Cuarto límite.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)

Empleando el mismo razonamiento, vemos que la función se acerca a 2 cuando x crece infinitamente.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}f\left(x\right)=2

Uniendo todas las respuestas parciales: \infty , 2, 0, 2 .

Concluimos el problema indicando como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 6

Calcule el valor del siguiente límite.

\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{a-5}{{a}^{2}-25}

1. L={10}^{-1}
2. L=10
3. L=5

Solución:

Iniciamos evaluando el límite en el punto.

\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{a-5}{{a}^{2}-25}=\frac{5-5}{{5}^{2}-25}=\frac{0}{0}

Tenemos una indeterminación. Factorizamos el denominador aplicando diferencia de cuadrados.

\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{a-5}{{a}^{2}-25}=\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{a-5}{\left(a-5\right)\left(a+5\right)}=\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{1}{a+5}

Evaluamos para comprobar.

\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{1}{a+5}=\frac{1}{5+5}=\frac{1}{10}

Este resultado puede expresarse como \frac{1}{10}={10}^{-1} . Finalmente:

\underset{a\to 5}{\mathrm{lim}}\frac{a-5}{{a}^{2}-25}={10}^{-1}

Indicamos como respuesta correcta al inciso a).

Reactivo 7

Determine el valor del límite de la función f\left(x\right)=\frac{2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}}{{x}^{2}-4} cuando x tiende a 2.

1. L=\frac{1}{6}
2. L=-\frac{1}{6}
3. L=-1

Solución:

Comenzamos expresando al límite en lenguaje matemático.

\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}}{{x}^{2}-4}

Evaluamos el límite para comprobar la indeterminación.

\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}}{{x}^{2}-4}=\frac{2-\sqrt[3]{2\cdot {2}^{2}}}{{2}^{2}-4}=\frac{2-\sqrt[3]{8}}{4-4}=\frac{2-2}{0}=\frac{0}{0}

Se presenta una indeterminación 0/0 .

Debido a que la raíz del numerador es cúbica, no lograremos nada factorizando el denominador por diferencia de cuadrados. Debemos encontrar una forma de factorizar el numerador. Debido a que en el numerador hay una raíz cúbica, vamos a aplicar la factorización de la diferencia de cubos.

{a}^{3}-{b}^{3}=\left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)

El truco en estos casos, es hacer que 2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}=a-b , por tanto:

a=2, b=\sqrt[3]{2{x}^{2}}

Despejamos a a-b de la expresión de la factorización:

{a}^{3}-{b}^{3}=\left(a-b\right)\left({a}^{2}+ab+{b}^{2}\right)\to a-b=\frac{{a}^{3}-{b}^{3}}{{a}^{2}+ab+{b}^{2}}

Aplicando esto a nuestra expresión:

2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}=\frac{8-2{x}^{2}}{4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}}=\frac{8-2{x}^{2}}{4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}}

Sustituimos en el límite.

\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}}{{x}^{2}-4}=\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{\frac{8-2{x}^{2}}{4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}}}{{x}^{2}-4}

\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{8-2{x}^{2}}{\left(4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}\right)\left({x}^{2}-4\right)}

Extraemos factor común del numerador -2.

-2\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{{x}^{2}-4}{\left(4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}\right)\left({x}^{2}-4\right)}=-2\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{1}{4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}}

Evaluamos.

-2\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{1}{4+2\sqrt[3]{2{x}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{x}^{2}}\right)}^{2}}=\frac{-2}{4+2\sqrt[3]{2{\left(2\right)}^{2}}+{\left(\sqrt[3]{2{\left(2\right)}^{2}}\right)}^{2}}=-\frac{2}{4+4+4}

-\frac{2}{4+4+4}=-\frac{1}{6}

Finalmente:

\underset{x\to 2}{\mathrm{lim}}\frac{2-\sqrt[3]{2{x}^{2}}}{{x}^{2}-4}=-\frac{1}{6}

Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso b).

Reactivo 8

Calcule el límite de la función cuando la variable tiende a infinito.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{x}^{2}+3x}}{x}

1. L=0
2. L=1
3. L=-1

Solución:

Sin evaluar el límite, sabemos que la indeterminación es \infty /\infty  . Iniciamos la solución elevando al cuadrado y aplicando raíz cuadrada a la x del denominador.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{x}^{2}+3x}}{x}=\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{x}^{2}+3x}}{\sqrt{{x}^{2}}}

Unimos las raíces del numerador con la del denominador.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\sqrt{\frac{{x}^{2}+3x}{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{3x}{{x}^{2}}}=\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\sqrt{1+\frac{3}{x}}

Evaluamos el límite.

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\sqrt{1+\frac{3}{x}}=\sqrt{1+\frac{3}{\infty }}=\sqrt{1+0}=1

Finalmente:

\underset{x\to \infty }{\mathrm{lim}}\sqrt{1+\frac{3}{x}}=1

La respuesta correcta es el inciso b).

Reactivo 9

Dada la función f\left(x\right)={x}^{2}-1 , determine la expresión para calcular la derivada por definición.

1. \underset{h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{h}^{2}-1-\left({x}^{2}-1\right)}{h}
2. \underset{h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{\left(x+h\right)}^{2}-1-\left({x}^{2}-1\right)}{h}
3. \underset{h\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{{h}^{2}-1}{h}

Solución:

La derivada por definición de una función se obtiene al resolver el siguiente límite:

\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}

En este caso f\left(x+h\right) se obtiene al sustituir x por x+h en la función.

f\left(x+h\right)={\left(x+h\right)}^{2}-1

Sustituimos en el límite.

\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{{\left(x+h\right)}^{2}-1-\left({x}^{2}-1\right)}{h}

Comparando con los incisos, indicamos como respuesta correcta al b).

Reactivo 10

Calcule la derivada de la función indicada.

f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}

1. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(2x-1\right)}^{\frac{3}{2}}}
2. {f}^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x}{{\left(2x-1\right)}^{\frac{3}{2}}}
3. {f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left(2x-1\right)}^{\frac{3}{2}}

Solución:

Antes de comenzar a derivar, expresaremos al radical como una potencia.

f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{{\left(2x-1\right)}^{1/2}}={\left(2x-1\right)}^{-1/2}

Ahora, aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}\right]}^{\text{'}}=-\frac{1}{2}{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}{\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}-1}

Resolvemos la derivada indicada.

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}{\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}-1}=-\frac{1}{2}\left(2\right){\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}-1}=-{\left(2x-1\right)}^{-\frac{1}{2}-1}

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-{\left(2x-1\right)}^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{{\left(2x-1\right)}^{\frac{3}{2}}}

Finalmente:

{f}^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\left(2x-1\right)}^{\frac{3}{2}}}

La respuesta correcta es el inciso a).