Llegamos a la cuarta y última parte de la solución de los reactivos de geometría y trigonometría en la guía del IPN. En este caso, concluimos con los reactivos del 31 al 40.
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Reactivo 31
Simplificar la siguiente expresión trigonométrica:
\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{cos}x}{1-\mathrm{sen}x}+\frac{1-\mathrm{sen}x}{\mathrm{cos}x}\right]
- \mathrm{cot}x
- \mathrm{tan}x
- \mathrm{csc}x
- \mathrm{sec}x
Solución:
Iniciamos resolviendo la suma de fracciones.
\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{cos}x}{1-\mathrm{sen}x}+\frac{1-\mathrm{sen}x}{\mathrm{cos}x}\right]=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{cos}}^{2}x+{\left(1-\mathrm{sen}x\right)}^{2}}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}
Desarrollamos el producto notable para el binomio al cuadrado.
\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{cos}}^{2}x+{\left(1-\mathrm{sen}x\right)}^{2}}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{cos}}^{2}x+1-2\mathrm{sen}x+{\mathrm{sen}}^{2}x}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}
Aplicamos la identidad pitagórica.
\frac{1}{2}\frac{1+1-2\mathrm{sen}x}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}=\frac{1}{2}\frac{2-2\mathrm{sen}x}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}=\frac{1}{2}\frac{2\left(1-\mathrm{sen}x\right)}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}
Simplificamos.
\frac{1}{2}\frac{2\left(1-\mathrm{sen}x\right)}{\mathrm{cos}x\left(1-\mathrm{sen}x\right)}=\frac{1}{2}\frac{2}{\mathrm{cos}x}=\frac{1}{\mathrm{cos}x}=\mathrm{sec}x
Finalmente:
\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{cos}x}{1-\mathrm{sen}x}+\frac{1-\mathrm{sen}x}{\mathrm{cos}x}\right]=\mathrm{sec}x
Concluimos indicando como respuesta correcta al inciso d).
Reactivo 32
Determinar la función trigonométrica cuyo valor en 30° sea \frac{\sqrt{3}}{2} .
- Seno
- Coseno
- Tangente
- Cosecante
Solución:
El valor dado del ángulo es notable, por lo que deberías conocer que dicha razón trigonométrica es el coseno. Sin embargo, vamos a indicar el procedimiento para calcular razones trigonométricas sin calculadora.
El coseno de 30° es el único que da como resultado \frac{\sqrt{3}}{2} .
La respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 33
Asociar la función con su valor.
- 1A, 2B, 3C, 4D
- 1B, 2C, 3D, 4A
- 1C, 2D, 3A, 4B
- 1D, 2A, 3B, 4C
Solución:
Los ángulos en los argumentos de las relaciones trigonométricas son notables, por lo que deberías conocerlos. Sin embargo, vamos a indicar un método sencillo para calcular el valor de las identidades trigonométricas para ángulos notables.
Calculamos el valor del seno de 30°.
\mathrm{sin}30°=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}
Examinando los incisos, vemos que: 1C.
Debido a que solo la opción c) inicia con 1C, concluimos que esta es la respuesta correcta.
Reactivo 34
De acuerdo con la figura, determinar el valor de x .
- \frac{\mathrm{sec}\left({40}^{\circ }\right)}{5}
- 5\mathrm{sec}\left({40}^{\circ }\right)
- 5\mathrm{sen}\left({40}^{\circ }\right)
- 5\mathrm{csc}\left({40}^{\circ }\right)
Solución:
Examinando el triángulo rectángulo y los elementos que se encuentran indicados en él: uno de sus ángulos agudos y el lado adyacente a dicho ángulo. La relación trigonométrica que nos ayudará en este caso es el coseno.
\mathrm{cos}40°=\frac{5}{x}
Despejamos a la x .
x=\frac{5}{\mathrm{cos}40°}
El inverso del coseno es la secante.
x=\frac{5}{\mathrm{cos}40°}=5\mathrm{sec}40°
Concluimos que la respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 35
Asociar la propiedad con su igualdad.
- 1B, 2D, 3C, 4A
- 1B, 2D, 3A, 4C
- 1A, 2C, 3D, 4B
- 1A, 2C, 3B, 4D
Solución:
Vamos a ir analizando las expresiones con logaritmos que se encuentran en la columna izquierda con las igualdades de la columna derecha. Para identificar a las operaciones con las igualdades, es necesario que conozcas las propiedades de los logaritmos.
Primera propiedad.
\mathrm{log}\left(ab\right)
Esta es la propiedad del logaritmo del producto. Es igual a la suma de los logaritmos de los números.
\mathrm{log}\left(ab\right)=\mathrm{log}\left(a\right)+\mathrm{log}\left(b\right)
Tenemos que: 1B. Aunque la igualdad se realiza con logaritmos naturales, la propiedad es aplicable para logaritmos con cualquier base.
Segunda propiedad.
\mathrm{log}\left({b}^{a}\right)
Es la propiedad del logaritmo de una potencia. Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.
\mathrm{log}\left({b}^{a}\right)=a\mathrm{log}\left(b\right)
Tenemos que: 2D.
Tercera propiedad.
\mathrm{log}\left(\frac{a}{b}\right)
Es la propiedad del logaritmo de un cociente. Es igual a la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador.
\mathrm{log}\left(\frac{a}{b}\right)=\mathrm{log}\left(a\right)-\mathrm{log}\left(b\right)
Tenemos que: 3A.
Con estas respuestas parciales: 1B, 2D, 3A, … podemos concluir que la respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 36
Determinar \mathrm{tan}\left(\alpha \right) en un triángulo rectángulo, si se sabe que \mathrm{cos}\left(\alpha \right)=\frac{3}{5} .
- 4/3
- 3/2
- 5
- 7
Solución:
A partir del coseno del ángulo, sabemos cuánto mide el cateto adyacente y la hipotenusa del triángulo.
\mathrm{cos}\left(\alpha \right)=\frac{3}{5}=\frac{CA}{H}
Por otra parte, la tangente del ángulo se calcula como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. El cateto opuesto se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras.
{5}^{2}={3}^{2}+C{O}^{2}\to CO=\sqrt{25-9}=4
Finalmente:
\mathrm{tan}\alpha =\frac{4}{3}
Seleccionamos como respuesta correcta al inciso a).
Reactivo 37
Relacionar la expresión con el tipo de función exponencial que le corresponde.
- 1D, 2C, 3B, 4A
- 1D, 2B, 3A, 4C
- 1C, 2A, 3D, 4B
- 1C, 2A, 3B, 4D
Solución:
Debemos analizar cada una de las funciones que se encuentran en la columna izquierda para relacionarlas de forma correcta con las definiciones en la columna derecha.
Primera función:
f\left(x\right)={1}^{x}
Esta no es una función exponencial, aunque lo parezca debido a que la base es 1. No importa el exponente que se sustituya en la función, el resultado será siempre 1. Tenemos: 1C.
Segunda función:
g\left(x\right)={5}^{3x}
Esta es una función exponencial. Tenemos para este caso: 2A. Descartamos los incisos a y b, pero debemos continuar con la siguiente función para decidir entre c y d.
Tercera función:
s\left(x\right)={e}^{x}
Esta es una función exponencial con base igual al número de Euler. A esta función en particular se le conoce como exponencial natural. Finalmente: 1C, 2A, 3D, … esta información es suficiente para concluir que la respuesta correcta es el inciso c).
Reactivo 38
Relacionar la expresión con el tipo de función logarítmica que le corresponde.
- 1B, 2D, 3A, 4C
- 1D, 2A, 3C, 4B
- 1D, 2B, 3A, 4C
- 1B, 2D, 3C, 4A
Solución:
Comenzamos con la expresión del inciso 1, tenemos un producto de potencias de igual base. Siguiendo la propiedad que lleva el mismo nombre, se mantiene la base y se suman los exponentes.
{a}^{n}{a}^{m}={a}^{n+m}
Tenemos: 1B, descartamos a las opciones a y d.
Vamos con la segunda expresión:
\frac{{a}^{n}}{{a}^{m}}
Es un cociente de potencias de igual base. Se mantiene la base, pero se restan los exponentes.
\frac{{a}^{n}}{{a}^{m}}={a}^{n-m}
Para esta segunda expresión tenemos: 2D.
La tercera expresión es:
\frac{1}{{a}^{n}}
Aplicando la propiedad del exponente negativo obtenemos:
\frac{1}{{a}^{n}}={a}^{-n}
Tenemos: 3A. Uniendo las respuestas parciales: 1B, 2D, 3A, … concluimos que la opción a) resuelve correctamente al ejercicio.
Materiales de estudio
Reactivo 39
Si {\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{2\sqrt[3]{2}}y=3 , entonces y=
- 4\sqrt{2}
- 16
- 4
- 2
Solución:
Debemos recordar la definición de logaritmo.
{b}^{x}=n\to {\mathrm{log}}_{b}n=x
Aplicada a este caso:
b=2\sqrt[3]{2}, n=y, x=3
{\left(2\sqrt[3]{2}\right)}^{3}=y
{2}^{3}\cdot 2=y\to y=16
La respuesta correcta es el inciso b).
Reactivo 40
¿Cuál es el desarrollo de la siguiente expresión logarítmica?
\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{(3-x{)}^{2}(4-3x)}{{2}^{3}(x+2{)}^{3}}\right)
- 2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-3\mathrm{ln}\left(x+2\right)
- 2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-3\mathrm{ln}\left(2x+4\right)
- 2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+2\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-6\mathrm{ln}\left(x+2\right)
- 2\mathrm{ln}\left(3-x\right)-\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-6\mathrm{ln}\left(x+2\right)
Solución:
Para desarrollar la expresión, debemos aplicar las propiedades del logaritmo del producto y del cociente de forma conveniente. Iniciamos con la propiedad del logaritmo del cociente.
\mathrm{ln}\left(\frac{(3-x{)}^{2}(4-3x)}{{2}^{3}(x+2{)}^{3}}\right)=\mathrm{ln}\left((3-x{)}^{2}(4-3x)\right)-\mathrm{ln}\left({2}^{3}(x+2{)}^{3}\right)
Ahora, aplicamos la propiedad del logaritmo del producto.
\mathrm{ln}\left((3-x{)}^{2}(4-3x)\right)-\mathrm{ln}\left({2}^{3}(x+2{)}^{3}\right)=\mathrm{ln}\left((3-x{)}^{2}\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-\mathrm{ln}\left({2}^{3}\right)-\mathrm{ln}\left((x+2{)}^{3}\right)
Finalmente, aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia, para bajar el exponente del argumento.
=2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-3\mathrm{ln}\left(2\right)-3\mathrm{ln}\left(x+2\right)
Extraemos el -3 factor común de los últimos dos términos. Aplicamos de nuevo la propiedad del logaritmo del producto en sentido inverso.
2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-3\mathrm{ln}\left(2\left(x+2\right)\right)=2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-3\mathrm{ln}\left(2x+4\right)
Finalmente:
\mathrm{ln}\left(\frac{(3-x{)}^{2}(4-3x)}{{2}^{3}(x+2{)}^{3}}\right)=2\mathrm{ln}\left(3-x\right)+\mathrm{ln}\left(4-3x\right)-3\mathrm{ln}\left(2x+4\right)
Comparando con las opciones, concluimos que la respuesta correcta es b).
