Hola, aspirante, soy el profe Toxqui. Te armé este simulador para la UAM con los temas que más cuestan: logaritmos, trigonometría, rectas, hipérbolas, integrales y estadística.
Son 10 reactivos de matemáticas para el examen de admisión. Antes de resolverlos tienes un repaso corto: fórmula, ejemplo y la trampa típica de cada tema.
No es un examen completo: es práctica para el examen de la UAM enfocada en lo que más se complica de la guía. Si vas por una carrera de ciencias o ingeniería, te sirve todavía más.
Resuélvelo sin calculadora y anota tus aciertos. Si sacas menos de 7, regresa al repaso de lo que fallaste y vuelve a intentarlo mañana.
¿Qué vas a practicar en este simulacro de la UAM?
Logaritmos: pasar de logaritmo a potencia con base raíz y desarrollar un logaritmo con producto, cociente y potencia.
Trigonometría: funciones recíprocas, coseno a partir de una figura y altura de un edificio por sombras.
Geometría analítica: pendiente desde la forma general, recta que pasa por la intersección de dos rectas y excentricidad de una hipérbola vertical.
Cálculo integral: integral de un producto de binomios.
Estadística: media aritmética a partir de un histograma.
Cuatro cosas que te ahorran tiempo
- Si un reactivo te atora más de un minuto y medio, sáltalo y regresa al final. El 7 es el candidato: trae fracciones y un sistema.
- En el 7, multiplica las dos ecuaciones por 6 antes de resolver. Sin fracciones, el sistema sale de un jalón.
- En el 8, divide todo entre 3600 y saca la a del término positivo, el de y², aunque no sea el primero que ves.
- En el histograma, suma la altura de todas las barras antes de dividir.
Al terminar, busca cada error en su tarjeta del repaso. Si fallaste en la regla, reléela; si fue en la cuenta, repite el ejercicio en una hoja.
Para repasar
¿Se te atoró algún tema?
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Repaso rápido antes del simulacro
Antes de empezar, dale una leída a estos temas. Son justo lo que vas a necesitar para resolver los 10 reactivos.
Logaritmos: ¿qué es un logaritmo?
La pregunta mágica: \log_b N = x pregunta: ¿a qué potencia elevo la base para obtener N ?
Conviértelo:
\log_b N = x \iff b^x = N
Ejemplo:
\log_{\sqrt{5}} 25 = x \rightarrow \left(\sqrt{5}\right)^x = 25
5^{x/2} = 5^2 \rightarrow x/2 = 2 \rightarrow x = 4
¿Base con raíz? Escríbela como potencia, \sqrt{a} = a^{1/2} , e iguala exponentes con la misma base.
Logaritmos: propiedades
| Adentro hay… | Afuera se vuelve… |
|---|---|
| producto | \log(AB) = \log A + \log B |
| cociente | \log\left(\frac{A}{B}\right) = \log A - \log B |
| potencia | \log A^n = n \cdot \log A |
Ejemplo:
\log_2 \left[\frac{(3x)(y)}{z}\right]^2 = 2(\log_2 3x + \log_2 y - \log_2 z)
Orden ganador: 1) baja el exponente (multiplica a todo); 2) lo de arriba suma y lo de abajo resta.
Trigonometría: funciones recíprocas
| Función | Su recíproca |
|---|---|
| \text{sen } \theta | \csc \theta = \frac{1}{\text{sen } \theta} |
| \cos \theta | \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} |
| \tan \theta | \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} |
Ejemplo:
\csc \theta = \frac{7}{2} \rightarrow \text{sen } \theta = \frac{2}{7}
¡Trampa! Seno y coseno no son recíprocas entre sí. Cada función con «co» se empareja con la que no lo lleva: secante con coseno y cosecante con seno.
Trigonometría: razones trigonométricas (SOH-CAH-TOA)
\text{sen} = \frac{\text{CO}}{\text{H}} \qquad \cos = \frac{\text{CA}}{\text{H}} \qquad \tan = \frac{\text{CO}}{\text{CA}}
¿Falta la hipotenusa? Usa Pitágoras: H = \sqrt{a^2 + b^2} . La hipotenusa está frente al ángulo recto.
Ejemplo: catetos 2 (adyacente) y 3 (opuesto):
H = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\text{sen } \theta = \frac{3}{\sqrt{13}} \qquad \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}
Tip: el opuesto es el lado que el ángulo \theta «mira de frente»; el adyacente lo toca.
Trigonometría: sombras y triángulos semejantes
«En el mismo momento»: el sol llega con el mismo ángulo a los dos objetos, así que se forman triángulos semejantes.
La proporción:
\frac{\text{altura}_1}{\text{sombra}_1} = \frac{\text{altura}_2}{\text{sombra}_2}
Ejemplo: un palo de 2 m tiene una sombra de 1.5 m; un árbol tiene una sombra de 6 m.
\frac{2}{1.5} = \frac{h}{6} \rightarrow h = \frac{2 \cdot 6}{1.5} = 8 \text{ m}
¡No la voltees! Pon altura arriba y sombra abajo en las dos fracciones.
Geometría analítica: pendiente de la forma general
Forma general: Ax + By + C = 0
Fórmula exprés:
m = -\frac{A}{B}
Ejemplo:
3x - 6y + 1 = 0 \rightarrow m = -\frac{3}{-6} = \frac{1}{2}
Otra forma: despeja y; el número que acompaña a x es la pendiente. ¡Cuida el signo menos!
Geometría analítica: recta que pasa por una intersección
- Sin fracciones: multiplica cada ecuación por su mcm.
- El punto: resuelve el sistema; la solución es el punto (x_1, y_1) .
- La recta: usa la forma punto-pendiente, y - y_1 = m(x - x_1) .
Ejemplo: x + y = 5 y x - y = 1 . Sumando: 2x = 6 , así que el punto es (3, 2) . Con m = 2 :
y - 2 = 2(x - 3) \rightarrow 2x - y = 4
Comprueba rápido: sustituye el punto en cada opción; solo la correcta se cumple. ¡Ojo con las que solo cambian el signo!
Geometría analítica: excentricidad de la hipérbola
1. Iguala a 1: divide todo entre el término independiente. a^2 va bajo el término positivo.
2. La fórmula:
c^2 = a^2 + b^2 \qquad e = \frac{c}{a} > 1
Ejemplo:
9x^2 - 4y^2 = 36 \rightarrow \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1
a = 2,\ b = 3,\ c = \sqrt{13} \rightarrow e = \frac{\sqrt{13}}{2}
¡Trampa! En la hipérbola, a no siempre es el mayor: es el del término positivo. Si y^2 va primero, la hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.
Cálculo integral: integral de un producto de binomios
1. Multiplica primero: la integral de un producto no es el producto de las integrales; desarrolla antes.
2. Regla de la potencia:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}
Ejemplo:
\int (x + 1)(x - 3) \, dx = \int (x^2 - 2x - 3) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + C
¡No olvides! Súmale 1 al exponente y divide entre el nuevo exponente. Al final, el + C.
Estadística: media aritmética de un histograma
Lee las barras: la altura de cada barra es la frecuencia f (cuántos alumnos).
La fórmula:
\bar{x} = \frac{\sum f \cdot x}{\sum f}
| Calificación x | f | f \cdot x |
|---|---|---|
| 6 | 2 | 12 |
| 8 | 3 | 24 |
| 10 | 5 | 50 |
| Total | 10 | 86 |
\bar{x} = \frac{86}{10} = 8.6
¡Divide entre el total de alumnos, no entre el número de barras!
Matemáticas
Reactivo 1
Usa logaritmos y sus propiedades para calcular el valor de x + y si:
x = \log_3 243
y = \log_{\sqrt{2}} 64
Reactivo 2
El logaritmo \log_5 \left[\frac{(2m)(7n)}{3p}\right]^3 es igual a:
Reactivo 3
Si \sec \theta = \frac{5}{3} , entonces \cos \theta =
Reactivo 4
A partir de la figura, determina cuál de las expresiones es correcta.
Reactivo 5
Una persona de 1.60 \text{ m} de estatura proyecta una sombra de 1.20 \text{ m} . ¿Cuál es la altura de un edificio cercano cuya sombra, en el mismo momento, mide 15.6 \text{ m} ?
Reactivo 6
La pendiente m de la recta 4x + 5y - 3 = 0 es:
Reactivo 7
¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 y pasa por la intersección de las rectas?
\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1 \quad ; \quad \frac{2}{3}x - \frac{1}{2}y = 1
Reactivo 8
Encuentra la excentricidad de la hipérbola:
25y^2 - 144x^2 = 3600
Reactivo 9
La integral de la función \int (x + 4)(x - 2) \, dx es:
Reactivo 10
Observa el histograma que muestra las calificaciones obtenidas por los alumnos de un curso de Química. Según los datos, ¿cuál es la media aritmética de las calificaciones?
